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\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
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%#- set pointfix = (r*100/pp).decimal
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%#- set r = Decimal.random(min_value=0.1, max_value=0.9, digits=1)
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%- set pp = Decimal.random(min_value=1, max_value=9, digits=0)
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%- set pointfix = Decimal.random(min_value=1, max_value=10, digits=1)
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%- set r = pointfix*pp*Decimal("0.01")
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%- set q = 1 - pp*Decimal("0.01")
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%- set u0 = Integer.random(min_value=50, max_value=70)*10
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%- set v0 = u0 + pointfix
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La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
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On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $\Var{r}$ gramme de gaz chaque jour.
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Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $\Var{u0}$ grammes.
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\subsection*{Partie A}
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Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
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Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
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\subsection*{Partie B}
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Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $\Var{r}$ gramme, le système perd $\Var{pp}\,\%$ de sa masse chaque jour.
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Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
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Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
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On a donc, $u_0 = \Var{u0}$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
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on a :
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\[
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u_{n+1} = \Var{q} u_n - \Var{r}.
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
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\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
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nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
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dans le système.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| l |}
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\hline
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\textbf{Variables} \\
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\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
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\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
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\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
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\textbf{Entrée} \\
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\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
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\textbf{Initialisation}\\
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\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
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\textbf{Traitement} \\
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\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
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\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
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\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
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\textbf{Sortie} \\
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\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
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\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
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Arrondir au gramme près.
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\end{enumerate}
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\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + \Var{pointfix}$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $v_0$.
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\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\Var{q}$.
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Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
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\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \Var{v0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix}$.
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\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
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\end{enumerate}
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\item Résoudre $\Var{u0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix} < 440$ puis interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\subsection*{Partie A}
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\begin{itemize}
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\item Quantité à perdre avant recharge
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\[
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\Var{u0} - 440 = \Var{u0-440}
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\]
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\item À raison d'une perte de \Var{r} par jour. Il faudra recharger dans
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\[
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\frac{\Var{u0-440}}{\Var{r}} = \Var{((u0-440)/r).decimal._mo.value | round(0)} \mbox{ jours}
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\]
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\end{itemize}
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\subsection*{Partie B}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{eqnarray*}
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u_0 &=& \Var{u0}\\
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%- set u1 = q*u0-r
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u_1 &=& \Var{q}\times u_0 - \Var{r} = \Var{u1}\\
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%- set u2 = q*u1-r
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u_2 &=& \Var{q}\times u_1 - \Var{r} = \Var{u2}
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\end{eqnarray*}
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\item
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\begin{center}
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\begin{tabular}{| l |}
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\hline
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\textbf{Variables} \\
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\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
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\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
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\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
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\textbf{Entrée} \\
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\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
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\textbf{Initialisation}\\
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\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
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\textbf{Traitement} \\
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\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
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\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $\Var{q}*u-\Var{r}$ \\
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\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
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\textbf{Sortie} \\
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|
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
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\item
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\begin{enumerate}
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\item $v_0 = u_0 + \Var{pointfix} = \Var{u0} + \Var{pointfix} = \Var{v0}$
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\item $v_n = \Var{v0}\times \Var{q}^n$
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\item Comme $v_n = u_n + \Var{pointfix}$ alors $u_n = v_n - \Var{pointfix}$ et donc
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\[
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u_n = \Var{v0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix}
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\]
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\item $u_{20} =\Var{v0} \times \Var{q}^{20} - \Var{pointfix}= \Var{(v0*q**20 - pointfix)._mo.value | round(0)}$
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\end{enumerate}
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|
\item
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\begin{eqnarray*}
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\Var{u0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix} &<& 440 \\
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\Var{u0} \times \Var{q}^n &<& 440+\Var{pointfix} \\
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\Var{q}^n &<& \frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}} \\
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ln(\Var{q}^n) &<& ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right) \\
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n\times ln(\Var{q}) &<& ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right) \\
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n &>& \frac{ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right)}{ln\Var{q}} \\
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\end{eqnarray*}
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Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(\Var{q})$ est négatif.
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Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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