2019-2020/1ST/Derivation/Nombre_derive/2B_nombre_derive.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Nombre dérivé - Nombre dérivé}
\tribe{1ST}
\date{Janvier 2020}
\pagestyle{empty}
%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}
%\setcounter{section}{1}
\section{Tangente}
\subsection*{Définition}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
La \textbf{tangente} à une courbe au point $A$ d'abscisse $x$ est la \textbf{droite} qui passe par $A$ et qui vient se \textit{coller} le plus possible à la courbe en ce point.
Pour calculer son équation il faut:
\begin{itemize}
\item Le coefficient directeur ($a$)
\item L'ordonnée à l'origine ($b$)
\end{itemize}
Elle est de la forme
\[
y = ax + b
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{0.5*x**2}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
Dans le graphique ci-dessus, on a tracé la tangente en $x=2$ et son équation est:
\afaire{Tracer la tangente en $x=2$ et trouver son équation}
\section{Nombre dérivé}
\subsection*{Définition}
Soit $f$ une fonction et $T$ la tangente à la courbe représentative de $f$ en un point $x_0$.
On appelle \textbf{Nombre dérivé à $f$ en $x_0$} le coefficient directeur de la tangente $T$. On note ce nombre $f'(x_0)$.
\bigskip
Dans l'exemple précédent, on peut dire
\[
f'(2) = ...
\]
\afaire{à compléter}
\bigskip
On peut faire l'analogie avec la vitesse:
\begin{center}
\begin{tabular}{C{0.3\textwidth}|C{0.3\textwidth}|C{0.3\textwidth}}
\textbf{Position} & \textbf{Une fonction} & \textbf{Les coûts}\\
Vitesse Moyenne & Taux de variation & Variation des coûts\\
\[
v_m = \frac{posi(t_2) - posi(t_1)}{t_2-t_1}
\] &
\[
Tx = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}
\] &
\[
Var = \frac{cout(t_2) - cout(t_1)}{t_2-t_1}
\]
\\
Vitesse instantanée & Nombre dérivée & Coût marginal \\
\[
v(t_0) = \lim_{t \rightarrow t_0} \frac{posi(t_0) - posi(t)}{t_0-t}
\] &
\[
f'(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x}
\] &
\[
C_m(t_0) = \lim_{t \rightarrow t_0} \frac{cout(t_0) - cout(t)}{t_0-t}
\]
\end{tabular}
\end{center}
La limite se traduit graphiquement comme les droites qui se rapprochent de la tangente.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-1,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{0.5*x**2}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}