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2.9 KiB
TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Nombre dérivé - Nombre dérivé}
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\tribe{1ST}
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\date{Janvier 2020}
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\pagestyle{empty}
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%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
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\begin{document}
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%\setcounter{section}{1}
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\section{Tangente}
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\subsection*{Définition}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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La \textbf{tangente} à une courbe au point $A$ d'abscisse $x$ est la \textbf{droite} qui passe par $A$ et qui vient se \textit{coller} le plus possible à la courbe en ce point.
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Pour calculer son équation il faut:
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\begin{itemize}
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\item Le coefficient directeur ($a$)
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\item L'ordonnée à l'origine ($b$)
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\end{itemize}
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Elle est de la forme
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\[
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y = ax + b
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\]
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=.45, xscale=1]
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\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{0.5*x**2}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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Dans le graphique ci-dessus, on a tracé la tangente en $x=2$ et son équation est:
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\afaire{Tracer la tangente en $x=2$ et trouver son équation}
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\section{Nombre dérivé}
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\subsection*{Définition}
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Soit $f$ une fonction et $T$ la tangente à la courbe représentative de $f$ en un point $x_0$.
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On appelle \textbf{Nombre dérivé à $f$ en $x_0$} le coefficient directeur de la tangente $T$. On note ce nombre $f'(x_0)$.
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\bigskip
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Dans l'exemple précédent, on peut dire
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\[
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f'(2) = ...
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\]
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\afaire{à compléter}
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\bigskip
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On peut faire l'analogie avec la vitesse:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{C{0.3\textwidth}|C{0.3\textwidth}|C{0.3\textwidth}}
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\textbf{Position} & \textbf{Une fonction} & \textbf{Les coûts}\\
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Vitesse Moyenne & Taux de variation & Variation des coûts\\
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\[
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v_m = \frac{posi(t_2) - posi(t_1)}{t_2-t_1}
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\] &
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\[
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Tx = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}
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\] &
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\[
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Var = \frac{cout(t_2) - cout(t_1)}{t_2-t_1}
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\]
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\\
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Vitesse instantanée & Nombre dérivée & Coût marginal \\
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\[
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v(t_0) = \lim_{t \rightarrow t_0} \frac{posi(t_0) - posi(t)}{t_0-t}
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\] &
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\[
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f'(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x}
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\] &
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\[
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C_m(t_0) = \lim_{t \rightarrow t_0} \frac{cout(t_0) - cout(t)}{t_0-t}
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\]
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\end{tabular}
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\end{center}
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La limite se traduit graphiquement comme les droites qui se rapprochent de la tangente.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
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\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
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ymin=-1,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{0.5*x**2}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{document}
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