2019-2020/1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg3/banque.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Exploration des fonctions du type $ax^3 + b$}, step={1}, topics={Polynôme degré 3}]
    Dans cet exercice, on souhaite étudier les fonctions polynômes de degré 3 de la forme $ax^3+b$.

    Pour cela, on va étudier 4 fonctions de cette familles:
    \[
        f(x) = 2x^3 + 1 \qquad g(x) = -2x^3 + 1 \qquad h(x) = 2x^3 - 1 \qquad i(x) = x^3
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Pour chacune de ces fonctions préciser les valeurs de $a$ et de $b$.
        \item À l'aide de la calculatrice ou de Géogébra (disponible en ligne) tracer l'allure de la courbe de représentative de chaque fonction en prenant soin de préciser quelques valeurs qui vous semblent remarquables.
        \item Où peut-on lire la valeur de $b$ sur les graphiques?
        \item (*) Démontrer cette conjecture.
        \item D'après vous, quelle est l'influence de $a$ sur l'allure de la courbe? Qu'est-ce que cela implique sur les variations de la fonction?
        \item (*) Démontrer cette conjecture.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Solution des équations $x^3=k$}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}]
    Dans cet exercice, nous allons chercher à résoudre les équations du type $x^3=k$. Pour cela, nous allons porter une attention particulière à la fonction $f(x) = x^3$.
    \begin{enumerate}
        \item Tracer la courbe représentative de $f(x) = x^3$ avec $x$ allant de $-3$ à $3$.
    \end{enumerate}
    Les questions suivantes se répondent en utilisant le graphique.
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Tracer la droite $y=8$ puis résoudre l'équation $x^3 = 8$.
        \item Même question pour $x^3 = -8$.
        \item Même question pour $x^3 = 4$.
        \item Même question pour $x^3 = 2$.
        \item Même question pour $x^3 = 0$.
        \item De manière générale, combien l'équation $x^3 = k$ a-t-elle de solution?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Équations cubiques}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}]
    Résoudre les équations suivantes

    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $x^3 = 8$
            \item $x^3 = 27$
            \item $x^3 = 64$

            \item $x^3 = -27$
            \item $x^3 = 10$
            \item $x^3 = -5$

            \item (*) $2x^3 = 16$
            \item (*) $-4x^3 = 40$
            \item (*) $3x^3 + 1 = 8$

        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boule}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}]
    Le volume d'une boule de rayon $R$ se calcule avec la formule
    \[
        V(R) = \frac{4}{3}\pi R^3
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer le volume d'une boule de rayon 2cm.
        \item Quel doit être le rayon de la boule pour que son volume soit égal à $30cm^3$?
        \item (*) Si l'on multiplie le rayon par 3, par combien le volume est-il multiplié?
        \item (*) Si l'on augmente le rayon de 20\%, quel est le taux d'évolution du volume?
        \item (**) Si l'on souhaite augmenter le volume de 20\%, quel doit être le taux d'évolution du rayon?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Marche suivante: degré 3}, step={3}, topics={Polynôme degré 3}]
    \begin{enumerate}
        \item  Soit $P(x) = 3x^3 - 6x^2 + 9$ un polynôme de degré 3.
            \begin{enumerate}
                \item Expliquer pourquoi $P$ est un polynôme de degré 3.
                \item Démontrer que $x=1$, $x=2$ et $x=-1$ sont des racines de $P$.
                \item En vous inspirant du travail fait sur les polynômes de degré 2, proposer une forme factorisée de $P(x)$.
                \item Développer cette forme factorisée pour retrouver l'expression de $P(x)$ initiale.
            \end{enumerate}
        \item Soit $Q(x) = 5(x-2)(x+1)(x+2)$ une fonction.
            \begin{enumerate}
                \item Développer l'expression de $Q(x)$ pour vérifier que c'est une fonction polynôme de degré 3.
                \item Conjecturer 3 racines de $Q(x)$ puis démontrer qu'elles sont bien des racines.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}, step={3}, topics={Polynôme degré 3}]
    Soit $P(x) = 2x^3 + 8x^2 + 2x - 12$ une fonction polynôme de degré 3.
    \begin{enumerate}
        \item Tracer la courbe représentative de $P(x)$ et conjecturer les valeurs des racines de $P(x)$.
        \item Parmi les valeurs suivantes lesquelles sont des racines de $P(x)$.
            \[
                -3 \qquad
                -2 \qquad
                -1 \qquad
                0 \qquad
                1 \qquad
                2 \qquad
                3
            \]
        \item  Proposer une forme factorisée pour $P(x)$ et vérifier la en développant l'expression.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={La racine double!}, step={3}, topics={Polynôme degré 3}]
    Soit $P(x) = 2x^3 + 2x^2 -10x - 6$ une fonction polynôme de degré 3.
    \begin{enumerate}
        \item Tracer la courbe représentative de $P(x)$ et conjecturer les valeurs des racines de $P(x)$.
        \item Parmi les valeurs suivantes lesquelles sont des racines de $P(x)$ (toutes les racines se trouvent parmi ces valeurs).
            \[
                -3 \qquad
                -2 \qquad
                -1 \qquad
                0 \qquad
                1 \qquad
                2 \qquad
                3
            \]
        \item  Proposer une forme factorisée pour $P(x)$ et vérifier la en développant l'expression.
    \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe}, step={4}, topics={Polynôme degré 3}]
    Pour chacune des fonctions suivantes, réaliser le tableau de signe.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 3(x-1)(x-10)(x+2)$
            \item $g(x) = 2(x-2)(x+3)(x+2)$
            \item $h(x) = -3(x-1)(x-10)(x+2)$
            \item $i(x) = -2(x-1)(x+1)(x+2)$
            \item $j(x) = -3(x-1)(x-10)^2$
            \item(*) $k(x) = (2x-1)(-x-10)(x+2)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude des profits}, step={4}, topics={Polynôme degré 3}]
    Un usine produit chaque jours entre 0 et 50 milles masques. Une étude statistique a montré que les bénéfices pouvaient être modélisés par la fonction suivante:
    \[
        f(x) = x^3 - 96x^2+2489,25x - \np{10171,25}
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$.
        \item En déduire les racines de $f$.
        \item Étudier le signe de $f(x)$.
        \item En déduire le nombre de masque que l'entreprise doit produire pour gagner de l'argent.
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}