Feat: Cours et début des exo sur poly deg 3
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@ -7,30 +7,20 @@
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\pagestyle{empty}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step={1},
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}
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\begin{document}
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\textit{Les questions marquées d'une étoile (*) sont plus abstraites. On y propose de démontrer des résultats. Elles sont réservées aux élèves les plus à l'aise.}
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\input{banque.tex}
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\printcollection{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Exploration des fonctions du type $ax^3 + b$}]
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Dans cet exercice, on souhaite étudier les fonctions polynômes de degré 3 de la forme $ax^3+b$.
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Pour cela, on va étudier 4 fonctions de cette familles:
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\[
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f(x) = 2x^3 + 1 \qquad g(x) = -2x^3 + 1 \qquad h(x) = 2x^3 - 1 \qquad i(x) = x^3
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Pour chacune de ces fonctions préciser les valeurs de $a$ et de $b$.
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\item À l'aide de la calculatrice ou de Géogébra (disponible en ligne) tracer l'allure de la courbe de représentative de chaque fonction en prenant soin de préciser quelques valeurs qui vous semblent remarquables.
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\item Où peut-on lire la valeur de $b$ sur les graphiques?
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\item (*) Démontrer cette conjecture.
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\item D'après vous, quelle est l'influence de $a$ sur l'allure de la courbe? Qu'est-ce que cela implique sur les variations de la fonction?
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\item (*) Démontrer cette conjecture.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -9,7 +9,7 @@
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\begin{document}
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\setcounter{section}{1}
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\setcounter{section}{2}
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\section{Racine cubique}
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\subsection*{Définition}
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@ -29,7 +29,7 @@ On trouvera la fonction $\sqrt[3]{\ldots}$ à travers la touche \calc{math}.
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\subsubsection*{Exemple}
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Résolution de l'équation $x^3 = 5$
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La solution est
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La solution est
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\[
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x = \sqrt[3]{5} \approx 1,7
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\]
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@ -41,7 +41,7 @@ Ce que l'on peut aussi écrire
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,59 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Polynômes du 3e degré - Cours}
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\tribe{1ST}
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\date{Mai 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\setcounter{section}{3}
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\section{Les fonctions $x\mapsto a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$}
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\subsection*{Propriété}%
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Certains polynômes de degré 3 peuvent se mettre sous la forme \textbf{factorisée} suivante
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\[
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P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
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\]
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Comme pour les polynômes de degré 2, $x_1$, $x_2$ et $x_3$ sont des \textbf{racines} du polynôme.
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\subsubsection*{Démonstration}%
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\afaire{Démontrer que $x_1$, $x_2$ et $x_3$ sont des \textbf{racines} du polynôme $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$.}
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\subsubsection*{Exemple}%
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Montrons que $-1$, $-2$ et $1$ sont des racines de
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\[
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P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2
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\]
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On en déduit la forme factorisée de $P(x)$
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\afaire{}
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\subsection*{Définition}%
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\begin{itemize}
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\item On appelle \textbf{racine double} une racine qui apparait 2 fois dans la forme factorisé. On a alors dans le cas où $x_1$ est une racine double
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\[
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P(x) = a(x-x_1)(x-x_1)(x-x_3) = a(x-x_1)^2(x-x_3)
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\]
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\item On appelle \textbf{racine triple} une racine qui apparait 3 fois dans la forme factorisé. On a alors dans le cas où $x_1$ est une racine triple
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\[
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||||
P(x) = a(x-x_1)(x-x_1)(x-x_1) = a(x-x_1)^3
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\]
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\end{itemize}
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\subsection*{Méthode: étude de signe}%
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Étudions le signe de $P(x) = 2(x+1)(x+2)(x-1)$
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\afaire{}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,26 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Équation cubiques}
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\tribe{1ST}
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\date{Avril 2020}
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\pagestyle{empty}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step={3},
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}
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\begin{document}
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\input{banque.tex}
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -0,0 +1,75 @@
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Exploration des fonctions du type $ax^3 + b$}, step={1}, topics={Polynôme degré 3}]
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Dans cet exercice, on souhaite étudier les fonctions polynômes de degré 3 de la forme $ax^3+b$.
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||||
Pour cela, on va étudier 4 fonctions de cette familles:
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||||
\[
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||||
f(x) = 2x^3 + 1 \qquad g(x) = -2x^3 + 1 \qquad h(x) = 2x^3 - 1 \qquad i(x) = x^3
|
||||
\]
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Pour chacune de ces fonctions préciser les valeurs de $a$ et de $b$.
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||||
\item À l'aide de la calculatrice ou de Géogébra (disponible en ligne) tracer l'allure de la courbe de représentative de chaque fonction en prenant soin de préciser quelques valeurs qui vous semblent remarquables.
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||||
\item Où peut-on lire la valeur de $b$ sur les graphiques?
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||||
\item (*) Démontrer cette conjecture.
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||||
\item D'après vous, quelle est l'influence de $a$ sur l'allure de la courbe? Qu'est-ce que cela implique sur les variations de la fonction?
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||||
\item (*) Démontrer cette conjecture.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Solution des équations $x^3=k$}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}]
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Dans cet exercice, nous allons chercher à résoudre les équations du type $x^3=k$. Pour cela, nous allons porter une attention particulière à la fonction $f(x) = x^3$.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la courbe représentative de $f(x) = x^3$ avec $x$ allant de $-3$ à $3$.
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\end{enumerate}
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Les questions suivantes se répondent en utilisant le graphique.
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{1}
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\item Tracer la droite $y=8$ puis résoudre l'équation $x^3 = 8$.
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\item Même question pour $x^3 = -8$.
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\item Même question pour $x^3 = 4$.
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\item Même question pour $x^3 = 2$.
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\item Même question pour $x^3 = 0$.
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\item De manière générale, combien l'équation $x^3 = k$ a-t-elle de solution?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Équations cubiques}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}]
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Résoudre les équations suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $x^3 = 8$
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\item $x^3 = 27$
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\item $x^3 = 64$
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\item $x^3 = -27$
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\item $x^3 = 10$
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\item $x^3 = -5$
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\item (*) $2x^3 = 16$
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\item (*) $-4x^3 = 40$
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\item (*) $3x^3 + 1 = 8$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boule}, step={2}, topics={Polynôme degré 3}]
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Le volume d'une boule de rayon $R$ se calcule avec la formule
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\[
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V(R) = \frac{4}{3}\pi R^3
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le volume d'une boule de rayon 2cm.
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\item Quel doit être le rayon de la boule pour que son volume soit égal à $30cm^3$?
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\item (*) Si l'on multiplie le rayon par 3, par combien le volume est-il multiplié?
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\item (*) Si l'on augmente le rayon de 20\%, quel est le taux d'évolution du volume?
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\item (**) Si l'on souhaite augmenter le volume de 20\%, quel doit être le taux d'évolution du rayon?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Racines}, step={3}, topics={Polynôme degré 3}]
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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@ -2,7 +2,7 @@ Polynômes du 3e degré pour l'année 2019-2020 avec les premières technologiq
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:date: 2020-04-10
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:modified: 2020-04-10
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:modified: 2020-05-08
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:authors: Bertrand Benjamin
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:tags: Fonctions, Polynômes
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:category: 1techno
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@ -38,3 +38,17 @@ Cours:
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:height: 200px
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:alt: Bilan sur les équations cubiques
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Étape 3: Racines et forme factorisée et étude de signe
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Cours:
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.. image:: 3B_racines_facto.pdf
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:height: 200px
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:alt: Bilan sur la forme factorisée d'un polynôme de degré 3.
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Exercices:
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.. image:: 3E_racine_facto.pdf
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:height: 200px
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:alt: Exercices sur les racines et la factorisation.
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