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1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/1B_polyDeg2.tex

@@ -0,0 +1,59 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - Cours}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\section{Polynôme de degré 2}
+
+Dans l'exercice sur le volume d'une boite, on a abouti à l'étude de la fonction suivante
+\[
+    V(x) = 
+\]
+\afaire{Écrire la formule factorisée puis développée qui permet de calculer le volume}
+Pour étudier les variations et trouver le maximum, il a fallut dériver $V$
+\[
+    V'(x) = 
+\]
+\afaire{Dériver la fonction $V$}
+
+À cause du "$^2$", on ne peut pas trouver où la tangente est horizontale car on ne sait pas résoudre $V'(x) = 0$.
+
+C'est ce type de fonction que l'on va étudier dans ce chapitre.
+
+\subsection*{Définition}
+
+On appelle \textbf{fonction polynôme du second degré} tout fonction $f$ définie sur $\R$ par
+\[
+    f(x) = ax^2 + bx + c
+\]
+où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels et $a$ n'est pas nul.
+
+On appelle l'expression algébrique $ax^2 + bx + c$ \textbf{trinôme du second degré}.
+
+\subsubsection*{Exemples}
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 3x^2 - 10x + 2$
+            \item $f(x) = 3 + 4x^2 - x$
+            \item $f(x) = 3x^2 - 10x$
+            \item $f(x) = - 10x + 2$
+            \item $f(x) = 3x^2$
+            \item $f(x) = (2x+1)(x-1)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\afaire{Parmi les fonction ci-dessus, lesquelles sont des fonctions polynôme du second degré? Quand elles le sont, préciser les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
+}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/1B_polyDeg2_corr.tex

@@ -0,0 +1,76 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - Cours}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\section{Polynôme de degré 2}
+
+Dans l'exercice sur le volume d'une boite, on a abouti à l'étude de la fonction suivante
+\[
+    V(x) = x(20-2x)(20-2x) = 4x^3 - 80x^2 + 400x
+\]
+%\afaire{Écrire la formule factorisée puis développée qui permet de calculer le volume}
+Pour étudier les variations et trouver le maximum, il a fallut dériver $V$
+\[
+    V'(x) = 12x^2 - 160x + 400
+\]
+%\afaire{Dériver la fonction $V$}
+
+À cause du "$^2$", on ne peut pas trouver où la tangente est horizontale car on ne sait pas résoudre $V'(x) = 0$.
+
+C'est ce type de fonction que l'on va étudier dans ce chapitre.
+
+\subsection*{Définition}
+
+On appelle \textbf{fonction polynôme du second degré} tout fonction $f$ définie sur $\R$ par
+\[
+    f(x) = ax^2 + bx + c
+\]
+où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels et $a$ n'est pas nul.
+
+On appelle l'expression algébrique $ax^2 + bx + c$ \textbf{trinôme du second degré}.
+
+\subsubsection*{Exemples}
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 3x^2 - 10x + 2$
+
+                Oui avec $a = 3$, $b = -10$ et $c=2$
+            \item $f(x) = 3 + 4x^2 - x$
+
+                Oui avec $a = 4$, $b = -1$ et $c=3$
+            \item $f(x) = 3x^2 - 10x$
+
+                Oui avec $a = 3$, $b = -10$ et $c=0$
+            \item $f(x) = - 10x + 2$
+
+                Non, car sinon $a=0$
+            \item $f(x) = 3x^2$
+
+                Oui avec $a = 3$, $b = 0$ et $c=0$
+            \item $f(x) = (2x+1)(x-1)$
+
+                Oui mais il faut développer pour s'en rendre compte
+
+                \[
+                    f(x) = (2x+1)(x-1)= 2x^2 - x -1
+                \]
+                Donc $a=2$, $b= -1$ et $x=-1$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+%\afaire{Parmi les fonction ci-dessus, lesquelles sont des fonctions polynôme du second degré? Quand elles le sont, préciser les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
+}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/1E_boite.tex

@@ -0,0 +1,34 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - introduction}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boite}]
+    On dispose d'une feuille cartonnée pour construire des boites sans couvercle.
+
+    \includegraphics[scale=0.3]{./fig/boite}
+
+    Où doit-on plier les bords pour avoir une boite la plus grande possible?
+\end{exercise}
+
+\vfill
+\printexercise{exercise}{1}
+\vfill
+\printexercise{exercise}{1}
+\vfill
+\printexercise{exercise}{1}
+\vfill
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/2B_cas_part.tex

@@ -0,0 +1,96 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - Cours}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Représentation graphique}
+
+\subsection*{Définition}
+
+    Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ un polynôme du second degré. 
+
+    La représentation graphique de $f$ s'appelle une \textbf{parabole}.
+
+    \begin{tabular}{cc}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzAxeXY
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x*x-x+1}
+        \end{tikzpicture}
+     & 
+     \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+         \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+         ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+         \tkzAxeXY
+         \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-x*x-x+3}
+     \end{tikzpicture} \\
+        Cas où $a > 0$ les branches sont orientées vers le haut. &
+        Cas où $a < 0$ les branches sont orientées vers le bas.
+    \end{tabular}
+
+\section{Fonctions particulières}
+
+Dans le programme de première ST, seules 3 formes de polynômes du 2nd degré sont à savoir étudier et reconnaître.
+
+\subsection*{$x \mapsto ax^2$}
+    \begin{tabular}{cc}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=2]
+            \tkzInit[xmin=-2,xmax=2,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzAxeXY
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{2*x*x}
+        \end{tikzpicture}
+     & 
+     \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=1.3]
+         \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
+         ymin=-10,ymax=5,ystep=1]
+         \tkzAxeXY
+         \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-3*x*x}
+     \end{tikzpicture} \\
+        f(x) = 2x^2 & 
+        f(x) = -3x^2 & 
+    \end{tabular}
+
+\afaire{Reprendre la correction de l'exercice 24p90}
+
+\subsection*{$x \mapsto ax^2 + b$}
+
+    \begin{tabular}{cc}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=2]
+            \tkzInit[xmin=-2,xmax=2,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzAxeXY
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{2*x*x + 2}
+        \end{tikzpicture}
+     & 
+     \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=1.3]
+         \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
+         ymin=-10,ymax=5,ystep=1]
+         \tkzAxeXY
+         \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-3*x*x+ 4}
+     \end{tikzpicture} \\
+        f(x) = 2x^2 + 2 & 
+        f(x) = -3x^2 + 4& 
+    \end{tabular}
+
+
+\afaire{Reprendre la correction de l'exercice 31p90}
+
+\subsection*{$x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2)$}
+\enclasse{}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/2E_association.tex

@@ -0,0 +1,248 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - Association}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+Cet exercice est à faire sans la calculatrice.
+\renewcommand{\labelenumi}{$\alph{enumi}(x) = $}
+\begin{multicols}{3}
+    \begin{enumerate}
+        \item $2x^2$
+        \item $5x^2 + 1$
+        \item $2(x - 1)(x - 4)$
+        \item $-2x^2$
+        \item $-2(x + 3)(x - 1)$
+        \item $5x^2 - 3$
+    \end{enumerate}
+\end{multicols}
+
+\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
+\begin{enumerate}
+    \item Classer les fonctions par "forme".
+    \item Associer à chaque fonction le graphique qui lui correspond.
+    \item Pour chaque "forme" de fonction, trouver les éléments qui permettent sans calculs de tracer l'allure de leur graphique.
+    \item Pour chaque "forme", proposer une nouvelle fonction et tracer l'allure de sa représentation graphique.
+\end{enumerate}
+
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{cc}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{5*x*x + 1}
+        \end{tikzpicture}
+        &
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{5*x*x - 3}
+        \end{tikzpicture}
+
+        \\
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{2*x*x}
+        \end{tikzpicture}
+        &
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-2*x*x}
+        \end{tikzpicture}
+
+        \\
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{2*(x-1)*(x-4)}
+        \end{tikzpicture}
+        &
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-2*(x+3)*(x-1)}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{tabular}
+\end{center}
+
+\pagebreak
+
+Cet exercice est à faire sans la calculatrice.
+\renewcommand{\labelenumi}{$\alph{enumi}(x) = $}
+\begin{multicols}{3}
+    \begin{enumerate}
+        \item $2x^2 + 3$
+        \item $2(x - 2)(x - 4)$
+        \item $-0.5x^2$
+        \item $0.5x^2$
+        \item $2x^2 - 1$
+        \item $-2(x + 1)(x - 4)$
+    \end{enumerate}
+\end{multicols}
+
+\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
+\begin{enumerate}
+    \item Classer les fonctions par "forme".
+    \item Associer à chaque fonction le graphique qui lui correspond.
+    \item Pour chaque "forme" de fonction, trouver les éléments qui permettent sans calculs de tracer l'allure de leur graphique.
+    \item Pour chaque "forme", proposer une nouvelle fonction et tracer l'allure de sa représentation graphique.
+\end{enumerate}
+
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{cc}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{2*x*x + 3}
+        \end{tikzpicture}
+        &
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{2*x*x - 1}
+        \end{tikzpicture}
+
+        \\
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{0.5*x*x}
+        \end{tikzpicture}
+        &
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-0.5*x*x}
+        \end{tikzpicture}
+
+        \\
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{2*(x-2)*(x-4)}
+        \end{tikzpicture}
+        &
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-2*(x+1)*(x-4)}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{tabular}
+\end{center}
+
+\pagebreak
+
+Cet exercice est à faire sans la calculatrice.
+\renewcommand{\labelenumi}{$\alph{enumi}(x) = $}
+\begin{multicols}{3}
+    \begin{enumerate}
+        \item $x^2$
+        \item $-(x + 3)(x - 3)$
+        \item $-2x^2 + 2$
+        \item $(x - 3)(x + 4)$
+        \item $-2x^2 - 3$
+        \item $-x^2$
+    \end{enumerate}
+\end{multicols}
+
+\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
+\begin{enumerate}
+    \item Classer les fonctions par "forme".
+    \item Associer à chaque fonction le graphique qui lui correspond.
+    \item Pour chaque "forme" de fonction, trouver les éléments qui permettent sans calculs de tracer l'allure de leur graphique.
+    \item Pour chaque "forme", proposer une nouvelle fonction et tracer l'allure de sa représentation graphique.
+\end{enumerate}
+
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{cc}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-10,ymax=5,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-2*x*x + 2}
+        \end{tikzpicture}
+        &
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-10,ymax=5,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-2*x*x - 3}
+        \end{tikzpicture}
+
+        \\
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x*x}
+        \end{tikzpicture}
+        &
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-10,ymax=5,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-x*x}
+        \end{tikzpicture}
+
+        \\
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-13,ymax=2, ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{(x-3)*(x+4)}
+        \end{tikzpicture}
+        &
+        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-(x+3)*(x-3)}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{tabular}
+\end{center}
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/3B_racines_facto.tex

@@ -0,0 +1,77 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - Cours}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{1}
+\section*{Racines et forme factorisée.}
+
+\subsection*{Définition}
+
+On appelle \textbf{racine} d'un polynôme $f(x)$ une valeur de $x$ telle que $f(x) = 0$. 
+
+\subsubsection*{Exemple}
+$3$ est une racine de $f(x) = x^2-2x-3$ car
+\[
+    f(3) = 3^2 - 2\times3 -3 = 9 - 6 - 3 = 0
+\]
+
+\subsection*{Propriété}
+
+Une racine d'un polynôme correspond à l'abscisse d'un point d'intersection entre la courbe représentative du polynôme et l'axe des abscisses.
+
+
+\subsubsection*{Exemple}
+On a vu que $3$ est une racine de $f(x) = x^2-2x-3$. On peut aussi le "voir" sur un graphique, car la courbe coupe l'axe des abscisses en $x=3$.
+
+\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=1]
+    \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
+    ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
+    \tkzAxeXY
+    \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x*x -2*x - 3}
+\end{tikzpicture}
+
+\afaire{Trouver sur le graphique une autre racine puis démontrer que c'est bien une racine}
+
+\subsection*{Propriété - admise}
+Un polynôme du 2nd degré a 0, 1 ou 2 racines.
+
+\subsubsection*{Exemple}
+\afaire{En vous aidant des graphiques, répondre à la question.
+}
+Combien de racines ont les polynômes suivants?
+\[
+    f(x) = 2x^2 \qquad g(x) = x^2 + 4 \qquad h(x) = x^2 - 2
+\]
+
+\subsection*{Propriété - admise}
+Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ un polynôme du 2nd degré. Alors
+\begin{itemize}
+    \item S'il a 2 racines $x_1$ et $x_2$ alors on peut le factoriser et on a 
+        \[
+            f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)
+        \]
+    \item S'il a 1 racine $x_1$ alors on peut le factoriser et on a 
+        \[
+            f(x) = a(x-x_1)^2
+        \]
+    \item S'il n'a pas de racine, alors on ne peut pas le factoriser.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Exemple}
+\afaire{Proposer une factorisation de $f(x) = 2x^2-4x-6$}
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/3E_developper_factoriser.tex

@@ -0,0 +1,98 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - Développer Factoriser}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Développer}]
+    Ci-dessous des polynômes du 2nd degré écrit sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ que vous allez devoir développer.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $(x+4)(x-2)$
+            \item $(x-3)(x-8)$
+            \item $2(x-4)(x-8)$
+            \item $-3(x-1)(x-6)$
+            \item $10(x-2)(x-5)$
+            \item $0.5(x+1)(x+9)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\hline
+\medskip
+On appelle \textbf{racine} d'un polynôme $f(x)$ une valeur de $x$ telle que $f(x) = 0$. 
+
+Par exemple, $3$ est une racine de $f(x) = x^2-2x-3$ car
+\[
+    f(3) = 3^2 - 2\times3 -3 = 9 - 6 - 3 = 0
+\]
+\hline
+\begin{exercise}[subtitle={Racines}]
+    Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier    
+    \begin{enumerate}
+        \item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3^2-2x-3$.
+        \item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
+        \item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
+        \item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
+        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
+        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
+            \[
+                f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 5(x-5)(x-0.2)
+            \]
+            \begin{enumerate}
+                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
+                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
+                \item Démontrer que $f(x) = g(x)$ pour toutes valeurs de $x$ réelles.
+                \item Tracer la représentation graphique de $f$. Que ce passe-t-il pour les valeurs $x=5$et $x=0.2$?
+            \end{enumerate}
+        \item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
+            \[
+                h(x) = x^2 + 2x - 15
+            \]
+            \begin{enumerate}
+                \item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
+                \item En vous inspirant de ce qui a été fait avant, conjecturer une forme factorisée de $f$. Démontrer que cette forme factorisée convient.
+            \end{enumerate}
+        \item Proposer une méthode pour factoriser un polynôme du 2nd degré.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}]
+    Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
+    \begin{enumerate}
+        \item On veut factoriser $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
+            \begin{enumerate}
+                \item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
+                \item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
+                    \[
+                        -3\qquad -2 \qquad -1 \qquad 1 \qquad 2
+                    \]
+                \item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
+            \end{enumerate}
+        \item On veut factoriser $g(x) = 2x^2 - 6x + 4$.
+            \begin{enumerate}
+                \item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
+                \item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
+                \item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/4B_parabole.tex

@@ -0,0 +1,59 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - Cours}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{3}
+\section{Éléments géométriques à reconnaitre sur une parabole}
+
+\subsection*{Propriété}
+
+Soit $f(x)$ un polynôme avec une ou deux racines nommées $x_1$ et $x_2$. On sait que l'on a
+\[
+    f(x) = x(x-x_1)(x-x_2)
+\]
+Alors la parabole représentative de $f$ a les caractéristiques suivantes:
+\begin{itemize}
+    \item L'axe de symétrie de la parabole a pour équation $y = \dfrac{x_1+x_2}{2}$
+    \item Le sommet de la parabole a pour abscisse $\dfrac{x_1+x_2}{2}$
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Exemple}
+
+Soit $f(x) = -3(x-2)(x+4)$ sa courbe représentative a été tracée ci-dessous. 
+
+\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
+    \tkzInit[xmin=-6,xmax=4,xstep=1,
+    ymin=-5,ymax=30,ystep=2]
+    \tkzGrid
+    \tkzAxeXY
+    \tkzFct[domain = -6:4, line width=1pt]{-3*(x-2)*(x+4)}
+\end{tikzpicture}
+
+\afaire{}
+\begin{enumerate}
+    \item  Déterminer et tracer l'axe de symétrie.
+    \item Calculer les coordonnées du sommet de la parabole.
+\end{enumerate}
+
+
+\section{Étude de signe d'un polynôme du 2nd degré}
+
+\afaire{Reprendre la correction donnée en vidéo}
+
+
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/4E_etude_signe.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - Association}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={étude de signe}]
+    Tracer le tableau de signe des fonctions suivantes
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 3(x-2)(x+1)$
+            \item $g(x) = 5(x+6)(x+2)$
+            \item $h(x) = -2(x-5)(x-1)$
+            \item $i(x) = -0.1(x-0.2)(x+10)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Retour sur la boite!}]
+    On a maintenant tous les outils pour terminer et résoudre l'exercice de la boite. On rappelle que l'on souhaiter trouver le maximum de la fonction
+    \[
+        V(x) = x(20-2x)(20-2x) = 4x^3 - 80x^2 + 400x
+    \]
+    On avait alors dérivé $V$ et trouvé
+    \[
+        V'(x) = 12x^2 - 160x + 400
+    \]
+    On s'était arrêté là car on ne savait pas résoudre $V'(x)=0$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que $x=10$ et $x=\frac{10}{3}$ sont deux racines de $V'(x)$.
+        \item Démontrer que $V'(x) = 12(x-10)(x-\dfrac{10}{3})$
+        \item Tracer le tableau de signes de $V'(x)$ pour $x$ variant entre 0 et 10.
+        \item En déduire le tableau de variations de $V(x)$ pour $x$ variant entre 0 et 10.
+        \item Pour quelle valeur de $x$, le volume de la boite est-il maximal?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/5E_typeE3C.tex

@@ -0,0 +1,113 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - Association}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\arediger{Un exercice parmi les 3 suivants. Les 3 exercices ne sont pas d'une difficulté équivalente, à vous d'en choisir un qui correspond à votre niveau.}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Basic}]
+    On définit la fonction $f$ sur $\R$ par
+    \[
+        f(x) = -0,1x^2 -0,3x +1,8
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer l'image de 3 et interpréter le résultat.
+        \item Démontrer que -6 est une racine de $f$.
+        \item Démontrer que l'on a $f(x) = -0,1(x-3)(x+6)$.
+        \item Tracer le tableau de signe de $f$.
+        \item Dériver la fonction $f$.
+        \item En déduire le tableau de variations de $f$.
+        \item Déterminer les coordonnées du sommet de la représentation graphique de $f$.
+        \item Tracer l'allure de la représentation graphique.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Moyen}]
+    \begin{enumerate}
+        \item On considère la fonction polynôme $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = -3(x+1)(x-5)$ et $(P)$ la parabole représentant cette fonction.
+            \begin{enumerate}
+                \item Donner les 2 racines de $f$
+                \item Développer $f$
+                \item Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de la parabole $(P)$.
+                \item Dresser le tableau de signe de $f$.
+                \item Parmi les représentations graphiques ci-dessous laquelle correspond à $(P)$? Justifier.
+
+                    \hspace{-2cm}
+                    \begin{tabular}{ccc}
+                        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.6]
+                            \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
+                            ymin=-5,ymax=30,ystep=2]
+                            \tkzGrid
+                            \tkzAxeXY
+                            \tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{-3*(x+1)*(x-5)}
+                        \end{tikzpicture}
+                    &
+                    \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.6]
+                        \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
+                        ymin=-30,ymax=5,ystep=2]
+                        \tkzGrid
+                        \tkzAxeXY
+                        \tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{3*(x+1)*(x-5)}
+                    \end{tikzpicture}
+                    &
+                    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=0.6]
+                        \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
+                        ymin=-5,ymax=20,ystep=2]
+                        \tkzGrid
+                        \tkzAxeXY
+                        \tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{-3*(x+1)*(x-4)}
+                    \end{tikzpicture}
+                    \\
+                        courbe 1 & Courbe 2 & Courbe 3
+                    \end{tabular}
+            \end{enumerate}
+        \item Résoudre l'équation $f(x) < 15$
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\pagebreak
+
+\begin{exercise}[subtitle={Intéressant}]
+    Une entreprise commercialise des fruits en conserve. Elle en produit entre 0 et 13 tonnes par mois et vend l'intégralité de sa production.
+
+    On note $x$ la production en tonne de fruits et on définit:
+    \begin{itemize}
+        \item La fonction $C(x)$ qui modélise les coûts de production
+            \[
+                C(x) = x^3 - 15 x^2 + 75x
+            \]
+        \item La fonction $R(x)$ qui modélise les recettes
+            \[
+                R(x) = 36,75x
+            \]
+    \end{itemize}
+    \begin{enumerate}
+        \item Déterminer les coûts puis les recettes pour une production de 8,5tonnes.
+        \item La fonction $B(x)$ modélise les bénéfices de l'entreprise. C'est à dire la différence entre les recettes et les coûts
+            \[
+                B(x) = R(x) - C(x)
+            \]
+            L'entreprise fait-elle des bénéfices quand elle produit 8,5tonnes?
+        \item Démontrer que $B(x) =  -x^3 +15x^2 - 38,25x$
+        \item On note $B'$ la dérivée de $B$. Démontrer que $B'(x) = -3x^2 + 30x - 38,25$.
+        \item Démontrer que $x=8,5$ et $x=1,5$ sont deux racines de $B'(x)$.
+        \item En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
+        \item En déduire le tableau de signe de $B'(x)$
+        \item En déduire le tableau de variation de $B(x)$
+        \item Pour quelle quantité de fruit produit, l'entreprise fait-elle un maximum de profit?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/5Ebis_typeE3C.tex

@@ -0,0 +1,74 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes du 2e degré - Association}
+\tribe{1ST}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Racines}]
+    Soit $f(x) = -2x^2 + 16x + 18$ une fonction polynôme du 2nd degré. Parmi les nombres suivants, lesquels sont des racines de $f$?
+    \[
+        -2 \qquad 
+        -1 \qquad 
+        0 \qquad 
+        1 \qquad 
+        2 \qquad 
+        3 \qquad 
+        4 \qquad 
+        5 \qquad 
+        6 \qquad 
+        7 \qquad 
+        8 \qquad 
+        9 \qquad 
+        10 \qquad 
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Développer}]
+    Ci-dessous des polynômes du 2nd degré écrit sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ que vous allez devoir développer.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $(x+2)(x-2)$
+            \item $2(x-5)(x+1)$
+            \item $0,1(x-8)(x-5)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Tableau de signe}]
+    Tracer le tableau de signe des 3 fonctions suivantes
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 2(x-5)(x+1)$
+            \item $g(x) = (x+2)(x-2)$
+            \item $h(x) = -0,2(x-8)(x-5)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Type E3C}]
+    On définit la fonction $f$ sur $\R$ par
+    \[
+        f(x) = 3x^2 - 27x - 30
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer l'image de -1 et interpréter le résultat.
+        \item Démontrer que 10 est une racine de $f$.
+        \item Démontrer que l'on a $f(x) = 3(x+1)(x-10)$.
+        \item Tracer le tableau de signe de $f$.
+        \item Déterminer les coordonnées du sommet de la représentation graphique de $f$.
+        \item Déterminer l'équation de l'axe de symétrie de la parabole associée à $f$.
+        \item Tracer l'allure de la représentation graphique.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

1ST/Fonctions_reelle/PolyDeg2/index.rst

@@ -0,0 +1,97 @@
+Polynômes du 2e degré  pour l'année 2019-2020 avec les premières technologiques
+###############################################################################
+
+:date: 2020-04-08
+:modified: 2020-04-08
+:authors: Bertrand Benjamin
+:tags: Fonctions, Polynômes
+:category: 1techno
+:summary: Étude des polynômes du 2e degré avec les premières technologiques pour l'année 2019-2020.
+
+Étape 1: Étude d'un polynôme de degré 3
+=======================================
+
+Bilan de la tache complexe sur l'enclos avec une attention particulière à la modélisation et à la résolution avec la dérivée.
+
+.. image:: 1E_boite.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Optimisation du volume d'une boite
+
+L'exercice est ensuite très similaire, il faut trouver comment plier une feuille carré pour faire une boite "pavé à base carré" la plus grande possible. Avec les élèves, on se met d'accord sur le fait que l'on pourrait résoudre ce problème avec le tableur pour revenir sur les défauts cette méthode mais que l'on préfèrera ici trouver une fonction pour la dériver et trouver un max.
+
+Les élèves cherchent ensuite cette fonction, dérive et arrivent à un polynôme du 2nd degré qu'ils ne savent pas étudier le signe. On leur propose alors de tracer ce graphique sur la calculatrice et d'en déduire le tableau de signe, les variations de la fonction puis de trouver le max.
+
+On explique alors que le but de ce chapitre sera d'étudier plus formellement les polynômes du 2nd degré.
+
+Cours: définition d'un polynôme du 2nd degré avec les différentes formes possibles.
+
+.. image:: 1B_polyDeg2.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur la définition d'un polynôme du 2nd degré.
+
+Étape 2: Associer courbe et polynômes
+=====================================
+
+Potentiel de classe puzzle sur cette étape.
+
+.. image:: 2E_association.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Reconnaître les formes et associer un graphique.
+
+
+Les élèves ont 6 polynômes du 2nd degré et 6 courbes correspondantes. Ils doivent trouver les éléments graphiques qu'ils peuvent associer aux paramètres des fonction.
+
+Bilan: Les fonctions polynômes de degré 2 à connaître et les graphiques associés.
+
+`Fiche géogébra pour illustrer <./2E_association.pdf>`_
+
+Cours:
+
+.. image:: 2B_cas_part.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur la représentation graphique des polynômes du 2nd degré
+
+
+Étape 3: Lien entre forme développée et forme factorisée
+========================================================
+
+Développer des formes factorisées, définition de la racine et factorisation de polynômes.
+
+.. image:: 3E_developper_factoriser.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Développer des formes factorisées, puis trouver des racines et enfin factoriser.
+
+Cours:
+
+.. image:: 3B_racines_facto.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur les racines et la factorisation des polynômes du 2nd degré.
+
+
+Étape 4: Étudier le signe des formes factorisée
+===============================================
+
+Étude de signe d'un polynôme factorisé.
+
+.. image:: 4E_etude_signe.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Étude de signe de polynômes du 2nd degré
+
+Cours: 
+
+.. image:: 4B_parabole.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur les caractéristiques géométrique d'une parabole et sur l'étude de signe
+
+
+Étape 5: Type E3C
+=================
+
+.. image:: 5E_typeE3C.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices type E3C
+
+.. image:: 5Ebis_typeE3C.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices de remédiations sur les polynômes du 2nd degré
+