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1ST/Probabilite_statistiques/Binomiale_esperance/1B_binomiale.tex

@@ -0,0 +1,47 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+
+\title{Loi binomiale}
+\date{Avril 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Loi binomiale}
+
+En classe, on a travaillé sur une série d'exercices où l'on retrouvait des situations similaires: une répétition d'évènements identiques. Ce genre de situation sera modélisé par une loi binomiale, définie ci-dessous.
+
+\subsection*{Définition}
+
+La \textbf{loi de Bernoulli de paramètre $p$} notée $\mathcal{B}(p)$ est la loi de probabilité qui modélise les situations où il n'y a que 2 issues succès (qui a pour valeur 1) ou échec (qui a pour valeur 0). Le paramètre $p$ correspond à la probabilité d'un succès. Elle est donc définie par le tableau suivant
+
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{|c|*{2}{C{2cm}|}}
+        \hline
+        Valeurs & 1 & 0 \\
+        \hline
+        Probabilité & p & 1-p \\
+        \hline
+    \end{tabular}
+\end{center}
+
+\subsection*{Définition}
+
+La \textbf{loi Binomiale de paramètre $n$ et $p$} notée $\mathcal{B}(n;p)$ est la loi de probabilité qui modélise la répétition indépendantes et identiques de  $n$ situations modélisées par une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
+
+\bigskip
+
+Ces situations peuvent être représenté par un arbre de probabilité.
+
+\subsubsection*{Exemple}
+
+Dans une classe de 20 élèves, Sarah ne veut pas être interrogée sur son travail. Le professeur interroge au hasard 3 élèves qu'il choisit de façon indépendantes et identiques.
+
+On note $X$ le nombre de fois que Sarah est interrogée. 
+
+\afaire{Quelle loi suit $X$? Représenter la situation avec un arbre de probabilité}
+
+
+
+\end{document}

1ST/Probabilite_statistiques/Binomiale_esperance/1E_arbres.tex

@@ -0,0 +1,41 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{Arbre aléatoire - le retour}
+\tribe{Première technologique}
+\date{Mars 2020}
+
+% \usepackage{booktabs}
+% \renewcommand{\arraystretch}{0.7}
+ 
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+\setlength\parindent{0pt}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Satisfaction}]
+    Un club de sport a réalisé un enquête de satisfaction de ses abonnés. Cette enquête montre que la probabilité qu'un client soit satisfait est de 0,9.
+
+    On interroge 3 abonnés pris au hasard et on suppose que leur réponse est indépendante de celle des autres.
+
+    On note $S$ l'évènement "l'abonné est satisfait" et $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'abonnés satisfaits.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre de probabilité pour représenter la situation.
+        \item Calculer la probabilité que 1 abonnés se déclare satisfait.
+        \item Calculer la probabilité que moins de 2 abonnés se déclare satisfait.
+        \item Calculer les probabilités suivantes
+            \[
+                P(X = 0) \qquad P(X > 1)
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Acheter ses élèves}]
+    Un enseignant travaille dans une classe dans laquelle il y  a 55\% de filles. Chaque jour, il apport 4 bonbons et choisit au hasard les élèves à qui les donner (il est possible qu'un élève ait plusieurs bonbon).
+
+    Calculer la probabilité que les bonbons soient donnés à 2 filles et 2 garçons.
+\end{exercise}
+
+\end{document}

1ST/Probabilite_statistiques/Binomiale_esperance/2E_situations_binomiale.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{Modélisation avec la loi binomiale}
+\tribe{Première technologique}
+\date{Avril 2020}
+
+% \usepackage{booktabs}
+% \renewcommand{\arraystretch}{0.7}
+ 
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+\setlength\parindent{0pt}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Binomiale et arbre}]
+    Dans chacune des situations suivantes, dessiner l'arbre de probabilité qui décrit la situation puis expliquer si oui ou non elle peut être modélisé par une loi binomiale.
+    \begin{enumerate}
+        \item Bob mange à la cantine 3 fois par semaine. À chaque fois, il se demande s'il prend un dessert plutôt qu'un fromage ce qu'il fait 2 fois sur 3. On s'intéresse au nombre de fois où il a mangé du dessert en une semaine.
+        \item Dans un sachet, il reste 6 bonbons: 2 à la fraise et 4 au réglisse. J'en choisi 3 au hasard et je les mange. Je m'intéresse au nombre de bonbon à la fraise que j'ai mangé.
+        \item Dans mon jardin j'ai planté 4 fraisiers. D'expérience, ils donnent des fruits dans 90\% des cas. Je m'intéresse au nombre de fraisier qui donneront des fruits.
+        \item Je joue avec un dé à 6 faces. J'ai le droit à un maximum de 4 lancers. J'arrête de lancer dès que j'ai obtenu un 6. Je compte le nombre de lancer que je fais.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
+    Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}(3, 0.1)$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer un arbre représentant $X$.
+        \item Calculer les quantités suivantes
+            \[
+                P(X = 1) \qquad \qquad P(X \geq 2)
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+\end{document}

1ST/Probabilite_statistiques/Binomiale_esperance/3B_esperance.tex

@@ -0,0 +1,45 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+
+\title{Loi binomiale}
+\date{Avril 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Espérance}
+
+\subsection*{Définition}
+
+Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi suivante:
+
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{|c|*{4}{p{2cm}|}}
+        \hline
+        $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
+        \hline
+        $p_i$ & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
+        \hline
+    \end{tabular}
+\end{center}
+
+On appelle \textbf{espérance de X}, notée $E[X]$ la moyenne des valeurs ($x_i$) pondérée par les probabilités ($p_i$). C'est à dire
+\[
+    E[X] = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + ... + x_n \times p_n 
+\]
+
+\subsection*{Propriété}
+
+Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ alors
+\[
+    E[X] = n\times p
+\]
+
+\subsubsection*{exemple}
+
+Espérance de $X \sim \mathcal{B}(20; 0.1)$
+
+\afaire{}
+
+\end{document}

1ST/Probabilite_statistiques/Binomiale_esperance/3E_esperance.tex

@@ -0,0 +1,41 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{Espérance}
+\tribe{Première technologique}
+\date{Avril 2020}
+
+% \usepackage{booktabs}
+% \renewcommand{\arraystretch}{0.7}
+ 
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+\setlength\parindent{0pt}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={QCM impossible}]
+    Extrêmement énervé par le confinement, un professeur donne un QCM avec 3 questions impossibles et incompréhensibles à ses élèves. À chaque question, il y a 4 réponses possibles mais une seule est juste. Les élèves plein de bonne volonté répondent au QCM mais comme ils ne comprennent rien aux questions, ils répondent au hasard.
+
+    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonne réponse qu'a eu un élève.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre modélisant la situation.
+        \item Quelle est la loi de variable aléatoire $X$?
+        \item Tracer le tableau décrivant les probabilités de $X$.
+        \item En moyenne combien de bonne réponse les élèves peuvent-ils espérer avoir?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
+    Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $\mathcal{B}(4, 0.2)$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer un arbre représentant $X$.
+        \item Calculer les quantités suivantes
+            \[
+                P(X = 1) \qquad \qquad P(X \geq 2)
+            \]
+        \item Calculer l'espérance de $X$
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+\end{document}

1ST/Probabilite_statistiques/Binomiale_esperance/4E_E3C.tex

@@ -0,0 +1,80 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{Espérance}
+\tribe{Première technologique}
+\date{Avril 2020}
+
+% \usepackage{booktabs}
+% \renewcommand{\arraystretch}{0.7}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Jeux}]
+    Bob joue à un jeu où il estime qu'il a 70\% de chance de gagner une partie. Entre 2 parties, il prend le temps de se reposer pour que la précédente partie n'influence pas la suivante.
+
+    On note $V$ l'évènement "Bob gagne la partie".
+
+    Bob fait 2 parties et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de victoire.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre qui modélise la situation.
+        \item Déterminer la probabilité que Bob gagne une seule partie.
+        \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
+        \item Démontrer que l'espérance de $X$ est de 1,4.
+        \item Si Bob joue tous les jours deux parties, combien en moyenne peut-il espérer en gagner?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Repas}]
+    Bob adore manger des légumes. Chaque jour, il choisit au hasard un fruit dans une panière quotidiennement remplie par ses parents contenant 7 bananes, 5 pommes et 2 kiwi.
+
+
+    Ses parents veulent essayer de prévoir la consommation en banane de Bob sur 3 jours.
+
+    On note donc $X$ le nombre bananes mangées par Bob sur 3 jours et $B$ l'évènement "Bob mange une banane".
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre qui modélise la situation.
+        \item Déterminer la probabilité que Bob gagne deux bananes.
+        \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
+        \item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Stocks - prise d'initiative}]
+    \textit{Cet exercice n'est pas guidé. C'est à vous de définir vos notations et de trouver la démarche pour répondre à la question. Je vous invite à vous inspirer de ce qui a été fait dans les 2 exercices précédents}
+    \medskip
+
+    Confinement oblige, Bob ne sort que tous les 2 jours pour faire ses courses. À chaque fois, il refait ses stocks pour avoir 5 tablettes de chocolat et 3 paquets de bonbons.
+
+    Chaque jour, Bob choisit au hasard de manger une tablette de chocolat ou un paquet de bonbons. Il a donc 5 chances sur 8 de choisir une tablette de chocolat.
+
+    Combien en moyenne Bob devra-t-il acheter de tablette de chocolat quand il ira faire ses courses?
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Auto-école}]
+    Dans une auto-école, à chaque session 75\% des candidats réussissent à avoir leur code.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item On interroge au hasard 4 candidats d'une session pour savoir s'ils ont eu leur code. On note $X$ variable aléatoire qui compte le nombre de réponse positive.
+            \begin{enumerate}
+                \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
+                \item Calculer les probabilités suivantes
+                    \[
+                        P(X = 1) \qquad \qquad
+                        P(X = 4) \qquad \qquad
+                        P(X \leq 1)
+                    \]
+                \item Quelle est la probabilité qu'au moins un candidat ait répondu positivement.
+                \item En moyenne combien de réponses positives peut-on espérer avoir?
+            \end{enumerate}
+        \item Cette fois-ci, on choisit un candidat et on note $Y$ le nombre de sessions qu'il a du passer avant d'avoir code.
+            \begin{enumerate}
+                \item Faire un arbre pour représenter la situtation.
+                \item Peut-on modéliser $Y$ avec une loi binomiale? Si oui, préciser les paramètres.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+\end{document}

1ST/Probabilite_statistiques/Binomiale_esperance/index.rst

@@ -0,0 +1,47 @@
+Loi binomiale et espérance pour l'année 2019-2020 avec les premières technologiques
+###################################################################################
+
+:date: 2020-04-09
+:modified: 2020-04-09
+:authors: Bertrand Benjamin
+:tags: Probabilité, Binomiale
+:category: 1techno
+:summary: Formalisation de la loi binomiale et de l'espérance avec les premières technologiques pour l'année 2019-2020.
+
+
+Étape 1: Retour sur les arbres
+==============================
+
+.. image:: 1E_arbres.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices de révisions sur les arbres
+
+.. image:: 1B_binomiale.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Définition loi de Bernoulli et loi Binomiale
+
+Étape 2: Formalisation de la loi binomiale
+==========================================
+
+.. image:: 2E_situations_binomiale.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices sur la modélisation et la représentation de la loi binomiale
+
+Étape 3: Espérance
+==================
+
+.. image:: 3E_esperance.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices sur l'espérance de la loi binomiale
+
+.. image:: 3B_esperance.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Définition de l'espérance
+
+Étape 4: Type E3C
+==================
+
+.. image:: 4E_E3C.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices types sur la loi binomiale et l'espérance
+