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1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/1B_vecteurs.tex

@@ -0,0 +1,155 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Bilan sur les vecteurs}
+\tribe{1ST}
+\date{Novembre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
+\begin{document}
+
+\section*{Vecteurs}
+
+\subsection*{Définition}
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
+
+\textbf{Le vecteur $\vec{AB}$} est un objet mathématique qui modélise la transformation qui amène le point $A$ sur le point $B$. 
+
+\bigskip
+On représente ce vecteur par une flèche qui n'est pas nécessairement attachée aux points $A$ ou $B$.
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+    \hfill
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \draw (0, 0) node {x} node[below left] {$A$};
+            \draw (1, 2) node {x} node[above left] {$B$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (1, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
+            \draw[->, very thick] (3, 0) -- (4, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
+        \end{tikzpicture}
+    \hfill
+\end{minipage}
+
+\subsection*{Remarque}
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+$\vec{AB} \neq \vec{BA}$ car ces deux vecteurs n'ont pas le même sens.
+
+\bigskip
+
+On dit que $\vec{AB}$ est le vecteur opposé au vecteur $\vec{BA}$ et on note
+\[
+    \vec{AB} = - \vec{BA}
+\]
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+\begin{tikzpicture}[scale=1]
+    \draw (0, 0) node {x} node[below left] {$A$};
+    \draw (1, 2) node {x} node[above left] {$B$};
+    %\draw[->, very thick] (0, 0) -- (1, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
+    \draw[->, very thick] (3, 0) -- (4, 2) node[left, midway] {$\vec{AB}$};
+    \draw[->, very thick] (6, 2) -- (5, 0)  node[left, midway] {$\vec{BA}$};
+\end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+
+\subsection*{Coordonnées d'un vecteur}
+
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+    Quand on se place dans un repère, on peut alors définir les coordonnées d'un vecteur qui s'écrive alors en colonne.
+    \[
+        \vec{u} = \vectCoord{x}{y}
+    \]
+    
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+    \hfill
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \draw[->] (-0.5, 0) -- (4,0);
+        \draw[->] (0, -0.5) -- (0,2.5);
+        \draw[->, very thick] (1, 1) -- (3, 2) node[above, midway] {$\vec{u}$};
+        \draw[dashed] (1,1) -- (1,0);
+        \draw[dashed] (3,2) -- (3,0);
+        \draw (2, 0) node[below] {$x$};
+        \draw[dashed] (1,1) -- (0,1);
+        \draw[dashed] (3,2) -- (0,2);
+        \draw (0, 1.5) node[left] {$y$};
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+
+\subsection*{Calculer les coordonnées d'un vecteur}
+
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points du plan. Alors on peut calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$
+\[
+    \vec{AB} = \vectCoord{x_B - x_A}{y_B - y_A}
+\]
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+    \hfill
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \draw[->] (-0.5, 0) -- (4,0);
+        \draw[->] (0, -0.5) -- (0,2.5);
+        \draw[->, very thick] (1, 1) node [below left] {$A$} -- (3, 2)  node [above right] {$B$} node[above left, midway] {$\vec{AB}$};
+        \draw[dashed] (1,1) -- (1,0) node [below] {$x_A$};
+        \draw[dashed] (3,2) -- (3,0) node [below] {$x_B$};
+        \draw[dashed] (1,1) -- (0,1) node [left] {$y_A$};
+        \draw[dashed] (3,2) -- (0,2) node [left] {$y_B$};
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+
+\subsection*{Somme de vecteurs}
+
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+    Il est possible de faire la somme de plusieurs vecteurs.
+
+    \bigskip
+
+    Dans un repère, on peut alors faire la somme des coordonnées
+    \[
+        \vec{u} = \vectCoord{x_{\vec{u}}}{y_{\vec{u}}} \qquad
+        \vec{v} = \vectCoord{x_{\vec{v}}}{y_{\vec{v}}}
+    \]
+    \[
+        \vec{u} + \vec{v} = \vectCoord{x_{\vec{u}} + x_{\vec{v}}}{y_{\vec{u}} + y_{\vec{v}}}
+    \]
+
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+    \hfill
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \draw[->, thick] (0, 0) -- (3, 1) node [midway, below] {$\vec{u}$};
+        \draw[->, thick] (3, 1) -- (4, 3) node [midway, below] {$\vec{v}$};
+        \draw[->, thick, dashed] (0, 0) -- (4, 3) node [midway, above left] {$\vec{u}+\vec{v}$};
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+
+\subsection*{Norme d'un vecteur}
+
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+La \textbf{norme} d'un vecteur est la distance entre ses deux extrémités. On la note
+\[
+    ||\vec{u}||
+\]
+
+\bigskip
+
+Dans un repère orthonormé, on peut faire le calcul suivant (qui revient à appliquer le théorème de Pythagore)
+
+\[
+    ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}
+\]
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.4\textwidth}
+    \hfill
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \draw[->] (-0.5, 0) -- (4,0);
+        \draw[->] (0, -0.5) -- (0,2.5);
+        \draw[->, thick] (1, 1) -- (4, 2) node [midway, above] {$\vec{u}$};
+        \draw[dashed] (4, 1) -- (4, 2) node [midway, left] {$y$};
+        \draw[dashed] (1, 1) -- (4, 1) node [midway, below] {$x$};
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+\end{document}

1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/1E_vecteurs.tex

@@ -0,0 +1,136 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Exercices sur les vecteurs}
+\tribe{1ST}
+\date{Novembre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Coordonnées de vecteurs}]
+    Placer les points puis calculer les coordonnées des vecteurs suivants
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\vec{AB}$ avec $A(2,1)$ et $B(4, 6)$
+            \item $\vec{CD}$ avec $C(-3,1)$ et $D(1, 3)$
+            \item $\vec{EF}$ avec $E(2,-1)$ et $F(5, 5)$
+            \item $\vec{GH}$ avec $G(0,1)$ et $H(0, 1)$
+            \item $\vec{IJ}$ avec $H(-2,-1)$ et $J(0, 0)$
+            \item $\vec{KL}$ avec $K(1,1)$ et $L(1, 2)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Image par translation}]
+    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
+    Retrouver les images des points par les translations
+        
+    \begin{enumerate}
+        \item Image de $A$ par la translation de vecteur $\vec{CD}$
+        \item Image de $H$ par la translation de vecteur $\vec{EF}$
+        \item Image de $B$ par la translation de vecteur $\vec{AE}$
+        \item Image de $K$ par la translation de vecteur $\vec{u}$
+        \item Image du triangle  $BCD$ par la translation de vecteur $\vec{IE}$
+    \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=3,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \draw (-2, 1) node {x} node[below left] {$A$};
+            \draw (0, 0) node {x} node[below left] {$B$};
+            \draw (0, -2) node {x} node[below left] {$C$};
+            \draw (2, -1) node {x} node[below left] {$D$};
+            \draw (2, 1) node {x} node[below left] {$E$};
+            \draw (0, 1) node {x} node[below left] {$F$};
+            \draw (-4, 0) node {x} node[below left] {$G$};
+            \draw (-2, -1) node {x} node[below left] {$H$};
+            \draw (4, 0) node {x} node[below left] {$I$};
+            \draw (4, 2) node {x} node[below left] {$J$};
+            \draw (-2, -4) node {x} node[below left] {$J$};
+            \draw[->, very thick] (4, -3) -- (4, -1) node[below left, midway] {$\vec{u}$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Équilibre des forces}]
+    Dans chacun des cas, placer un dernier vecteur force pour équilibrer le système.
+
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+            \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
+            ymin=-4,ymax=4,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \draw (0, 0) node {x} node[below left] {$0$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (-1, 2) node[below left, midway] {$\vec{F_1}$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (3, 1) node[above, midway] {$\vec{F_2}$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (2, -2) node[right, midway] {$\vec{F_3}$};
+        \end{tikzpicture}
+
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+            \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
+            ymin=-4,ymax=4,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \draw (0, 0) node {x} node[below left] {$0$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (-1, 1) node[below left, midway] {$\vec{F_1}$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (3, -1) node[above, midway] {$\vec{F_2}$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (2, -2) node[right, midway] {$\vec{F_3}$};
+        \end{tikzpicture}
+
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+            \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
+            ymin=-4,ymax=4,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \draw (0, 0) node {x} node[below left] {$0$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (-1, -2) node[below left, midway] {$\vec{F_1}$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (2, 1) node[below, midway] {$\vec{F_2}$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (1, 2) node[left, midway] {$\vec{F_3}$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (1, -2) node[right, midway] {$\vec{F_4}$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Norme et distance}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer la norme des vecteurs suivants
+            \begin{multicols}{4}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $\vec{u} = \vectCoord{1}{2}$
+                    \item $\vec{v} = \vectCoord{-4}{1}$
+                    \item $\vec{w} = \vectCoord{0}{-2}$
+                    \item $\vec{t} = \vectCoord{-1}{-1}$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item Calculer la distance entre les points suivants
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+            \item $A(2,1)$ et $B(4, 6)$
+            \item $C(-3,1)$ et $D(-1, 3)$
+            \item $E(-2,-1)$ et $F(0, 5)$
+            \item $G(0, 1)$ et $H(0, 1)$
+            \item $H(-2,-1)$ et $J(0, 0)$
+            \item $K(-1,7)$ et $L(1, 2)$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Orthogonal ou colinéaire}]
+    En traçant les vecteurs, dire s'ils sont colinéaires ou othogonaux
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{1}{2}$ et $\vec{v} = \vectCoord{2}{1}$
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{1}{2}$ et $\vec{v} = \vectCoord{2}{1}$
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{1}{2}$ et $\vec{v} = \vectCoord{2}{1}$
+            \item $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ avec $A(-2;1)$, $B(0;2)$, $C(0;-2)$ et $D(2;-1)$
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{1}{2}$ et $\vec{v} = \vectCoord{2}{1}$
+            \item $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ avec $A(-2;1)$, $B(0;2)$, $C(0;-2)$ et $D(2;-1)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+\end{document}

1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/2B_projotho_trigo.tex

@@ -0,0 +1,80 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Projeté orthogonal et produit scalaire}
+\tribe{1ST}
+\date{Novembre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
+\begin{document}
+
+\section*{Produit scalaire}
+
+Pour mesurer l'effet d'une force (un vecteur) sur une direction (un vecteur), les mathématiciens ont crée une opération sur les vecteurs: \textbf{le produit scalaire}.
+
+\subsection*{Définition}
+\begin{minipage}{0.5\textwidth}
+
+    Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
+
+    On note $\vec{u} . \vec{v}$ le produit scalaire qui se calcule de la manière suivante
+    \[
+        \vec{u} . \vec{v} = ||\vec{u}||\times ||\vec{v}|| \times Cos(\vec{u};\vec{v})
+    \]
+
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\textwidth}
+    \hfill
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (3, 0) node[below, midway] {$\vec{u}$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (2, 2) node[left, midway] {$\vec{v}$};
+            \draw[->] (1,0) arc (0: 45:1) node[midway, right] {$(\vec{u};\vec{v})$};
+        \end{tikzpicture}
+    \hfill
+\end{minipage}
+
+\subsection*{Définition}
+On a vu que seul une partie du vecteur influençait sur l'autre, c'est le projeté orthogonal.
+
+Soient $A$, $B$ et $C$ trois points.
+
+On appelle $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $AC$. Et on a alors
+
+\bigskip
+\begin{minipage}{0.5\textwidth}
+        Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont dans le même sens alors
+            \[
+                \vec{AB} \;.\; \vec{AC} = AB \times AH
+            \]
+
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\textwidth}
+    \hfill
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \draw[->, very thick] (0, 0) node [left] {$A$} -- (3, 0) node [right] {$B$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (2, 2) node [above] {$C$};
+            \draw[dotted] (2, 0) node [below]  {$H$} -- (2, 2);
+        \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+
+\begin{minipage}{0.5\textwidth}
+
+        Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont dans des sens contraires alors
+            \[
+                \vec{AB} \;.\; \vec{AC} = - AB \times AH
+            \]
+
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\textwidth}
+
+    \hfill
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \draw[->, very thick] (0, 0) node [below] {$A$} -- (3, 0) node [right] {$B$};
+            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (-2, 2) node [above] {$C$};
+            \draw[dotted] (-2, 0) node [below]  {$H$} -- (-2, 2);
+            \draw (-2.5, 0) -- (0, 0);
+        \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+\end{document}

1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/2E_effet_force_mouvement.tex

@@ -0,0 +1,75 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Effet d'une force sur un mouvement - Produit scalaire}
+\tribe{1ST}
+\date{Novembre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
+\newcommand\luge{%
+Dans toute cette fiche, on s'intéresse à l'effet d'une force (un vecteur) sur un déplacement (un autre vecteur).
+
+\subsection*{Tirer une luge horizontalement}
+
+Ci-dessous un schéma représentant une luge que l'on souhaite faire avancer vers la droite (flèche noire). Pour cela, on dispose de plusieurs forces, représentées par des vecteurs (en dessous à droite).
+
+\begin{minipage}{0.5\textwidth}
+\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
+    \tkzInit[xmin=-3,xmax=8,xstep=1,
+    ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+    \tkzGrid
+    \node[inner sep=0] at (0,1) {\includegraphics[width=2cm]{./fig/luge}};
+    \fill (0, 1) circle (5pt);
+    \draw[->, very thick] (0, 1) -- (5,1);
+\end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.5\textwidth}
+\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
+    \tkzInit[xmin=0,xmax=15,xstep=1,
+    ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+    \tkzGrid
+    \draw[->, thick] (1, 1) -- (2, 4) node [midway, left] {$\vec{F_1}$};
+    \draw[->, thick] (1, 5) -- (3, 8) node [midway, left] {$\vec{F_2}$};
+    \draw[->, thick] (1, 9) -- (3, 9) node [midway, above] {$\vec{F_3}$};
+    \draw[->, thick] (4, 1) -- (4, 8) node [midway, left] {$\vec{F_4}$};
+    \draw[->, thick] (5, 3) -- (6, 9) node [midway, left] {$\vec{F_5}$};
+    \draw[->, thick] (5, 1) -- (7, 2) node [midway, above] {$\vec{F_6}$};
+    \draw[->, thick] (8, 1) -- (11, 1) node [midway, above] {$\vec{F_7}$};
+    \draw[->, thick] (11, 2) -- (14, 3) node [midway, above] {$\vec{F_8}$};
+    \draw[->, thick] (7, 3) -- (10, 7) node [midway, left] {$\vec{F_9}$};
+    \draw[->, thick] (9, 8) -- (7, 9) node [midway, above] {$\vec{F_{10}}$};
+    \draw[->, thick] (9, 2) -- (10, 3) node [midway, above left] {$\vec{F_{11}}$};
+    \draw[->, thick] (13, 5) -- (11, 7) node [midway, above] {$\vec{F_{12}}$};
+    \draw[->, thick] (10, 8) -- (14, 9) node [midway, above] {$\vec{F_{13}}$};
+\end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+
+\begin{enumerate}
+    \item Classer les forces de celles qui participent le plus au mouvement à celles qui y participent le moins.
+    \item Quelle partie de chaque vecteur permet de mesurer la "participation" de la force au mouvement?
+\end{enumerate}
+
+\subsection*{Tirer une luge en pente}
+Reprendre les questions précédentes avec les mêmes vecteurs mais cette fois ci, on veut tirer la luge en pente.
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
+    \tkzInit[xmin=-5,xmax=8,xstep=1,
+    ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+    \tkzGrid
+    \node[inner sep=0] at (0,1) {\includegraphics[width=2cm, angle=21.8]{./fig/luge}};
+    \fill (0, 1) circle (5pt);
+    \draw[->, very thick] (0, 1) -- (5,3);
+    \fill [color=gray!20](0, 0) -- (8, 3.2) --  (8,0) -- cycle;
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+}
+\begin{document}
+
+\luge
+\vfill
+\luge
+
+
+\end{document}

1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/3B_formuleCos.tex

@@ -0,0 +1,35 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Projeté orthogonal et produit scalaire}
+\tribe{1ST}
+\date{Novembre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
+\begin{document}
+
+\section*{Produit scalaire - forme trigonométrique}
+
+\subsection*{Propriété}
+
+Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls alors
+\[
+    \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times \cos(\vec{u};\vec{v})
+\]
+
+\subsection*{Remarques}
+\begin{itemize}
+    \item Cette formule permet de calculer $\vec{u}.\vec{v}$.
+    \item On peut retourner cette formule pour calculer la norme d'un vecteur
+        \[
+            ||\vec{u}|| = \frac{\vec{v}.\vec{u}}{||\vec{u}||\times\cos(\vec{u};\vec{v})}
+        \]
+    \item On peut retourner cette formule pour calculer un angle entre vecteurs
+        \[
+            \cos(\vec{u};\vec{v}) = \frac{\vec{v}.\vec{u}}{||\vec{u}||\times||\vec{v}||}
+        \]
+\end{itemize}
+
+\end{document}

1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/4B_coord.tex

@@ -0,0 +1,32 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Produit scalaire - formule avec coordonnées}
+\tribe{1ST}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
+\begin{document}
+
+\section*{Produit scalaire - Formule avec les coordonnées}
+
+Dans la suite, on se place dans un repère orthonormé du plan.
+
+On peut démontrer une autre formule pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs.
+
+\subsection*{Propriété}
+
+Soit $\vec{u} (x;y)$ et $\vec{v} (x':y')$ deux vecteurs non nuls alors
+\[
+    \vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'
+\]
+
+\subsection*{Exemple}
+Soient $\vec{u} (3, 4)$ et $\vec{v} (-2; 3)$ alors le produit scalaire vaut:
+\[
+    \vec{u}.\vec{v} = 
+\]
+\afaire{Terminer le calcul du produit scalaire}
+\end{document}

1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/4E_coord.tex

@@ -0,0 +1,62 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Exercices produit scalaire coordonnée}
+\tribe{1ST}
+\date{Novembre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Projeté orthogonal}]
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+        On considère la figure ci-contre, l'unité de longueur étant le côté d'un carreau.
+
+        Calculer les produits scalaires suivants
+        \begin{enumerate}
+            \item $\vec{AB}.\vec{AC}$
+            \item $\vec{AD}.\vec{DC}$
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+            \tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
+            ymin=0,ymax=4,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \draw (1, 1) node {x} node[below left] {$A$};
+            \draw (5, 1) node {x} node[below left] {$B$};
+            \draw (2, 3) node {x} node[below left] {$C$};
+            \draw (3, 1) node {x} node[below left] {$D$};
+            \draw (2, 1) node {x} node[below left] {$E$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Formule du Cos}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Soit $||\vec{u}|| = \sqrt{2}$, $||\vec{v}||=6$ et $(\vec{u};\vec{v}) = -\dfrac{\pi}{6}$. Calculer $\vec{u}.\vec{v}$.
+        \item Soit $||\vec{u}|| = 2$, $\vec{u}.\vec{v} = -10$ et $(\vec{u};\vec{v}) = \pi$. Calculer $||\vec{v}||$.
+        \item Soit $||\vec{u}|| = \sqrt{2}$, $||\vec{v}||=1$ et $\vec{u}.\vec{v} = 1$. Calculer $\cos(\vec{u};\vec{v})$ puis en déduire $(\vec{u};\vec{v})$.
+    \end{enumerate} 
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+
+\end{document}

1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/4P_coordonnees.tex

@@ -0,0 +1,63 @@
+\documentclass[10pt]{classPres}
+%\usepackage{myXsim}
+
+\pagestyle{empty}
+
+
+\title{Produit scalaire \\ Formule des coordonnées}
+\date{Janvier 2020}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}{Formule des coordonnées}
+    \begin{block}{Calculer $\vec{u}.\vec{v}$}
+        \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{2}{3}$ et $\vec{v} = \vectCoord{-1}{2}$
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{-2}{3}$ et $\vec{v} = \vectCoord{1}{2}$
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{4}{0}$ et $\vec{v} = \vectCoord{0}{2}$
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{2}{3}$ et $\vec{v} = \vectCoord{-2}{-3}$
+        \end{enumerate}
+        \end{multicols}
+    \end{block}
+    \begin{block}{Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}$}
+        \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $A(3;0)$, $B(-1;2)$ et $C(5; 3)$
+            \item $A(2;1)$, $B(0;1)$ et $C(2; 3)$
+            \item $A(6;-1)$, $B(4;1)$ et $C(1; -6)$
+            \item $A(2;1)$, $B(-4;0)$ et $C(0; 0)$
+        \end{enumerate}
+        \end{multicols}
+        
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Norme d'un vecteur}
+    \begin{block}{Calculer la norme des vecteurs $\vec{u}$}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{2}{3}$ 
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{-2}{3}$
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{4}{0}$ 
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{2}{3}$ 
+        \end{enumerate}
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Calculer un angle}
+    Pour les cas suivants, calculer $||\vec{u}||$, $||\vec{v}||$ et $\vec{u}.\vec{v}$ puis en déduire l'angle $(\vec{u}; \vec{v})$.
+    \vfill
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{1}{4}$ et $\vec{v} = \vectCoord{-1}{2}$
+            \item $\vec{u} = \vectCoord{-1}{2}$ et $\vec{v} = \vectCoord{1}{2}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+    \vfill
+    \begin{block}{Calculer l'angle $\widehat{ABC}$}
+        Quand $A(3;1)$ $B(0;0)$ et $C(-3; 2)$
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+
+\end{document}

1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/5B_orthogonalite.tex

@@ -0,0 +1,30 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Produit scalaire - Vecteur orthogonaux}
+\tribe{1ST}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
+\begin{document}
+
+\section*{Vecteur orthogonaux}
+
+\subsection*{Définition}
+
+Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dit orthogonaux si l'un d'eux est nul ou si leur directions sont perpendiculaires.
+
+\subsection*{Propriété}
+Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}.\vec{v} = 0$.
+
+
+Cette propriété permettra de démontrer en particulier que deux droites sont perpendiculaires ce qui n'était possible avant qu'avec le théorème de Pythagore.
+
+\subsection*{Exemple}
+
+Soient $\vec{u} (4;5)$ et $\vec{v} (-8;10)$. Démontrer que ces vecteurs sont orthogonaux.
+\afaire{}
+
+\end{document}

1ST/Produit_scalaire/Projete_Cos/index.rst

@@ -0,0 +1,88 @@
+Produit scalaire pour l'année 2019-2020 avec les premières technologiques spécialité
+####################################################################################
+
+:date: 2020-01-09
+:modified: 2020-01-09
+:authors: Bertrand Benjamin
+:tags: Vecteurs, Produit scalaire
+:category: 1techno
+:summary: Produit scalaire avec les premières technologiques pour l'année 2019-2020.
+
+Étape 1: Rappel sur les vecteurs
+================================
+
+.. image:: 1B_vecteurs.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Rappels sur les vecteurs
+
+Tour d'horizon sur ce qu'il faut savoir sur les vecteurs:
+- Calculer les coordonnées d'un vecteur
+- Opération avec les vecteurs
+- Placer un point image d'une translation par un vecteur
+- Norme
+- Vecteur orthogonaux et colinéaires
+
+.. image:: 1E_vecteurs.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices techniques de révision sur les vecteurs
+
+Étape 2: Découverte du produit scalaire
+=======================================
+
+.. image:: 2E_effet_force_mouvement.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Effet d'une force sur un mouvement.
+
+On compare différents vecteurs forces pour savoir lesquels accompagne le plus le mouvement. Les élèves devraient arriver à trouver le projeté orthogonal.
+
+Cahier de bord: Définition du produit scalaire avec le projeté orthogonal et la formule avec le cosinus.
+
+.. image:: 2B_projotho_trigo.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur le projeté orthogonal
+
+Étape 3: Formule du cos
+=======================
+
+Démonstration à partir du projeté orthogonal de la formule du cos pour calculer le produit scalaire.
+
+Exercices techniques pour calculer des produits scalaire (cf bouquin)
+
+Cahier de bord: calcul de la norme et des angles avec le produit scalaire.
+
+.. image:: 3B_formuleCos.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur la formule du produit scalaire avec le cos
+
+
+.. image:: 4E_coord.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices de révision post-vacances
+
+
+Étape 4: Expression avec les coordonnées
+========================================
+
+Cahier de bord: Calculer le produit scalaire avec les coordonnées de vecteurs.
+
+Calculer un produit scalaire avec les coordonnées d'un vecteur, applications pour calculer des longueurs et des angles.
+
+.. image:: 4B_coord.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur la formule avec les coordonnées
+
+Étape 5: Vecteurs orthogonaux
+=============================
+
+.. image:: 5B_orthogonalite.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur l'utilisation du PS pour démontrer l'orthogonalité
+
+Étape 5: Géométrie et théorème d'Al-Kashi
+=========================================
+
+Cahier de bord: Théorème d'Al-Kashi.
+
+Exercices de géométrie
+
+