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@@ -0,0 +1,437 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
%\usepackage[inline]{enumitem}
%\usepackage{tasks}
\title{Bac Blanc}
\tribe{Terminale L-ES}
\date{19 mars 2020}
\duree{3h}
\xsimsetup{
solution/print = false
}
\begin{document}
\titlepage
\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=4]
\textbf{Commun à tous les candidats}
\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
Inscrire sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.}
\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\intFO{0}{+\infty}$. On pose
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
On pose
\[
I = \int_{1}^{3} f(x)dx
\]
Un encadrement de $I$ est
\begin{enumerate}
\item $1 \leq I \leq 3$
\item $2 \leq I \leq 4$
\item $5 \leq I \leq 7$
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tkzInit[xmin=-0.1,xmax=5,ymax=5]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[color=red, line width=1pt]{4*x**2/(x**2+1)}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\item On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\np{4095}$
\item $\np{8191}$
\item $\dfrac{1 -2^{14}}{1 - 2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k''$ d'une fonction $k$
définie sur $[0~;~+ \infty[$.
\begin{center}
%\def\f{x^2*(x^2-4)/3}
\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=3]
\tkzInit[xmin=0,xmax=3,xstep=1,
ymin=-2,ymax=3,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
\tkzFct[domain=0:3, line width=1pt]{x*x*(x*x-4)/3}
%\draw (2,3) node [above left] {$\Delta$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $k$ est concave sur l'intervalle [1~;~2]
\item $k$ est convexe sur l'intervalle [0~;~2]
\item $k$ est convexe sur $[0~;~+ \infty[$
\item $k$ est concave sur $[0~;~+ \infty[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Le prix d’un produit est passé de 200\euro\; à 100 \euro.
Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item 50\%
\item 25\%
\item 29\%
\item 71\%
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Location de voitures}, points=5]
\textbf{Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L}
\medskip
Un loueur de voitures dispose au 1\ier{} mars 2015 d'un total de \np{10000} voitures pour l'Europe.
Afin d'entretenir son parc, il décide de revendre, au 1\ier{} mars de chaque année, 25\,\% de son parc automobile et d'acheter \np{3000} voitures neuves.
\smallskip
On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite:
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1\ier{} mars de l'année $2015+n$.
On a donc $u_0=\np{10000}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars 2016.
\item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n+\np{3000}$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par
\hfill$v_n=u_n-\np{12000}$.\hfill{}
\begin{enumerate}
\item
Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser son premier terme.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{12000} - \np{2000} \times 0,75^n$.
\item En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années?
\end{enumerate}
\item On admet dans cette question que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins \np{11950} voitures.
\begin{enumerate}
\item Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l @{\hspace*{0.5cm}}l|}
\hline
Initialisation & U prend la valeur \np{10000}\\
& N prend la valeur 0\\
Traitement & Tant que \dots\\
& \hspace*{0.3cm} N prend la valeur \dots \hspace*{1cm}\ \\
& \hspace*{0.3cm} U prend la valeur \dots\\
& Fin Tant que\\
Sortie & Afficher \dots\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée.
%\item Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation
% \hfill$\np{12000} - \np{2000}\times 0,75^n \geqslant \np{11950}$.\hfill{}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\pagebreak
\begin{exercise}[subtitle={Chasse-neige et automates}, points=5]
\textbf{Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité}
\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}
\medskip
\textbf{Partie 1}
Suite à des intempéries, un chasse-neige doit déblayer toutes les routes reliant les stations de son secteur. On modélise ce secteur par le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les différentes stations désignées par des lettres. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, du chasse-neige entre deux stations.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{./fig/graph_chasse_neige}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Ce graphe est-il connexe? Justifier.
\item Le chasse-neige part de la station G. Peut-il partir de cette station et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes, matérialisées par les arêtes de ce graphe ?
\item Une saleuse doit de même parcourir l'ensemble des routes du secteur après déblaiement de la neige. Elle est garée à la station A et, après son travail, peut se garer dans n'importe quelle station.
Peut-elle parcourir une et une seule fois chacune des routes
pour traiter l'ensemble du secteur ?
\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe, les sommets étant rangés dans \underline{l'ordre alphabétique}
Déterminer $M$.
\item On donne :
\[
M^4 = \begin{pmatrix}
61 &48 &52 &28 &45 &55 &24\\
48 &44 &41 &21 &42 &45 &20\\
52 &41 &50 &25 &41 &52 &25\\
28 &21 &25 &15 &20 &24 &10\\
45 &42 &41 &20 &44 &48 &21\\
55 &45 &52 &24 &48 &61 &28\\
24 &20 &25 &\textbf{10} & 21 &28 &15
\end{pmatrix}
\]
Interpréter dans le contexte de l'exercice le nombre $10$ figurant en caractère gras dans la matrice.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie 2}
Pour accéder à un local d'une petite entreprise, les employés doivent choisir un code reconnu par l'automate suivant :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{./fig/graph_automate}
\end{center}
Une succession de lettres constitue un code possible si ces lettres se succèdent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet $\pscirclebox{1}$ et en sortant au sommet $\pscirclebox{4}$.
% \begin{list}{\textbullet}{Par exemple:}
% \item le mot $bcbab$ est un mot reconnu par cet automate, et correspond au chemin 121334 ;
% \item le mot $abac$ n'est pas reconnu par cet automate.
% \end{list}
\begin{enumerate}
\item Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par cet automate ?
\hfill{}$abab$, $abc$, $abbcbb$.\hfill{}
\item Recopier et compléter la matrice d'adjacence
$M=
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}$
associée au graphe orienté dans laquelle les sommets sont rangés dans l'ordre croissant.
\item
%Un logiciel de calcul formel donne
%\[M^4=
% \begin{pmatrix}
% 5 & 3 & 10 & 5\\
% 1 & 6 & 7 & 4 \\
% 1 & 3 & 4 & 2 \\
% 2 & 1 & 4 & 2
% \end{pmatrix}
% \qquad\text{et}\qquad
% M^5=
% \begin{pmatrix}
% 3 & 15 & 18 & 10\\
% 6 & 6 & 14 & 7\\
% 3 & 4 & 8 & 4\\
% 1 & 6 & 7 & 4
% \end{pmatrix}
%\]
Combien de mots de 4 lettres sont-ils reconnus par l'automate ? Justifier. Quels sont-ils ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\pagebreak
\begin{exercise}[subtitle={Bois et energie}, points=6]
\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip
\textbf{La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.}
\medskip
L'entreprise \emph{BBE (Bio Bois Énergie)} fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des
chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L'entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par :
\[C(x) = 0,3x^2 - x + \text{e}^{- x + 5}\]
où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien
correspondant en centaines d'euros.
\item[$\bullet~~$]Dans l'entreprise \emph{BBE} le prix de vente d'une tonne de granulés de bois est de $300$~euros.
La recette quotidienne de l'entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle
[1~;~15] par:
\[R(x) = 3x\]
où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante
en centaines d'euros.
\item[$\bullet~~$]On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l'entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
\medskip
\textbf{Partie A : Étude graphique}
Sur le graphique ci-dessous, on donne $\mathcal{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d'origine O.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.35, xscale=0.8]
\tkzInit[xmin=0,xmax=15,xstep=1,
ymin=0,ymax=54,ystep=2]
\tkzGrid
%\tkzGrid[sub, subxstep=0.2, subystep=200]
\tkzAxeXY%[up space=0.5,right space=.2]
\tkzFct[domain = 0:15, line width=1pt]{3*x}
\draw (2,23) node [left] {$\mathcal{C}$};
\tkzFct[domain = 0:15, line width=1pt]{0.3*x**2-x+exp(-x+5)}
\draw (2,3) node [above left] {$\Delta$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\textbf{Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée.}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise est
minimal.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net
quotidien en euros dégagé par l'entreprise pour 6~tonnes de granulés fabriqués et vendus.
\item Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l'entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c'est-à-dire un bénéfice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par :
\[g(x) = - 0,6x + 4 + \text{e}^{- x + 5}\]
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15] et on note $g'$ sa fonction dérivée.
\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15].
\item En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [1~;~15].
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~15], en précisant les valeurs $g(1)$ et $g(15)$ arrondies à l'unité.
\item Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution $\alpha$ et donner une valeur approchée à 0,1 de cette solution
\item Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l'intervalle [1~;~15].
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C : Application économique}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a :
\[D (x) = - 0,3x^2 + 4x - \text{e}^{- x + 5}\]
\item On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15] et on note $D'$ sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B.
\item En déduire les variations de la fonction $D$ sur l'intervalle [1~;~15].
\item
\begin{enumerate}
\item Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?
On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près.
\item Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\pagebreak
\begin{exercise}[subtitle={Enquête client}, points=5]
\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième.
À partir d'une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 60\,\% des clients sont des hommes ;
\item[$\bullet~~$] 80\,\% des hommes mangent un dessert alors que seulement 45\,\% des femmes en mangent un.
\end{itemize}
On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $H$ l'évènement \og le client interrogé est un homme \fg{};
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le client interrogé a mangé un dessert \fg.
\end{itemize}
On note également :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$ ;
\item[$\bullet~~$] $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$.
\end{itemize}
\medskip
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert.
\item Montrer que $p(D) = 0,66$.
\item Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
On rappelle que d'après cette enquête, la probabilité pour qu'un client ait mangé un dessert est de 0,66.
La chaine de restaurant souhaite estimer le nombre de dessert à préparer à l'avance pour une salle de 60 personnes. Elle suppose alors que le choix des clients se fait de façon identique et indépendantes de celui de autres.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui veulent un dessert.
\begin{enumerate}
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$?
\item Calculer la probabilité que 50 personnes souhaitent un dessert.
\item Quelle est la probabilité que moins de 10 clients souhaitent un dessert?
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur minimale de $a$ telle que $P(X \leq a) > 0,95$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}
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259
TES/DS/DS_19_09_25/DS_19_09_25.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,259 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage[inline]{enumitem}
\usepackage{tasks}
% Title Page
\title{DS 1}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{25 septembre 2019}
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
\begin{exercise}[subtitle={QCM},points=3]
\textit{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).}
\textit{Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la
question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point,
une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne
rapporte aucun point.}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la meilleure remise?
\begin{tasks}(3)
\task Une remise de 20\%
\task Trois remises de 7\%
\task Quatre remises de 6\%
\end{tasks}
\item La suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et par la formule de récurrence $u_{n+1} = 3u_n + 2u_n$ est
\begin{tasks}(3)
\task Arithmétique
\task Géométrique
\task Ni géométrique ni Arithmétique
\end{tasks}
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathcal{U}([2, 11])$. Alors $P(X>5,5)$ est égale à
\begin{tasks}(3)
\task 0,5
\task 5,5
\task 8
\end{tasks}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\textit{Les réponses suivantes sont justifiées ce qui n'est pas demandé dans ce QCM.}
\begin{enumerate}
\item Réponse c) Quatre remises de 6\%.
\begin{enumerate}
\item Une remise de 20\% revient à multiplier par $0.8$
\item Trois remises de 7\% revient à multiplier par $(1-0.07)^3 = 0.93^3 \approx 0.804$
\item Quatre remises de 6\% revient à multiplier par $(1 - 0.06)^4 = 0.94^4 \approx 0.78$
\end{enumerate}
\item Réponse b) Géométrique
En effet, $u_{n+1} = 3u_n+2u_n = 5u_n$, pour passer d'un terme au suivant on multiplie par 5.
\item Réponse a) 0.5
Les deux autres réponses ne sont pas des probabilités car 5,5 et 8 ne sont pas des nombres compris entre 0 et 1.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Un peu de hasard},points=5]
\textit{Les questions suivants sont indépendantes}
\begin{enumerate}
\item Après une tétée, un bébé dort 30min puis peut demander à manger à n'importe quel moment dans les 3 heures qui suivent. Lucas a terminé de téter à 9h.
On note $X$ la variable aléatoire décrivant l'heure où Lucas va demander à nouveau à manger.
\begin{enumerate}
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$?
\item Calculer $P(X<11)$.
\item Sa maman veut partir faire des courses entre 10h30 et 11h45. Quelle est la probabilité que Lucas réclame pendant son absence?
\end{enumerate}
\item La masse en gramme des melons d'un maraîcher est modélisée par une variable aléatoire M qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [850;x] avec x>1200. On constate que 75\% des melons du maraîcher ont une masse comprise entre 900 g et 1200 g. Déterminer x.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $X$ peut suivre une loi uniforme sur $\intFF{9,5}{12,5}$ notée $\mathcal{U}(\intFF{9.5}{12.5})$.
\item $P(X>11) = \dfrac{12,5 - 11}{12,5 - 9,5} = \dfrac{1,5}{3} = 0,5$
\item Cette probabilité revient à calculer $P(10,5 < X < 11,75) = \dfrac{1,25}{3} \approx 0.42$
\end{enumerate}
\item On cherche à déterminer $x$ tel que
\begin{eqnarray*}
0,75 &=& P(900 < M < 1200) = \dfrac{1200 - 900}{x - 850} \\
0.75 (x -850) &=& 300 \\
0.75 x - 637.5 &=& 300 \\
0.75 x &=& 937.5 \\
x &=& \dfrac{937.5}{0.75} = 1250
\end{eqnarray*}
Donc $M$ suit la loi $\mathcal{U}(\intFF{850}{1250})$.
\end{enumerate}
\end{solution}
\pagebreak
\begin{exercise}[subtitle={Pollution de l'air},points=5]
\textit{Dans cette question l'utilisation des outils et des notations mathématiques sera valorisée même si elle n'est pas obligatoire.}
Afin de respecter l'accord signé sur la pollution de l'air, certaines entreprises, dès l'année 2014, ont été contraintes de diminuer chaque année la quantité de CO$_2$ qu'elles produisent.
Une de ces entreprises émettait $15$ milliers de tonnes de CO$_2$ en 2014 et $14,7$ milliers de
tonnes en 2015.
On suppose que le taux de diminution annuel de CO$_2$ émis restera constant pendant les années suivantes.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution de l'émission de CO$_2$ par cette entreprise entre 2014 et 2015.
\item L'accord prévoit que cette entreprise devra produire moins de $12$ milliers de tonnes de CO$_2$ par an. En détaillant la méthode employée, déterminer à partir de quelle année la
quantité de CO$_2$ émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de $12$~milliers
de tonnes.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Taux d'évolution entre 2014 et 2015.
\[
\dfrac{v_a - v_d}{v_d} = \dfrac{14.7 - 15}{15} = -0.02 = -2\%
\]
\item On peut modéliser la quantité émise par l'entreprise avec une suite $(u_n)$. Comme le taux de diminution est supposé constant et égale à -2\%, elle sera géométrique, de raison $1 - 0.02 = 0.98$ et aura pour premier terme $u_0 = 15$.
\begin{eqnarray*}
u_0 &=& 15 \\
u_1 &=& u_0\times 0.98 = 15\times 0.98 = 14.7 \\
u_2 &=& 14.70 \times 0.98 = 14.41 \\
u_3 &=& 14.41 \times 0.98 = 14.12 \\
u_4 &=& 14.12 \times 0.98 = 13.84 \\
u_5 &=& 13.84 \times 0.98 = 13.56 \\
u_6 &=& 13.56 \times 0.98 = 13.29 \\
u_7 &=& 13.29 \times 0.98 = 13.02 \\
u_8 &=& 13.02 \times 0.98 = 12.76 \\
u_9 &=& 12.76 \times 0.98 = 12.51 \\
u_{10} &=& 12.51 \times 0.98 = 12.26 \\
u_{11} &=& 12.26 \times 0.98 = 12.01 \\
u_{12} &=& 12.01 \times 0.98 = 11.77 \\
\end{eqnarray*}
Il faudra attendre 12 années soit 2026.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Pyrale du buis},points=7]
% Ex 2 - 2019 Liban
La Pyrale du buis est une espèce de lépidoptères de la famille des Crambid\ae, originaire d'Extrême-Orient.
Introduite accidentellement en Europe dans les années 2000, elle y est devenue invasive. Une étude décomptant le nombre de chenilles de Pyrale dans un camping d'Ardèche donne les estimations suivantes:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Date & 01/06/18 & 02/06/18 & 03/06/18\\
\hline
$n$ & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Nombre de chenilles en centaines & 97 & 181 & 258\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
L'exercice étudie et compare deux modélisations de l'évolution du nombre de chenilles.
\begin{flushleft}
\textbf{Partie 1:} \emph{Modèle 1}
\end{flushleft}
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le 1\ier{} juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q=1,63$. Ainsi $u_0=97$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$. Arrondir à l'unité.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
\item Justifier que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018? Arrondir à la centaine.
\end{enumerate}
\begin{flushleft}
\textbf{Partie 2:} \emph{Modèle 2}
\end{flushleft}
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le 1\ier{} juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite $(v_n)$ telle que:
\hfill{}$v_0=97$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 0,91 v_n + 93$.\hfill{}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$: $v_n=\dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^n + \np{3100}\strut\right )$.
Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018? Arrondir à la centaine.
\item En étudiant le signe de $v_{n+1} - v_n$, montrer que la suite $(v_n)$ est croissante.
\end{enumerate}
\begin{flushleft}
\textbf{Partie 3:} \emph{Comparaison des différents modèles}
\end{flushleft}
Les valeurs relevées dans le camping sur le mois de juin n'ont jamais dépassé 1000 centaines de chenilles.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{6}
\item Quel modèle paraît le plus adapté?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
u_1 &=& u_0 \times 1.63 = 97 \times 1.63 = 158 \\
u_2 &=& u_1 \times 1.63 = 158 \times 1.63 = 257
\end{eqnarray*}
\item Forme explicite de la suite $u_n = 97 \times 1.63^n$
\item $(u_n)$ est croissante car la raison $q = 1.63$ est supérieur à 1.
\item Le nombre de chenilles le 13 juin 2018 correspond à
\[
u_{12} = 97 \times 1.63^{12} = \np{34121}
\]
\item Comme précédemment le 13 juin 2018 correspond au 12e terme de la suite
\[
v_{12}=\dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{12} + \np{3100}\strut\right ) = 731
\]
\item Variation de la suite $(v_n)$
\[
v_{n+1} = \dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{n+1} + \np{3100}\strut\right )
\]
Donc
\begin{eqnarray*}
v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{n+1} + \np{3100}\strut\right ) - \dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{n} + \np{3100}\strut\right )\\
v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{n+1} + \np{3100} + \np{2809} \times 0,91^{n} - \np{3100}\strut\right ) \\
v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \left ( \np{-2809} \times 0,91^{n+1} + \np{2809} \times 0,91^{n}) \\
v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \times 2809 ( - 0,91^{n+1} + 0,91^{n}) \\
v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \times 2809 ( - 0,91^{n} \times 0.91 + 0,91^{n}) \\
v_{n+1} - v_n &=& \dfrac{1}{3} \times 2809 \times 0.91^n \times ( -0.91 + 1)
\end{eqnarray*}
Les nombres en dehors des parenthèses sont positifs.\\
$-0.91 + 1 = 0.09$ est aussi positif.\\
Donc $v_{n+1} - v_n$ est positif et donc la suite est croissante.
\item D'après la question 4., $v_{12} = \np{34121}$ ce qui est beaucoup plus grand que les 1000 observées. La raison étant plus grande au 1, ce nombre va continuer d'augmenter. Le premier modèle ne semble donc pas adapté.
Le deuxième modèle donne des quantités plus faible (731 au 13 juin). Il semble donc plus convenir.
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{document}
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
%\usepackage[inline]{enumitem}
\usepackage{tasks}
\title{DS 2}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{14 octobre 2019}
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
\begin{exercise}[subtitle={QCM},points=4]
\textit{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).}
\textit{Pour chacune des questions posées, une seule des trois ou quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la
question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point,
une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne
rapporte aucun point.}
\begin{enumerate}
\item Dans une ville de la région, sur une population de \np{4200}~ habitants, $36$\,\% ont pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne. Le nombre d'habitants de cette ville ayant pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne est:
\begin{tasks}(4)
\task \np{2688}
\task \np{1512}
\task \np{1167}
\task \np{4164}
\end{tasks}
\item Dans une concession automobile de la région, le temps d'attente, exprimé en minutes, avant d'être reçu par un conseiller commercial peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1~;~10].
Un visiteur se présente. Quelle est la probabilité qu'il attende au moins 5 minutes avant d'être reçu par un conseiller commercial ?
\begin{tasks}(4)
\task 0,4
\task 0,5
\task $\dfrac{4}{9}$
\task $\dfrac{5}{9}$
\end{tasks}
\item Entre 2006 et 2018, dans un restaurant universitaire, le prix d'un repas est passé de 2 euros à 3,50~euros en augmentant chaque année de x\,\%. Parmi ces valeurs, la valeur la plus proche de $x$ est:
\begin{tasks}(4)
\task 6,25
\task 4,77
\task 14,58
\task0,85
\end{tasks}
\item On donne $u_{n+1} = 0.9u_n+\np{24000}$ et $v_n = u_n-\np{240000}$. Alors
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(v_n)$ est arithmétiques de raison \np{24000}
\item $(v_n)$ est arithmétiques de raison \np{-240000}
\item $(v_n)$ est géométrique de raison \np{0.9}
\item $(v_n)$ est ni géométrique ni arithmétiques.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Population}, points=4]
Une ville a vu sa population augmenter de \np{124000} habitants début 2014 à \np{128460} habitants début 2015.
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution de la population de cette ville entre 2014 et 2014.
\item Proposer un modèle pour calculer le nombre d'habitants de cette ville si l'on suppose que ce taux d'évolution reste constant.
\item En comparant avec l'évolution de villes analogues, les démographes pendent que la ville comptera \np{198600} habitants début 2030. Cette estimation est-elle compatible avec le modèle construit à la question 2?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Grand seigneur}, points=4]
Dans le restaurant qu'il fréquente chaque midi, Max dépense entre 10 et 35euros, "tout compris" selon ses choix. On modélise le prix d'un repas de Maw par la variable aléatoire $X$ dont la loi est uniforme entre 10 et 35\euro.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que Max dépense moins de 17,50\euro.
\item Calculer $P(19 < X < 27)$
\item Combien va-t-il payer en moyenne son repas?
\end{enumerate}
Max, qui paye en espèces et se s'embarrasse pas avec la monnaie, a pour habitude de donner au serveur un somme arrondie au multiple de 5 supérieur.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item Quel montant donne-t-il quand son repas coûte 19\euro?
\end{enumerate}
On modélise la somme donnée par Max pour payer son repas par la variable aléatoire $Y$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item Quelles valeurs peut prendre $Y$?
\item Est-ce que $Y$ suit une loi uniforme? Si oui, préciser les paramètres. Si non, quelle est sa loi?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Occupation des lits}, points=8]
On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\intFF{0}{4}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ ; elle passe par le point A de coordonnées (0,5~;~1).
La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.45 est parallèle à l'axe des abscisses.
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\def\tkzRatioLineGrid{0.75}
\begin{tikzpicture}[yscale=3, xscale=2, baseline=(a.north)]
\tkzInit[xmin=0,xmax=4,xstep=1,
ymin=0,ymax=1.5,ystep=1]
\tkzGrid[sub, ligne width=1.5]
\tkzAxeXY[up space=0.2,right space=0.2]
\tkzFct[domain=0:4,color=black,very thick]%
{0.1*x*(x-4)*(x-5)}
\draw (3.6,0.4) node {$\mathcal{C}$};
\tkzFct[domain=0:4,color=black,thick]%
{2*x}
\draw (0.5,1) node {$\times$} node[above left] {A};
\draw [<->, thick] (1,1.31) -- (1.46,1.31) node {$\times$} node[above left] {$T$} -- (2, 1.31);
\tkzFct[domain=2.3:3.7,color=black,thick]%
{-0.7*x+2.7}
\draw (3,0.6) node[very thick] {\large +};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\textbf{Partie A}
\medskip
Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $f'(1.45)$.
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.
\item Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\bigskip
\textbf{Partie B}
\medskip
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~4] par $f(x) = 0.3x^3-0.9x^2+2x$
On admet que son tableau de variation est
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$x$/1,$f(x)$/1}{0, 1.46, 4}
\tkzTabVar{-/ 0, +/ 1.31, -/ 0}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 1.1$ admet une unique solution sur $\intFF{0}{1}$.
\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de cette solution.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie C}
\medskip
En Europe, les observateurs d'une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu'ils peuvent modéliser par cette fonction $f$ l'évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les quatre mois d'hiver.
Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~4], $f(x)$ représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l'instant $x$, exprimé en mois.
Un journal affirme que cet hiver:
{\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item le nombre de lits occupés a dépassé le million pendant plus d'un mois.
\item le maximum de lits occupés a été atteint autour du milieu du deuxième moi.
\item après 3 mois, la diminution du nombre de lit a ralentit.
\end{itemize}}
Que dire de ces trois affirmations ?
\end{exercise}
\end{document}
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
%\usepackage[inline]{enumitem}
%\usepackage{tasks}
\title{DS 3}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{27 novembre 2019}
\xsimsetup{
solution/print = false
}
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
\begin{exercise}[subtitle={Grand jeu}, points=6]
Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu se déroule en deux étapes:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 1} : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de 1 à 50, chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert ;
\item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 2}:
\begin{itemize}
\item s'il découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en 10 secteurs de même taille dont 8 secteurs contiennent une étoile ;
\item sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.
\end{itemize}
\end{itemize}
Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.
\medskip
Un client joue à ce jeu. On note:
$N$ l'évènement \og Le client découvre un numéro entre 1 et 15\fg{};
$E$ l'évènement \og Le client obtient une étoile \fg.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.
\item Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à $0,31$.
\item Le client a gagné un bon d'achat. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro
entre 1 et 15 à la première étape ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\[
P(N) = \frac{15}{50} = 0.3
\]
\[
P_N(E) = \frac{8}{10} = 0.8
\]
\item
\begin{minipage}[h]{0.7\linewidth}
\begin{tikzpicture}[sloped]
\node {.}
child {node {$N$}
child {node {$E$}
edge from parent
node[above] {0.8}
}
child {node {$\overline{E}$}
edge from parent
node[above] {1-0.8 = 0.2}
}
edge from parent
node[above] {0.3}
}
child[missing] {}
child { node {$\overline{N}$}
child {node {$E$}
edge from parent
node[above] {0.1}
}
child {node {$\overline{E}$}
edge from parent
node[above] {1-0.1=0.9}
}
edge from parent
node[above] {1-0.3 = 0.7}
} ;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\item
\[
P(E \cap N) = P(N) \times P_N(E) = 0.3 \times 0.8 = 0.24
\]
\item Un client gagne le bon d'achat quand il arrive sur une étoile.
\[
P(E) = P(E\cap N) + P(E \cap \overline{N}) = 0.24 + 0.7\times 0.1 = 0.31
\]
\item
\[
P_E(N) = \frac{P(E\cap N)}{P(E)} = \frac{0.24}{0.31} = 0.77
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Autour de l'exponentiel}, points=5]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire
\[
A = e^{2x} (e^{-x} + 3)
\]
\item Factoriser
\[
B = (x+1)e^{5x} - 2xe^{5x}
\]
\item Résoudre l'équation
\[
e^{3x-5} > e^{5x+2}
\]
\end{enumerate}
\item En 2002, la culture de plantation d'OGM occupait une surface de 59,2 milions d'hectares dans le monde. On peut modéliser la surface dédiée au plantation OGM à l'année $2002+x$ par la fonction
\[
s(x) = 59.2\times 1.15^x
\]
\begin{enumerate}
\item Quelle est le sens de variation de cette fonction?
\item Calculer $\dfrac{s(x+1) - s(x)}{s(x)}$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
A &=& e^{2x} (e^{-x} + 3) \\
A &=& e^{2x-x} + 3\times e^{2x} \\
A &=& e^{x} + 3\times e^{2x}
\end{eqnarray*}
\item
\begin{eqnarray*}
B &=& (x+1)e^{5x} - 2xe^{5x} \\
B &=& (x+1 - 2x)\timese^{5x} \\
B &=& (-x+1)\timese^{5x}
\end{eqnarray*}
\item
\begin{eqnarray*}
e^{3x-5} &>& e^{5x+2} \\
3x-5 &>& 5x+2 \\
3x-5x &>& 2+5 \\
-2x &>& 7 \\
x &<& \frac{7}{-2} = \frac{-7}{2} \\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Comme $1.15 > 1$ alors la fonction $x\mapsto 1.15^x$ est croissante. Comme $59.2 > 0$ alors la fonction $s$ est croissante.
\item
\begin{eqnarray*}
\frac{s(x+1) - s(x)}{s(x)} &=& \frac{59.2\times 1.15^{x+1} - 59.2\times 1.15^{x}}{59.2\times 1.15^{x}} \\
&=& \frac{59.2\times 1.15^{x}(1.15 -1)}{59.2\times 1.15^{x}} \\
&=& 1.15 -1 \\
&=& 0.15 \\
\end{eqnarray*}
Ainsi le taux d'évolution de la fonction $s$ est constant et égal à 0.15.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\pagebreak
\begin{exercise}[subtitle={Étude graphique}, points=6]
Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~2]$. On a placé les points A(0~;~2), B(2~;~0) et C$( -2~;~0)$.
On dispose des renseignements suivants:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item[$\bullet~~$]La droite (AC) est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item[$\bullet~~$]La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 est une droite horizontale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\def\tkzRatioLineGrid{0.75}
\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1, baseline=(a.north)]
\tkzInit[xmin=-10,xmax=2,xstep=1,
ymin=-1,ymax=3,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY%[up space=0.2,right space=0.2]
\tkzFct[domain=-10:2,color=blue,very thick]%
{(2-x)*exp(x)}
\draw (1,2) node {$\mathcal{C}_f$};
\draw[thick] (-10, 2.71) -- (2, 2.71);
\draw[thick] (-3, -1) -- (1.5, 3.5);
\draw[color=black] (0,2) node {$\times$} node[below right] {A};
\draw[color=black] (2, 0) node {$\times$} node[above right] {B};
\draw[color=black] (-2, 0) node {$\times$} node[above left] {C};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
\begin{enumerate}
\item Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
\item Indiquer la valeur de $f'(1)$.
\item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.
\item Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$.
\item Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$.
\item Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe, et celui sur lequel elle est concave.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item $f(0)=2$ (point $A(0\,;\,2)$) et $f(2)=0$ (point $B(2\,;\,0)$).
\item Au point d'abscisse la tangente à $\mathcal(C)_f$ est horizontale donc $f'(1)=0$.
\item La tangente à $\mathcal(C)_f$ est la droite $(AC)$. Son équation est de la forme : $y=m\,x+p$.
$m=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{0-2}{-2-0}=1$ et $p=y_A-m\times x_A=2-1\times 0=2$.
L'équation de la tangente à $\mathcal(C)_f$ au point A a pour équation : $y = x + 2$.
\item À l'aide du graphique, on peut affirmer que sur l'intervalle $[-10\,;\,2\strut]$ l'équation $f(x)=1$ admet deux solutions distinctes l'une positive, l'autre négative.
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-10\,;\,1\strut]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[1\,;\,2\strut]$.
\item La tangente à $\mathcal(C)_f$ au point d'abscisse 0 (point $A$) coupe la courbe : le point $A$ est donc un point d'inflexion. La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-10\,;\,0\strut]$ et concave
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Technique}, points=3]
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation: $2x^2-7x-4 \geq 0$.
\item On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle $\intFF{0}{10}$.
Calculer la probabilité que ce nombre soit solution de l'inéquation précédente.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item La résolution de l'équation passe par l'étude de signe de la fonction
\[
f(x) = 2x^2 - 7x - 4
\]
Calcul du discriminant
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\times2\times(-4) = 81 = 9^2
\]
$\Delta$ est strictement positif donc la fonction $f$ a deux racines.
\[
x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7-9}{2\times2} = \frac{-1}{2}
\]
\[
x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7+9}{2\times2} = 4
\]
Comme $a = 2 > 0$, $f$ est positive en dehors des racines.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$, $-\frac{1}{2}$, $4$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, + , z, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Donc $2x^2-7x-4\geq0$ a pour solution $\intOF{-\infty}{-\frac{1}{2}}\cup \intFO{4}{+\infty}$
\item On note $X$ la variable aléatoire associée à cette expérience.
\[
P(X \mbox{ solution de l'inéquation }) = P(X > 4) = \frac{6}{10} = 0.6
\]
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

BIN
TES/DS/DS_19_11_27/DS_19_11_27_corr.pdf Normal file
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TES/DS/DS_19_12_18/DS_19_12_18.pdf Normal file
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366
TES/DS/DS_19_12_18/DS_19_12_18.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,366 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
%\usepackage[inline]{enumitem}
%\usepackage{tasks}
\title{DS 4}
\tribe{Terminale L-ES}
\date{20 décembre 2019}
\xsimsetup{
solution/print = false
}
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
\begin{exercise}[subtitle={Gestion d'un parc de vélos}]
Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de 20\,\% de son stock et achète ensuite $35$ nouveaux vélos.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au 1\up{er} juillet de l'année $(2018 + n)$.
Au 1\up{er} juillet 2018, le loueur possède $150$ vélos, ainsi $u_0 = 150$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au 1\up{er} juillet 2019.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,8u_n + 35$.
\end{enumerate}
\item On a calculé les premiers termes de cette suite à l'aide d'un tableur.
Une copie d'écran est donnée ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B\\ \hline
1 &rang $n$ &terme $u_n$\\ \hline
2 &0 &150 \\ \hline
3 &1 &155\\ \hline
4 &2 &159 \\ \hline
5 &3 &162,2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B3 pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item Pour les termes de rang 36, 37, 38, 39 et 40, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
38& 36& 174,992 \\ \hline
39& 37& 174,994\\ \hline
40& 38& 174,995\\ \hline
41& 39& 174,996\\ \hline
42& 40& 174,997\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, on cherche à démontrer la conjecture émise à la question précédente}.
Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n= u_n - 175$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = - 25 \times 0,8^n + 175$.
\item Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}
\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ tels que : $u_n \geqslant 170$.
\begin{enumerate}
\item Compléter l'algorithme en annexe pour trouver cette valeur.
\item Exécuter cet algorithme pour trouver la valeur de $n$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $u_1=150\times 0,8+35=155$. Au 1\up{er} juillet 2019, le loueur aura 155 vélos.
\item Le terme $u_n$ correspond au nombre de vélos l'année $(2018+n)$, $u_{n+1}$ le nombre de vélos l'année suivante. D'une année à l'autre il vend 20 \% de son stock, il lui en reste donc 80 \% soit $0,8\times u_n$. Puis il ajoute 35 nouveaux vélos. Donc il aura l'année suivante $0,8\times u_n+35$.
Ainsi $\forall n\in \N$, $u_{n+1}=0,8u_n+35$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Dans la cellule $B3$, il faut saisir : $=0,8*\text{B}2+35$
\item Le tableau donnant les termes de la suite pour $n$ allant de 38 à 42 permet de conjecturer que\\
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=175$
\end{enumerate}
\item On pose $\forall n\in \N$, $v_n=u_n-175$
\begin{enumerate}
\item $\forall n\in \N$, $v_{n+1}=u_{n+1}-175=0,8u_n+35-175=0,8u_n-140=0,8\left(u_n-\dfrac{140}{0,8}\strut\right)=0,8(u_n-175)=0,8v_n$\\
Donc la suite $(v_n)$ est la suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-175=-25$
\item $\forall n\in \N$, $v_n=v_0\times q^n=-25\times 0,8^n$.
De plus $\forall n\in \N$, $u_n=v_n+175=-25\times 0,8^n+175$.
\item La suite géométrique $(v_n)$ a pour raison $q=0,8$. $q\in]-1\,;\,1[$ donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8^n = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$.
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n+175=0+175=175$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item ~
\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
$u \leftarrow 150$ \;
$n \leftarrow 0$ \;
\Tq{$n < 179$}{
$u \leftarrow u*0.9+35$ \;
$n \leftarrow n+1$ \;
}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\end{center}
\item
En tâtonnant avec la calculatrice, on obtient
\[
u_7 = 169,76 \qquad \qquad u_8 = 170,8
\]
Donc au bout de 8 années, soit le 1\up{er} juillet 2026, le loueur possèdera plus de 170 vélos dans son stock.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\pagebreak
\begin{exercise}[subtitle={Club de foot}]
Un club de football est composé d'équipes adultes masculines, adultes féminines et d'équipes d'enfants. Chaque week-end, la présidente Claire assiste au match d'une seule des équipes du club et elle suit:
\begin{list}{\textbullet}{}
\item dans 10\,\% des cas, le match d'une équipe adulte féminine;
\item dans 40\,\% des cas, le match d'une équipe adulte masculine;
\item dans les autres cas, le match d'une équipe d'enfants.
\end{list}
Lorsqu'elle assiste au match d'une équipe masculine, la probabilité que celle-ci gagne est $0,6$. Lorsqu'elle assiste au match d'une équipe d'enfants, la probabilité que celle-ci gagne est $0,54$.
La probabilité que Claire voie l'équipe de son club gagner est $0,58$.
On choisit un week-end au hasard. On note les évènements suivants:
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $F$: \og Claire assiste au match d'une équipe adulte féminine \fg{};
\item $M$: \og Claire assiste au match d'une équipe adulte masculine \fg{};
\item $E$: \og Claire assiste au match d'une équipe d'enfants \fg{};
\item $G$: \og l'équipe du club de Claire gagne le match \fg{}.
\end{list}
\smallskip
\emph{Pour tous évènements $A$ et $B$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de $A$ et, si $B$ est de probabilité non nulle, $p_{B}(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.}
\medskip
\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilité est donné en \textbf{annexe}. Le compléter au fur et à mesure de l'exercice.
\item Déterminer la probabilité $p(M \cap G)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $p(F \cap G) = 0,07$.
\item En déduire $p_{F}(G)$.
\item La probabilité que l'équipe adulte féminine gagne un match est $0,47$. La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l'équipe adulte féminine?
\end{enumerate}
\item Claire annonce avoir assisté à la victoire d'une équipe du club. Quelle est la probabilité qu'elle ait suivi le match d'une équipe adulte féminine ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item ~
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[grow=right, xscale=2]
\node {.}
child {node {$E$}
child {node {$G$}
edge from parent
node[above] {0.54}
}
child {node {$\overline{G}$}
edge from parent
node[above] {0.46}
}
edge from parent
node[above] {0.5}
}
child[missing] {}
child {node {$M$}
child {node {$G$}
edge from parent
node[above] {0.6}
}
child {node {$\overline{G}$}
edge from parent
node[above] {0.4}
}
edge from parent
node[above] {0.4}
}
child[missing] {}
child { node {$F$}
child {node {$G$}
edge from parent
node[above] {0.7}
}
child {node {$\overline{G}$}
edge from parent
node[above] {0.3}
}
edge from parent
node[above] {0.1}
} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $p(M \cap G)= p(M)\times p_{M}(G)=0,4 \times 0,6=0,24$
\item
\begin{enumerate}
\item D'après la formule des probabilités totales:
$p(G)=p(F\cap G) + p(M\cap G)+p(E\cap G)$.
On sait que $p(G)=0,58$ et que $p(M\cap G)=0,24$.
\[
p(E \cap G)= p(E)\times p_{E}(G)=0,5 \times 0,54=0,27
\]
On en déduit que $p(F \cap G) = p(G) - p(M\cap G) - p(E\cap G) = 0,58-0,24-0,27 = 0,07$.
\item $p(F \cap G) = p(F)\times p_{F}(G)$ donc
\[
p_{F}(G) = \dfrac{p(F \cap G)}{p(F)} = \dfrac{0,07}{0,1}=0,7
\]
On peut ainsi compléter l'arbre (voir \textbf{annexe)}.
\item La probabilité que l'équipe adulte féminine gagne un match est $0,47$.% La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l'équipe adulte féminine?
La probabilité que l'équipe féminine gagne un match sachant que Claire a assisté au match est
$p_{F}(G) = 0,7$.
Donc la présence de Claire semble favoriser la victoire de l'équipe féminine.
\end{enumerate}
\item Claire annonce avoir assisté à la victoire d'une équipe de club.
La probabilité qu'elle ait suivi le match d'une équipe adulte féminine est
$p_{G}(F)=\dfrac{p(F\cap G)}{p(G)} = \dfrac{0,07}{0,58} \approx 0,12$.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Vrai ou Faux}]
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
\begin{enumerate}
\item On considère l'arbre pondéré suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=2, grow=right]
\node {.}
child {node {$R$}
child {node {$S$}
edge from parent
node[below] {0.4}
}
child {node {$\overline{S}$}
edge from parent
node[above] {0.6}
}
edge from parent
node[below] {0.7}
}
child[missing] {}
child { node {$\overline{R}$}
child {node {$S$}
edge from parent
node[below] {0.2}
}
child {node {$\overline{S}$}
edge from parent
node[above] {0.8}
}
edge from parent
node[above] {0.3}
} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\textbf{Affirmation 1}: La probabilité de $\overline{R}$ sachant $S$ est $0,06$.
\medskip
\item Soit $k$ un réel tel que $0 \leqslant k < 18$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left [k~;\, 18\strut\right ]$. On suppose que l'espérance de $X$ est égale à 12.
\smallskip
\textbf{Affirmation 2}: La valeur de $k$ est 9.
\medskip
\item Soit $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $\left [0~;\, 15\strut\right ]$. On suppose que sa fonction dérivée, notée $f'$, est continue sur $\left [0~;\, 15\strut\right ]$. Les variations de $f'$ sont représentées dans le tableau ci-dessous.
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$x$/1,$f'(x)$/2}{0, 5, 15}
\tkzTabVar{+/ 30, -/ -5, +/ 10}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\textbf{Affirmation 3}: La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\bigskip
\textbf{Affirmation 4}: La fonction $f$ est convexe sur $\left [5~;\, 15\strut\right ]$.
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item On a $P_S\left(\overline{R}\right) = \dfrac{P\left(S \cap \overline{R}\right)}{P(S)}$.
$\bullet~~$ $P\left(S \cap \overline{R}\right) = P\left(\overline{R} \cap S\right) = P\left(\overline{R} \right) \times P_{\overline{R}}(S) = 0,3 \times 0,2 : 0,06$.
$\bullet~~$ D'après la loi des probabilités totales :
$P(S) = P(R \cap S) + P\left(\overline{R} \cap S \right) = P(R) \times P_R (S) + P\left(\overline{R} \right) \times P_{\overline{R}}(S) = 0,7 \times 0,4 + 0,3 \times 0,2 = 0,28 + 0,06 = 0,34$.
Donc $\dfrac{P\left(S \cap \overline{R}\right)}{P(S)} = \dfrac{0,6}{0,34} \approx 0,18 \neq 0.06$ : l'affirmation est fausse.
\medskip
\item L'espérance de $X$sur $[k~;~18]$ est égale à $\dfrac{k + 18}{2} = 12 \iff k +18 = 24 \iff k = 6$ : l'affirmation est fausse.
\medskip
\item \smallskip
\textbf{Affirmation 3}: La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\smallskip
D'après le tableau de variations de $f'$, cette dérivée s'annule sur l'intervalle [0~;~5] et sur l'intervalle [5~;~15]. Il existe donc $a \in [0~;~5[$ tel que $f'(a) = 0$ et $b \in ]5~;~15]$ tel que $f'(b) = 0$. En ces deux points distincts le nombre dérivé est nul ce qui signifie que les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ sont horizontales : l'affirmation est fausse.
\textbf{Affirmation 4}: La fonction $f$ est convexe sur $\left [5~;\, 15\strut\right ]$.
D'après le tableau de variations $f'$croissante sur $[5~;~15]$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle : affirmation vraie.
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{document}
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70
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@@ -0,0 +1,70 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
%\usepackage[inline]{enumitem}
%\usepackage{tasks}
\title{DS 4 \hfill Annexe}
\tribe{Terminale L-ES}
\date{18 décembre 2019 \hfill Nom-Prénom:}
\pagestyle{empty}
\newcommand\annexe{%
\maketitle
\bigskip
{\large Exercice 1}
\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
$u \leftarrow 150$ \;
$n \leftarrow 0$ \;
\Tq{$n \cdots\cdots\cdots$}{
$u \leftarrow \cdots\cdots\cdots$ \;
$n \leftarrow n+1$ \;
}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\end{center}
{\large Exercice 2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[grow=right, xscale=2, yscale=0.7]
\node {$\bullet$}
child {node {$E$}
child {node {$G$}}
child {node {$\overline{G}$}}
}
child[missing] {}
child { node {$M$}
child {node {$G$}}
child {node {$\overline{G}$}}
}
child[missing] {}
child { node {$F$}
child {node {$G$}}
child {node {$\overline{G}$}}
} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
}
\begin{document}
\annexe
\vfill
\annexe
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

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318
TES/DS/DS_20_01_22/DS_20_01_22.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,318 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
%\usepackage[inline]{enumitem}
%\usepackage{tasks}
\title{DS 5}
\tribe{Terminale L-ES}
\date{22 janvier 2020}
\xsimsetup{
solution/print = false
}
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
\begin{exercise}[subtitle={Tirelire}, points=9]
Maya possède 20~\euro{} dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2018.
À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place $20$~\euro{} supplémentaires.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du $n$-ième mois. On a $u_0 = 20$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1\ier{} mois est de $35$~\euro.
\item Calculer $u_2$.
\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n + 20$.
On considère l'algorithme suivant:
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
\hline
$U \longleftarrow 20$\\
$N \longleftarrow 0$\\
Tant que $U < 70$\\
\hspace*{1cm} $U \longleftarrow 0,75 \times U + 20$\\
\hspace*{1cm} $N \longleftarrow N+1$\\
Fin Tant que\\
Afficher $N$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{0.65\textwidth}
\item Recopier et compléter le tableau ci-contre qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la suite de ce tableau. Arrondir les résultats au centième.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.2\textwidth}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$U$ & $N$ & $U<70$ \\
\hline
20 & 0 & Vrai \\
\hline
$\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\
\end{tabular}
\end{minipage}
\item Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme?
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
\item Préciser son premier terme $v_0$.
\item En déduire que, pour tout entier $n$, $u_n=80-60\times 0,75^{n}$.
\item Déterminer, au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2019.
\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
%\item Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1\ier{} mois est de 35~\euro.
\item Elle dépense le quart des 20 euros de départ, donc il lui reste les trois quarts de la somme, soit 15 euros. Puis elle ajoute 20 euros. Donc elle aura 35 euros le mois suivant. Donc
$u_1 = 35$.
\item $u_2=0,75\times 35+20 = 46,25$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On complète le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme en arrondissant les résultats au centième:
\begin{center}
%\end{center}
\begin{tabular}{|m{3cm}|*{8}{c|}}\hline
Valeur de $U$ & 20 & 35 & 46,25 & 54,69 & 61,02 &67,76 & 69,32 & 71,99\\ \hline
Valeur de $N$ & 0 & 1 & 2 & 3& 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline
Condition $U<70$ & vrai & vrai & vrai & vrai & vrai & vrai & vrai & faux \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Cet algorithme affiche la valeur $N=7$; donc au bout du 7\up{e} mois la somme disponible sera supérieure à 70 euros.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-80=0,75 \times u_{n}+20-80=0,75 \times u_{n}-60=0,75 \left(u_{n}-\dfrac{60}{0,75}\right)= 0,75\times \left(u_{n}-80\right) = 0,75 \times v_{n}$.
Donc la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
\item $v_0 = u_0-80=20-80= - 60$.
\item Pour tout entier $n$, $v_n=v_0\times q^n=-60\times 0,75^n$.
De plus $u_n=v_n+80=-60\times 0,75^n+80=80-60\times 0,75^{n}$.
\item Pour trouver le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2019, on cherche la somme disponible fin mai 2019, ce qui correspond à $n=12$ : $u_{12} = 80 - 60\times 0,75^{12} \approx 78,10$.
Maya aura dans sa tirelire le 1\up{er} juin 2019 78,10~\euro.
\item La raison de la suite géométrique $(v_n)$ est strictement comprise entre $-1$ et 1, donc sa limite quand $n$ tend vers l'infini est égale à 0.
\item Donc la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à 80 ; cela signifie que le contenu de la tirelire va avoir tendance à se stabiliser vers 80~\euro{} au bout d'un certain temps.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Satisfaction}, points=11]
On appelle fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100. Lorsque la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} atteint la valeur $100$, on dit qu'il y a \og \emph{saturation} \fg{}.
On définit aussi la fonction \og \emph{envie} \fg{} comme la fonction dérivée de la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{}. On dira qu'il y a \og \emph{souhait} \fg{} lorsque la fonction \og \emph{envie} \fg{} est positive ou nulle et qu'il y a \og \emph{rejet} \fg{} lorsque la fonction \og \emph{envie} \fg{} est strictement négative.
\medskip
\textbf{Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction \og \emph{\textbf{satisfaction}} \fg{} différent. \\[5pt]Les parties A, B et C sont indépendantes.}
\pagebreak
\textbf{Partie A}
\noindent
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre 0 et 6 heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $f$ dont la courbe représentative est donnée ci-contre ($x$ est exprimé en heures).
\bigskip
\textbf{Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.}
\begin{enumerate}
\item Lire la durée de travail quotidien menant à \og \emph{saturation} \fg{}.
\item Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a \og \emph{rejet} \fg{}.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\includegraphics[scale=0.3]{./fig/graph_PA}
\end{minipage}
\vfill
\textbf{Partie B}
Le directeur d'une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $g$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,30]$ par
$g(x)=12,5 x e^{-0,125x+1}$ ($x$ est exprimé en jour).
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0\,;\,30]$,
\[g'(x)=(12,5-\np{1,5625} x) e^{-0,125x+1}.\]
\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $[0\,;\,30]$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur cet intervalle.
\item Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet \og \emph{saturation} \fg{}?
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 50$ admet 2 solutions sur $\intFF{0}{30}$.
\end{enumerate}
\vfill
\textbf{Partie C}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $h$, est définie sur l'intervalle $[10\,;\,50]$ par
\[h(x)=\dfrac{90}{1+e^{-0,25 x +6}}\]
($x$ est exprimé en millier d'euros).
\bigskip
La courbe $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h$ est représentée ci-contre.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\includegraphics[scale=0.25]{./fig/graph_PC}
\end{minipage}
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants:
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabular}{|l|l|}\hline
1 & \verb!Dériver(90/(1 + exp(-0.25 * x +6)))!\\
& \hfill{}$\dfrac{22,5 e^{-0,25x+6}}{(1+e^{-0,25x+6})^2}$\rule[-20pt]{0pt}{0pt}\hfill{~}\\\hline
2 & \verb!Dériver(22.5 * exp(-0,25 x + 6)/(1 + exp(-0,25 * x + 6))^2! \\
& \hfill{}$\dfrac{5,625 e^{-0,25x+6} (e^{-0,25x + 6} -1)}{(1+e^{-0,25x+6})^3}$\rule[-20pt]{0pt}{0pt}\hfill{~}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner sans justification une expression de $h''(x)$.
\item Expliquer que $h''(x)$ est du même signe que $e^{-0.25x+6} - 1$.
\item Démontrer que dans l'intervalle $[10\,;\,50]$ l'inéquation $e^{-0,25x + 6} - 1 > 0$ a pour solution $x < 24$.
\item Étudier la convexité de la fonction $h$ sur l'intervalle $[10\,;\,50]$.
\item À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction \og \emph{envie} \fg{} décroît? Justifier.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Il y a \og \emph{saturation} \fg{} au bout de 3 heures de travail.
\item Il y a \og \emph{rejet} \fg{} quand la fonction est décroissante, donc après 3 heures de travail.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ de l'intervalle $[0\,;\,30]$:
$g'(x)= 12,5 \times e^{-0,125x+1} + 12,5 x \times (-0,125) e^{-0,125x+1}
= (12,5 -\np{1,5625}x) e^{-0,125x+1}$.
\item% \'Etudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $[0\,;\,30]$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur cet intervalle.
Pour tout $x$, $e^{-0,125x+1}>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $12,5 -\np{1,5625}x$.
$12,5 -\np{1,5625}x >0 \iff 12,5 > \np{1,5625}x \iff \dfrac{12,5}{\np{1,5625}} >x \iff x<8$
$g(0)=0$, $g(8)= 100$ et $g(30) \approx 24$
On établit le tableau des variations de la fonction $g$ sur $[0\,;\,30]$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=4]{$x$/1,$g'(x)$/1, $g(x)$/2}{$0$, $8$, $30$}
\tkzTabLine{, $+$, z , $-$,}
\tkzTabVar{-/ $0$, +/ $100$, -/ $f(30)\approx 24$ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item %Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet \og \emph{saturation} \fg{}?
D'après le tableau de variations, l'effet \og \emph{saturation} \fg{} apparaît au bout d'un séjour de 8 jours.
\item On va appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur les intervalles $\intFF{0}{8}$ et $\intFF{8}{30}$.
\begin{itemize}
\item $g(0) = 0$ et $g(8) = 100$
\item $g$ est une fonction continue et strictement croissante sur $\intFF{0}{8}$
\item $50 \in \intFF{0}{100}$
\end{itemize}
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 50$ a une unique solution sur $\intFF{0}{8}$.
On peut faire la même chose sur l'intervalle $\intFF{8}{30}$ démontrer qu'il y a une unique solution sur cet intervalle.
L'équation a donc 2 solutions sur $\intFF{0}{30}$
\end{enumerate}
\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
\item %Donner sans justification une expression de $h''(x)$.
D'après le logiciel de calcul formel, $h''(x)= \dfrac{5,625 e^{-0,25x+6} (e^{-0,25x + 6} -1)}{(1+e^{-0,25x+6})^3}$.
\item Pour tout $x$, $e^{x}>0$ donc, pour tout $x$, $e^{-0,25x+6}>0$; \\
on en déduit que $\left(1+e^{-0,25x+6}\right)^3 > 0$ et que $5,625 e^{-0,25x+6} > 0$, \\
et donc que $h''(x)$ est du signe de $e^{-0,25x+6}-1$.
\item On résout dans l'intervalle $[10\,;\,50]$ l'inéquation $e^{- 0,25x+6}-1>0$:
\medskip
\[
\begin{array}{l !{\iff} l !{\iff} l}
e^{-0,25x+6}-1>0 & e^{-0,25x+6} > 1 &-0,25x+6 >0 \\
& 6>0,25x & \dfrac{6}{0,25} > x\\[7pt]
& \multicolumn{2}{l}{24>x}\\
\end{array}
\]
\medskip
Sur l'intervalle $[10\,;\,50]$, l'inéquation $e^{-0,25x+6}-1>0$ a pour solution l'intervalle $[10\,;\, 24[$.
\item La fonction $h$ est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée est croissante, c'est-à-dire quand sa dérivée seconde est positive.
$h''(x)= \dfrac{5,625 e^{-0,25x+6} (e^{-0,25x + 6} -1)}{(1+e^{-0,25x+6})^3}$
\smallskip
\begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente, on peut dire que:}
\item $h''(x)>0$ sur $[10\,;\,24[$ donc la fonction $h$ est convexe sur $[10\,;\,24[$;
\item $h''(x)<0$ sur $]24\,;\,50]$ donc la fonction $h$ est concave sur $]24\,;\,50]$.
\end{list}
\item% À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction \og \emph{envie} \fg{} décroît? Justifier.
La fonction \og \emph{envie} \fg{} décroit quand $h'$ décroit donc quand $h''$ devient négative, soit à partir de $x=24$, ce qui correspond à un salaire annuel de $\np{24000}$ euros.
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{document}
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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

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268
TES/DS/DS_20_02_14/DS_20_02_14.tex Normal file
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
%\usepackage[inline]{enumitem}
%\usepackage{tasks}
\title{DS 6}
\tribe{Terminale L-ES}
\date{14 février 2020}
\xsimsetup{
solution/print = false
}
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=4]
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \int_2^5 10x \; dx$ vaut
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $30$
\item $105$
\item $150$
\item Une autre valeur que les 3 autres propositions
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item $\displaystyle \int_5^a 2x\; dx = 75$ quand a vaut
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $5$
\item $10$
\item $20$
\item Une autre valeur que les 3 autres propositions
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item La limite en plus l'infinie de la suite $u_n = 4 - 10\times 0.9^n$ est
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $-\infty$
\item $-4$
\item $4$
\item $+\infty$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Si $v_n = u_n + 5$ et $v_{n} = 4\times 0.7^n$ alors
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $u_n = -1\times 0.7^n$
\item $u_n = 9\times 0.7^n$
\item $u_n = 4\times 0.7^n - 5$
\item $u_n = 4\times 0.7^n + 5$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Jeu vidéo}, points=8]
\emph{Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire}
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}
\medskip
\textbf{Partie A}
Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d'affronter des obstacles à l'aide de personnages qui peuvent être de trois types: \og Terre \fg, \og Air\fg{} ou \og Feu \fg.
Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d'un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.
Le jeu a été programmé de telle sorte que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité que la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg{} est $0,3$ ;
\item[$\bullet~~$] la probabilité que la partie débute avec un personnage de type \og Air \fg{} est $0,5$ ;
\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,5$ ;
\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Air\fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,4$ ;
\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Feu \fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,9$.
\end{itemize}
On note les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $T$ : la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $A$ : la partie débute avec un personnage de type \og Air \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $F$ : la partie débute avec un personnage de type \og Feu \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C$ : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilités donné en annexe
\item Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type \og Air \fg.
\item Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est $0,53$.
\item On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu en début de partie.
Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type \og Air\fg{} ?
\end{enumerate}
\medskip
\pagebreak
\textbf{Partie B}
On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.
On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type \og Terre \fg{} est $0,3$.
$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type \og Terre \fg{} obtenus au début de ses $10$ parties.
\begin{enumerate}
\item Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type \og Terre \fg{} au début de ses $10$ parties.
\item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type
\og Terre \fg{} au début de ses $10$ parties.
\item Combien de personnages de type \og Terre \fg{} peut-il espérer avoir en moyenne sur ses 10 parties?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Satisfaction}, points=12]
On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~20]$ par:
\[f(x) = \np{1000}(x + 5)\text{e}^{- 0,2x}.\]
\textbf{Partie A - Étude graphique}
On a représenté sur le graphique en annexe, la courbe représentative de la fonction $f$.
\emph{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.}
\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f(x) = \np{3000}$.
\item Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de $f$ entre 2 et 8. Justifier la démarche.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B - Étude théorique}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Étude des variations.
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\intFF{0}{20}$.
Démontrer que pour tout $x$ de $\intFF{0}{20}$ , $f'(x) = - 200x\text{e}^{-0,2x}$.
\item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur l'intervalle [0~;~20]. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans le tableau.
\item Démontrer que l'équation $f(x) = \np{3000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur [0~;~20], puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l'aide de la calculatrice.
\end{enumerate}
\item Étude de la convexité
\begin{enumerate}
\item On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ sur $\intFF{0}{20}$.
Démontrer que pour tout $x$ de $\intFF{0}{20}$ , $f''(x) = (40x-200)\text{e}^{-0,2x}$.
\item Démontrer que $f$ admet un point d'inflexion dont on donnera son abscisse.
\end{enumerate}
\item Aire sous la courbe
\begin{enumerate}
\item On approxime grossièrement $f$ avec une droite définie par la fonction $g(x) = 5000 - 200x$.
Tracer sur l'annexe cette droite.
\item Calculer $\displaystyle \int_0^{20} 5000 - 200x\; dx$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C - Application économique}
Une entreprise a pris la décision de fermer son usine de production de smartphones en 20 mois.
La fonction capacité de production de cette usine est modélisée sur l'intervalle [0~;~20] par la fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.
Le nombre $x$ représente le temps en mois après la décision de la fermeture du site et le nombre $f(x)$ représente capacité production de smartphone au moment $x$.
Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes:
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item Combien de smartphones pouvaient être produit à la fermeture de l'usine?
\item Pendant combien de temps la capacité de production de l'usine a réussi à se maintenir au dessus de \np{3000}?
\item Combien de smartphones ont pu être produit entre la prise de décision et la fermeture de l'usine?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\end{solution}
\pagebreak
\center
{\Huge Annexe}
Nom-prénom:
\vfill
\begin{tikzpicture}[grow=right, yscale=0.6, xscale=2]
\node {.}
child {node {$T$}
child {node {$C$}
edge from parent
node[above] {}
}
child {node {$\overline{C}$}
edge from parent
node[above] {}
}
edge from parent
node[above] {}
}
child[missing] {}
child {node {$A$}
child {node {$C$}
edge from parent
node[above] {}
}
child {node {$\overline{C}$}
edge from parent
node[above] {}
}
edge from parent
node[above] {}
}
child[missing] {}
child { node {$F$}
child {node {$C$}
edge from parent
node[above] {}
}
child {node {$\overline{C}$}
edge from parent
node[above] {}
}
edge from parent
node[above] {}
} ;
\end{tikzpicture}
\vfill
\begin{tikzpicture}[yscale=2, xscale=0.8]
\tkzInit[xmin=0,xmax=22,xstep=1,
ymin=0,ymax=6000,ystep=1000]
\tkzGrid
\tkzGrid[sub, subxstep=0.2, subystep=200]
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
\tkzFct[domain = 0:20, line width=1pt]{1000*(x+5)*exp(-0.2*x)}
\end{tikzpicture}
\vfill
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: