Import all

TES/Exponentielle/Etude_fonction/1B_derive_exp.tex

@@ -0,0 +1,64 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivée de l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Janvier 2020}
+
+\begin{document}
+
+\section{Dérivée de la fonction exponentielle}
+
+\subsection*{Rappels}
+
+La \textbf{fonction exponentielle} notée $\exp$ est définie sur $\R$ par $\exp :x \mapsto e^x$.
+
+        \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+            \begin{itemize}
+                \item Elle est continue et dérivable sur $\R$
+                \item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
+                \item $e^0 = 1$ et $e^1 = e$
+            \end{itemize}
+            \begin{tikzpicture}
+                \tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
+                {$-\infty$, $+\infty$}%
+                \tkzTabVar{-/, +/}%
+            \end{tikzpicture}
+        \end{minipage}
+        \hfill
+        \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.1]
+                \tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
+                ymin=0,ymax=5,ystep=1]
+                \tkzGrid
+                \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+                \tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
+                \tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{minipage}
+
+\subsection*{Propriété: Dérivée de $\exp$}
+
+La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
+\[
+    \forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
+\]
+
+Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
+
+On en déduit, pour tout $x \in \R$:
+\begin{itemize}
+    \item $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
+    \item $\exp''(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
+\end{itemize}
+
+\subsection*{Exemple de calcul}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
+\afaire{}
+
+
+
+
+
+\end{document}

TES/Exponentielle/Etude_fonction/1E_derivation.tex

@@ -0,0 +1,65 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivation de l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}]
+    \begin{multicols}{4}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = e^x - 1$
+            \item $f(x) = -2e^{x} + x$
+            \item $f(x) = (x+1)e^{x}$
+            \item $f(x) = 4e^{x} - x^2$
+            \item $f(x) = x^4e^x$
+            \item $f(x) = (x^2 - x )e^x$
+            \item $f(x) = \frac{x}{e^x}$
+            \item $f(x) = \frac{e^x + 1}{e^x}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étudier le signe des fonctions}]
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = e^x + 1$ sur $I=\R$
+            \item $g(x) = (x-2)e^x$ sur $I = \R$
+            \item $h(x) = (2x^2+x-3)e^x$ sur $I = \R$
+            \item $i(x) = (-4x+8)(e^x+3)$ sur $I = \R$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Variations}]
+    Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = (3x-1)e^{x}$ sur $I=\R$
+            \item $g(x) = (x^2+3x-1)e^{x}$ sur $I=\R$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Convexité}]
+    Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée seconde, étudier son signe et en déduire la convexité de la fonction initiale.
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = (4x+1)e^{x}$ sur $I=\R$
+            \item $g(x) = (x^2+x-10)e^{x}$ sur $I=\R$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+\printexercise{exercise}{4}
+
+
+\end{document}

TES/Exponentielle/Etude_fonction/2B_compose.tex

@@ -0,0 +1,32 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivée de la composée de l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Janvier 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle}
+
+\subsection{Propriété}
+
+Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $f:x\mapsto e^{u(x)}$ est aussi dérivable sur $I$ et sa dérivée est
+\[
+    f'(x) = u'(x)\times e^{u(x)}
+\]
+
+\subsection{Exemple}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = e^{-0.1x}$
+
+\afaire{}
+
+
+
+
+
+
+
+\end{document}

TES/Exponentielle/Etude_fonction/2E_compo.tex

@@ -0,0 +1,71 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivation d'une composée avec l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Variations}]
+    Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 2e^{-3x}$ , $I = \R$
+            \item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
+            \item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction}]
+    On considère la fonction $f$ définie sur $I=\intFF{-3}{3}$ par $f(x) = 5e^{-0,5x^2}$.
+    \begin{multicols}{2}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $f'(x)$ puis étudier son signe sur $I$.
+                \item Dresser le tableau de variation de $f$.
+                \item Combien l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle de solution?
+            \end{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Montrer que $f''(x) = (5x^2-5)e^{-0,5x^2}$.
+                \item Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet 2 points d'inflexions. Déterminer leur abscisse.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Équilibre du marché}]
+    Une entreprise fabrique des housses isothermes pour canettes. Le prix à l'unité peut varier entre 5 et 10\euro l'unité. Une étude de marché a permis de modéliser l'offre et la demande en fonction du prix, $x$, par les fonctions suivantes
+    \begin{itemize}
+        \item L'offre: $f(x) = 10x-20$ (nombre de housse produite en fonction du prix unitaire)
+        \item La demande: $g(x) = 180e^{-0,12x}$ (nombre de housse achetée en fonction du prix unitaire)
+    \end{itemize}
+    \begin{enumerate}
+        \item On suppose que le prix de vente est fixé à 6\euro.
+            \begin{enumerate}
+                \item Quelle sera la quantité de housses achetées?
+                \item Quelle sera la quantité de housses vendues?
+                \item Qui de l'entreprise ou des clients ne sera pas satisfait par un prix de 6\euro?
+            \end{enumerate}
+        \item On appelle \textbf{prix d'équilibre} le prix unitaire $x$ tel que l'offre est égale à la demande. Pour le déterminer, on définit la fonction $h$ par $h(x) = f(x) - g(x)$.
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $h'(x)$ et étudier son signe.
+                \item Construire le tableau de variation de $h$.
+                \item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intFF{5}{10}$. Donner une valeur approchée à 0,1près.
+                \item Quel est la prix d'équilibre de ce produit d'après cette étude de marché?
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+
+
+\end{document}

TES/Exponentielle/Etude_fonction/3E_annales.tex

@@ -0,0 +1,139 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivation d'une composée avec l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Métropole Juin 2018}]
+    On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$ par
+
+    \[f(x) = (2x+1)e^{-2x}+3.\]
+
+    On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.
+
+    \begin{multicols}{2}
+    \begin{enumerate}
+        \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in  [-2~;~4]$,
+
+            \[f'(x)=-4xe^{-2x}.\]
+
+        \item Étudier les variations de $f$.
+        \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2~;~0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
+        \item On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. On admet que, pour tout $x\in [-2~;~4]$,
+
+            \[f''(x)=(8x-4)e^{-2x}.\]
+
+            \begin{enumerate}
+                \item Étudier le signe de $f''$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
+                \item En déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe. 
+            \end{enumerate} 
+    \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Polynésie Juin 2018}]
+    Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d'augmenter son chiffre d'affaires. La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par l'usine est modélisée par :
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{itemize}
+            \item la fonction $f$ définie sur [0~;~14] par 
+
+                \[f(x) = \np{2000}\text{e}^{-0,2x}\]
+
+                pour le produit A ;
+            \item  la fonction $g$ définie sur [0~;~14] par 
+
+                \[g (x)= 15x^2 + 50 x\]
+
+                pour le produit B
+        \end{itemize}
+    \end{multicols}
+        Où $x$ est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau produit B exprimée en mois.
+
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+    \textbf{Partie A}
+
+    Leurs courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-contre.
+
+    Par lecture graphique, sans justification et avec la précision permise par le graphique :
+
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de produit B dépasse celle du produit A.
+        \item L'usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit B supérieure à \np{3000}~tonnes.
+
+            Au bout de combien de mois cette quantité journalière sera atteinte?
+    \end{enumerate}
+
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+    \begin{center}
+        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/produit1B}
+    \end{center}
+        
+    \end{minipage}
+
+    \textbf{Partie B}
+
+    \medskip
+
+    Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~14] on pose $h(x) = f(x) + g(x)$.
+
+    On admet que la fonction $h$ ainsi définie est dérivable sur [0~;~14].
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Que modélise cette fonction dans le contexte de l'exercice ?
+                \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~14]
+                    $h'(x) = - 400\text{e}^{-0,2x} + 30x + 50$.
+            \end{enumerate}
+        \item ~\\
+            \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        On admet que le tableau de variation de la fonction $h'$ sur l'intervalle [0~;~14] est :
+
+
+            \begin{enumerate}
+                \item Justifier que l'équation $h'(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~14] et donner un encadrement d'amplitude $0,1$ de $\alpha$.
+                \item  En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~14].
+            \end{enumerate}
+                
+            \end{minipage}
+            \hfill
+            \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=4]{$x$/1,$h'(x)$/2}{$0$, $14$}
+                    \tkzTabVar{-/ $-350$, +/ $h'(14) \approx 446$ }
+                \end{tikzpicture}
+            \end{minipage}
+        \item Voici un algorithme :
+
+            \begin{minipage}{0.55\textwidth}
+                \begin{enumerate}
+                    \item Si la variable $X$ contient la valeur 3 avant l'exécution de cet algorithme, que contient la variable $X$ après l'exécution de cet algorithme ?
+                    \item En supposant toujours que la variable $X$ contient la valeur $3$ avant l'exécution de cet algorithme, modifier l'algorithme de façon à ce que X contienne une valeur approchée à $0,001$ près de $\alpha$ après l'exécution de l'algorithme.
+                \end{enumerate}
+
+            \end{minipage}
+            \hfill
+            \begin{minipage}{0.35\textwidth}
+                \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
+                    $Y \gets -400 \,\text{exp}(- 0,2X) + 30X + 50$\\
+                    Tant que $Y \leqslant 0$\\
+                    \hspace{0.7cm}$X \gets X + 0,1$\\
+                    \hspace{0.7cm}$Y \gets  -400 \,\text{exp}(- 0,2X)+ 30X +50$\\
+                    Fin Tant que\\ \hline
+                \end{tabularx}
+            \end{minipage}
+    \end{enumerate}
+
+\end{exercise}
+
+\end{document}

TES/Exponentielle/Etude_fonction/index.rst

@@ -0,0 +1,58 @@
+Étude de la fonction exponentielle pour l'année 2019-2020 en terminale ES
+#########################################################################
+
+:date: 2020-02-17
+:modified: 2020-02-17
+:authors: Bertrand Benjamin
+:category: TESL
+:tags: Exponentielle, Fonction, Calcul formel
+:summary: Étude de la fonction exponentielle pour l'année 2019-2020 en terminale ESL
+
+
+Étape 1: Dérivé de la fonction exponentielle
+============================================
+
+.. image:: 1E_derivation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices techniques de dérivation de l'exponentielle
+
+Résumé de la fonction exp en classe. On ajoute la formule de dérivée. On pourra parler de la construction de la fonction exponentielle avec Bernoulli qui la construit comme prolongement continue puis Euler comme solution de l'équation différentielle.
+
+Exercices techniques de dérivation puis factorisation de fonction avec exponentiel
+
+Cours: résumé des propriétés de la fonction exp
+
+.. image:: 1B_derive_exp.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur la dérivée de l'exponentielle
+
+Étape 2: Dérivée d'exponentielle avec composées
+===============================================
+
+On donne la formule pour le calcul de la dérivée avec une fonction composée avec exp.
+
+.. image:: 2E_compo.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercice sur la composée avec l'exponentielle
+
+
+Exercices techniques de dérivation.
+
+.. image:: 2B_compose.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur la dérivée d'une fonction composée avec l'exponentielle
+
+Étape 3: Dérivée de l'exponentielle avec des quotients
+======================================================
+ (DM??)
+
+Étape 4: Annales de Bac
+=======================
+
+Plein plein plein d'annales de bac
+
+Étape 5: Utilisation du calcul formel
+=====================================
+
+Étude de fonctions utilisant l'exponentiel "trop compliqué à dériver", on utilise alors le calcul formel.
+