Import all

TES/Exponentielle/Prolongement_continue/1E_exo.tex

@@ -0,0 +1,63 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Prolongement des suites géométriques}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Octobre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+\begin{exercise}[subtitle={Nombre d'employés}]
+    Le nombre d'employés dans une entreprise est donné dans le tableau ci-dessous.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
+            \hline
+            Année & 2005 & 2006 & 2007 & 2008 & 2009 \\
+            \hline
+            Nombre & \np{281540} & \np{269 458} & \np{260498} & \np{251955} & \np{241835} \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+    On note $(u_n)$ la suite qui décrit le nombre d'employés à l'année $2005+n$.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Montrer qu'entre 2005 et 2009 le taux d'évolution annuel moyen correspond à une baisse de 3,73\%.
+        \item En déduire les caractéristiques de la suite $(u_n)$ ainsi que son expression en fonction de $n$.
+        \item Proposer un prolongement continue de cette suite. On nommera $f$ cette fonction.
+        \item Déterminer le sens de variation de la fonction $x\mapsto0.9627^x$. En déduire les variations de $f$.
+        \item Calculer $f(5,5)$ et interpréter le résultat.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+% \begin{exercise}[subtitle={Population}]
+%         La population d'une ville croît chaque année d'environ 1,2\%. Au premier janvier 2016, il y avait \np{12000} habitants.
+%         \begin{enumerate}
+%             \item Proposer un modèle discret (avec un suite) de la taille de la population.
+%             \item Prolonger ce modèle discret en modèle continue.
+%             \item Combien d'habitant prévoit-on d'avoir dans cette ville au premier avril 2020?
+%         \end{enumerate}
+% \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Concentration dans le sang}]
+        On injecte dans le sang d'un patient une dose de 4mg d'un médicament. On suppose que le médicament se répartit instantanément dans le sang.
+
+        On note $t$ le temps écoulé depuis l'injection et on modélise la quantité $Q(t)$ (en mg) de médicament présent dans le sang par la fonction définie sur $\intFO{0}{+\infty}$.
+        \[
+            Q(t) = 4\times0.85^t
+        \]
+        \begin{enumerate}
+            \item Quel est le sens de variation de $Q$. Interpréter ce résultat.
+            \item Quelle est la quantité de médicament dans le sang 1h30 après l'injection?
+            \item Pour tout $t\geq0$ calculer $\dfrac{Q(t+1) - Q(t)}{Q(t)}$. Interpréter ce résultat.
+            \item Le médicament n'est plus efficace si sa quantité est inférieur à 1mg. Au bout de combien de temps va-t-il devenir inefficace?
+        \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+\end{document}

TES/Exponentielle/Prolongement_continue/1P_bacteries.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\documentclass[14pt,xcolor=table]{classPres}
+%\usepackage{myXsim}
+
+\title{}
+\author{}
+\date{Octobre 2019}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}{Population de bactéries} 
+    \framesubtitle{Salmonella typhimurium}
+
+    L'étude de ce type de bactéries a montré que la population triplait chaque heure.
+
+    On commence l'expérience à 8h et à 10h on compte 1000 bactéries.
+
+    \begin{center}
+        Comment calculer le nombre de bactéries à n'importe quel moment?
+    \end{center}
+
+    \pause
+    \begin{itemize}
+        \item Nombre de bactéries à 12h?
+    \pause
+        \item Nombre de bactéries à 9h? à 8h?
+    \pause
+        \item Nombre de bactéries à 10h30?
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

TES/Exponentielle/Prolongement_continue/2B_graphiques_qn.tex

@@ -0,0 +1,36 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Graphiques des fonctions puissances}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Octobre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\newcommand\repgraph{%
+\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1.5, yscale=0.7]
+    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+    ymin=0,ymax=10,ystep=1]
+    \tkzGrid
+    \tkzAxeXY
+    \tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]%
+    {0.5**x}
+    \tkzFct[domain = -5:5,color=green,very thick]%
+    {0.8**x}
+    \tkzFct[domain = -5:5,color=blue,very thick]%
+    {2**x}
+    \tkzFct[domain = -5:5,color=black,very thick]%
+    {1.5**x}
+\end{tikzpicture}
+
+}
+\begin{document}
+
+\repgraph
+\vfill
+\repgraph
+\vfill
+\repgraph
+
+
+\end{document}

TES/Exponentielle/Prolongement_continue/2P_varia_calcs.tex

@@ -0,0 +1,67 @@
+\documentclass[12pt,xcolor=table]{classPres}
+%\usepackage{myXsim}
+
+\title{}
+\author{}
+\date{Octobre 2019}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}{Calculs avec la fonction puissance} 
+    \begin{block}{Propriétés}
+        Soit $q \in \R^*$ et $a$ et $b$ des réels.
+        \[
+            q^0 = \hspace{3cm}
+            q^{a+b} = \hspace{3cm}
+        \]
+        \vfill
+        \[
+            q^{-a} = \hspace{3cm}
+            q^{a-b} = \hspace{3cm}
+            q^{nb} = \hspace{3cm}
+        \]
+    \end{block}
+        \vfill
+    \pause
+    \begin{block}{Propriétés}
+        Soit $q\in\R^*$ alors
+        \[
+            \forall x \in \R \qquad q^x > 0
+        \]
+    \end{block}
+        \vfill
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Représentation graphique des fonctions puissance}
+    \begin{block}{Exercice}
+        Choisir 2 valeurs de $q$ entre 0 et 1 puis 2 autres supérieures à 1.
+
+        Tracer à l'aide de la calculatrice leur représentation graphique.
+
+        \bigskip
+
+        Faire une conjecture sur les variations de la fonction puissance et la valeur de $q$. 
+    \end{block}
+    
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Variations de la fonction puissance} 
+    \begin{block}{Propriété}
+        Soit $q\in\R^*$ alors
+        \begin{itemize}
+            \item Si $q < 1$, $f:x\mapsto q^x$ est décroissante sur $\R$
+            \item Si $q > 1$, $f:x\mapsto q^x$ est croissante sur $\R$
+        \end{itemize}
+    \end{block}
+    \begin{block}{Remarque}
+       On retrouve le même comportement que les suites géométriques. 
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

TES/Exponentielle/Prolongement_continue/3E_exp_technique.tex

@@ -0,0 +1,81 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Exercices techniques sur l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES-L}
+\date{Novembre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+Les exercices suivants sont à faire en colonne. Dans une première séance, vous ferez la première colonne de tous les exercices. La séance suivante, la deuxième...
+\begin{exercise}[subtitle={Mettre sous la forme $a\times e^b$}]
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $A=e^2\times e^{-3}\times e^5$
+            \item $B=e^3 + 5e^3$
+            \item $C=(e^2)^5 \times e^{-3}$
+            \item $D= e^4 - (3e^2)^2$
+            \item $E=\dfrac{e^3}{e^6}$
+            \item $F=e^{10} + 3(e^2)^5$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols} 
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Réduire les expressions}]
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $A=e^{2x}\times e^{2-x}$
+            \item $B=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{2x}}$
+            \item $C=\dfrac{e^{3x}\times e^{x-1}}{e^{2+x}}$
+            \item $D=(1+e^x)(e^x-1)$
+            \item $E=e^{-x}(e^x-1)$
+            \item $F=(e^x+1)^2$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols} 
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}]
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $A = x^2e^x + 2e^x$
+            \item $B = e^{-0.1x} + (x+2)e^{-0.1x}$
+            \item $C = (x-1)e^{0.2x} - (x+3)e^{0.2x}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols} 
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Résoudre les équations et inéquations}]
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $e^{2x+1} = e^{x}$
+            \item $e^{3-2x} \leq e^{3x}$
+            \item $e^{2x+1} = e$
+            \item $e^{-x} - 1\geq 0$
+            \item $e^x(e^x-1) = 0$
+            \item $(x^2+x-2)(e^x-1) = 0$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols} 
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Démontrer les égalités}]
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $-1+\dfrac{2e^x}{e^x+1} = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$
+            \item $(e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2 = 4$
+            \item $\dfrac{1}{1+2e^{-x}} = 1 - \dfrac{2}{e^x+2}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols} 
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+Les exercices suivants sont à faire en colonne. Dans une première séance, vous ferez la première colonne de tous les exercices. La séance suivante, la deuxième...
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+\printexercise{exercise}{4}
+\printexercise{exercise}{5}
+
+\end{document}

TES/Exponentielle/Prolongement_continue/3P_exponentielle.tex

@@ -0,0 +1,87 @@
+\documentclass[10pt,xcolor=table]{classPres}
+%\usepackage{myXsim}
+
+\title{}
+\author{}
+\date{Octobre 2019}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}{Exponentielle} 
+    \begin{block}{Propriété/définition}
+        Parmi toutes les fonctions puissance de base $q$, une seule admet 1 comme nombre dérivé.
+
+        \pause
+        La base de cette fonction est $e \approx 2,72...$.
+        \pause
+
+        La fonction puissance de base $e$ s'appelle la fonction \textbf{exponentielle} et est notée \textbf{exp}. 
+
+        Elle est définie sur $\R$ par 
+        \[
+            exp : x \mapsto e^x
+        \]
+        avec $exp'(0) = 1$.
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Propriétés de l'exponentielle} 
+    La fonction \textbf{hérite} des propriétés des fonctions puissances.
+    \begin{itemize}
+        \item $exp(0) = e^0 = 1$
+        \item $exp(1) = e^1 = e$
+        \item $exp$ est strictement positive sur $\R$
+        \item Formules de calculs, pour tout $x$, $y$ $\in \R$
+            \[
+                e^{x+y} = e^x \times e^y \qquad e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y} 
+            \]
+            \[
+                e^{-y} = \frac{1}{e^y}  \qquad \left(e^x\right)^y =  e^{x\timesy}
+            \]
+        \item $e > 1$ donc la $exp$ est strictement croissante sur $\R$.
+            \[
+                e^x = e^y \equiv x = y
+            \]
+            \[
+                e^x < e^y \equiv x < y
+            \]
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Exercices} 
+    \begin{block}{Simplifier}
+        \begin{multicols}{2}
+            \begin{enumerate}
+                \item $A=e^{2x}\times e^{2-x}$
+                \item $B=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{2x}}$
+                \item $C=\dfrac{e^{3x}\timese^{x-1}}{e^{2+x}}$
+                \item $D=(1+e^x)(e^x-1)$
+            \end{enumerate}
+       \end{multicols} 
+    \end{block}
+    \begin{block}{Résoudre les équations}
+        \begin{multicols}{2}
+            \begin{enumerate}
+                \item $e^{2x+1} = e^{x}$
+                \item $e^x(e^x-1) = 0$
+            \end{enumerate}
+        \end{multicols} 
+    \end{block}
+    \begin{block}{Résoudre les inéquations}
+        \begin{multicols}{2}
+            \begin{enumerate}
+                \item $e^{3-2x} \leq e^{3x}$
+                \item $e^{-x} - 1\geq 0$
+            \end{enumerate}
+        \end{multicols} 
+    \end{block}
+
+\end{frame}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

TES/Exponentielle/Prolongement_continue/index.rst

@@ -0,0 +1,52 @@
+Découverte de la fonction puissance pour l'année 2019-2020 en terminale ES
+##########################################################################
+
+:date: 2019-11-12
+:modified: 2019-11-12
+:authors: Bertrand Benjamin
+:category: TESL
+:tags: Exponentielle, Suite, Puissance
+:summary: Découverte de la fonction puissance par prolongement continu des suites géométrique pour l'année 2019-2020 en terminale ESL
+
+
+Étape 1: Prolongement continue des suites géométriques
+======================================================
+
+.. image:: 1P_bacteries.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Evolution du nombre de bactéries
+
+On commence avec une question ouverte qui appelle les réinvestir leurs connaissances sur les suites géométriques.
+
+.. image:: 1E_exo.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Prolongement continue
+
+Étape 2: Variation et calculs avec la fonction puissance
+========================================================
+
+Dans le but de pouvoir faire la question 3 de l'exercice 2, on rappelle les formules liées aux puissances
+
+.. image:: 2P_varia_calcs.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Cours sur les formules de calculs et les variations de la fonction puissance
+
+La diapositive sur la représentation graphique des fonctions des fonctions puissance, précèdera le graphique suivant en guise de bilan. On ajoutera dessus les valeurs de $q$ choisies pour mettre en évidence la différence entre inférieur à 1 et supérieur à 1.
+
+.. image:: 2B_graphiques_qn.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Graphiques à imprimer pour le cours.
+
+Étape 3: Exponentielle
+======================
+
+.. image:: 3P_exponentielle.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Découverte et exercices sur l'exponentielle
+
+Dans le cours, on définit la fonction exponentielle puis on attaque une série d'exercices techniques sur le principe d'une colonne par séance.
+
+.. image:: 3E_exp_technique.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices techniques sur exp
+