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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Arbre de probabilité - Bilan}
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\date{Novembre 2019}
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\begin{document}
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||||
\section*{Probabilité d'un évènement sous conditions}
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||||
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||||
Dans d'activité sur l'enquête des fumeurs, on a été amené à vérifier la véracité de la phrase suivante
|
||||
|
||||
\begin{quote}
|
||||
Sachant qu'aucun de ses parents ne soit fumeur, la probabilité qu'il ne soit pas aussi est de plus de 50\%.
|
||||
\end{quote}
|
||||
|
||||
La probabilité à calculer est soumise a une condition, on appelle cela une \textbf{probabilité conditionnelle}. En notant
|
||||
\[
|
||||
F = \left\{\mbox{Le jeune est fumeur}\right\} \qquad
|
||||
P = \left\{\mbox{Un de ses parents est fumeur}\right\}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
On a alors calculer la probabilité de la manière suivante
|
||||
\[
|
||||
P_{\overline{P}} (\overline{F}) = \frac{\mbox{Nombre de non fumeur avec des parents non fumeur}}{\mbox{Nombre de non fumeur}} = \frac{700}{1000} = 0.7 = 70\%
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Soient $A$ et $B$ deux évènements avec $P(A) \neq 0$
|
||||
|
||||
On note $P_A(B)$ la probabilité de l'évènement \textbf{B sachant que A est réalisé} et on a
|
||||
\[
|
||||
P_A(B) = \frac{\mbox{Nombre d'éléments dans } A\cap B}{\mbox{Nombre d'éléments dans } A}
|
||||
\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\section*{Arbre de probabilité}
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||||
|
||||
On a représenté la situation de l'activité avec un arbre de probabilité. Deux arbres sont possibles suivant qu'on l'on s'intéresse d'abord à la condition que le jeune soit fumeur ou d'abord à ses parents.
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||||
\bigskip
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||||
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||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{center}
|
||||
Condition sur le jeune
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\node {$\bullet$}
|
||||
child {node {$F$}
|
||||
child {node {$P$}}
|
||||
child {node {$\overline{P}$}}
|
||||
}
|
||||
child[missing] {}
|
||||
child { node {$\overline{F}$}
|
||||
child {node {$P$}}
|
||||
child {node {$\overline{P}$}}
|
||||
} ;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{center}
|
||||
Condition sur le jeune
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\node {$\bullet$}
|
||||
child {node {$P$}
|
||||
child {node {$F$}}
|
||||
child {node {$\overline{F}$}}
|
||||
}
|
||||
child[missing] {}
|
||||
child { node {$\overline{P}$}
|
||||
child {node {$F$}}
|
||||
child {node {$\overline{F}$}}
|
||||
} ;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\afaire{Compléter les arbres avec les probabilités calculées en classe}
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,50 @@
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
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||||
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||||
\title{Probabilité conditionnelle - tableau croisé}
|
||||
\tribe{Terminale ES}
|
||||
\date{Novembre 2019}
|
||||
|
||||
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Fumeur ou pas}]
|
||||
On interroge un échantillon de \np{1500} jeunes ayant entre 14 et 18ans pour savoir s'ils fument et si au moins l'un de leurs parents fume.
|
||||
|
||||
Les résultats de l'enquête sont consignés dans le tableau suivant.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|>{\columncolor{highlightbg}}c|*{2}{p{4cm}|}|p{4cm}|}
|
||||
\hline
|
||||
\rowcolor{highlightbg}
|
||||
& Fumeur & Non fumeur & Total\\
|
||||
\hline
|
||||
Au moins un parent fumeur & 300 & 300 & 600\\
|
||||
\hline
|
||||
Aucun parent fumeur & 200 & 700 & 900\\
|
||||
\hline
|
||||
Total &500 & \np{1000} & \np{1500}\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
On choisit au hasard un jeune parmi ceux interrogés.
|
||||
|
||||
Pour chacune des phrases suivantes, justifier si elles sont vraies ou fausses.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item La probabilité qu'il soit fumeur est de plus de 30\%.
|
||||
\item La probabilité qu'il soit fumeur et qu'aucun parent ne soit fumeur est de moins de 10\%.
|
||||
\item La probabilité qu'au moins un de ses parents soit fumeur et qu'il ne le soit pas est de 20\%.
|
||||
\item La probabilité qu'il soit fumeur ou qu'un de ses parents le soit est de plus de 70\%.
|
||||
\item Sachant qu'il est fumeur, la probabilité que ses parents le soit aussi est de $\frac{3}{5}$
|
||||
\item Sachant qu'aucun de ses parents ne soit fumeur, la probabilité qu'il ne soit pas aussi est de plus de 50\%.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\vfill
|
||||
\printexercise{exercise}{1}
|
||||
\vfill
|
||||
\printexercise{exercise}{1}
|
||||
\vfill
|
||||
\end{document}
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||||
Binary file not shown.
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||||
\documentclass[10pt,xcolor=table]{classPres}
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||||
%\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{}
|
||||
\author{}
|
||||
\date{Novembre 2019}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\begin{frame}{Fumeur ou pas}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|>{\columncolor{highlightbg}}p{3cm}|*{2}{p{2cm}|}|p{2cm}|}
|
||||
\hline
|
||||
\rowcolor{highlightbg}
|
||||
& Fumeur & Non fumeur & Total\\
|
||||
\hline
|
||||
Au moins un parent fumeur & 300 & 300 & 600\\
|
||||
\hline
|
||||
Aucun parent fumeur & 200 & 700 & 900\\
|
||||
\hline
|
||||
Total &500 & \np{1000} & \np{1500}\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\pause
|
||||
\vfill
|
||||
Nom des évènements
|
||||
\[
|
||||
F = \left\{\mbox{Le jeune est fumeur}\right\}
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
P = \left\{\mbox{Un de ses parents est fumeur}\right\}
|
||||
\]
|
||||
\vfill
|
||||
\pause
|
||||
Représenter ce tirage sous forme d'un arbre.
|
||||
\vfill
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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||||
Binary file not shown.
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
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||||
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||||
|
||||
\title{Arbre de probabilité - Bilan 2}
|
||||
\date{Novembre 2019}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\section*{Arbre de probabilité (suite)}
|
||||
|
||||
\subsection*{Propriétés}
|
||||
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
||||
Soit $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$ avec $P(A) \neq 0$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1. On a alors
|
||||
\[
|
||||
P(A) + P(\overline{ A }) = 1 \mbox{ ou encore } P_A(B) + P_A(\overline{ B }) = 1
|
||||
\]
|
||||
\item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues. On a alors (chemin rouge)
|
||||
\[
|
||||
P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
|
||||
\]
|
||||
Ou encore la formule de Bayes
|
||||
\[
|
||||
P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
|
||||
\]
|
||||
\item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement. C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
|
||||
\[
|
||||
P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, scale=1.5]
|
||||
\node {.}
|
||||
child [red] {node {$A$}
|
||||
child {node {$B$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$P_A(B)$}
|
||||
}
|
||||
child [black] {node {$\overline{B}$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$P_A(\overline{B})$}
|
||||
}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$P(A)$}
|
||||
}
|
||||
child[missing] {}
|
||||
child { node {$\overline{A}$}
|
||||
child {node {$B$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
|
||||
}
|
||||
child {node {$\overline{B}$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$P_{\overline{A}}(\overline{B})$}
|
||||
}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$P(\overline{A})$}
|
||||
}%
|
||||
;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,116 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt, twocolumn, landscape]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{Probabilité conditionnelle - Arbres}
|
||||
\tribe{Terminale ES}
|
||||
\date{Novembre 2019}
|
||||
|
||||
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\setlength{\columnseprule}{0pt}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Neuf ou occasion}]
|
||||
Un concessionnaire automobile vend chaque année 65\% de véhicules neufs. Une étude montre que parmi les acheteurs de véhicules neufs, 40\% adhèrent à un contrat d'assurance. Par ailleurs, 7\% des acheteurs ont acquis un véhicule d'occasion et adhéré à un contrat de maintenance.
|
||||
|
||||
On choisit un client au hasard parmi les clients de ce concessionnaire et on considère les évènements suivants:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $N = \left\{ \mbox{ Le client achète un véhicule neuf } \right\}$
|
||||
\item $M = \left\{ \mbox{ Le client souscrit à un contrat de maintenance } \right\}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Traduire les données de l'énoncé en terme de probabilité en utilisant les évènements $N$ et $M$.
|
||||
\item À partir des données de l'énoncé, construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
|
||||
\item Traduire en français les probabilités suivantes, les calculer puis les placer sur l'arbre.
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $P(\overline{N})$
|
||||
\item $P_N(\overline{M})$
|
||||
\item $P(M \cap N)$
|
||||
\item $P(M \cap \overline{N})$
|
||||
\item $P_{\overline{N}}(M)$
|
||||
\item $P_{\overline{N}}(\overline{M})$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\vfill
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Technique}]
|
||||
On considère 2 évènements $A$ et $B$.
|
||||
|
||||
On donne les probabilités suivantes
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $P(A) = 0.4$
|
||||
\item $P(\overline{B}) = 0.5$
|
||||
\item $P_A(B) = 0.2$
|
||||
\item $P_B(A) = 0.16$
|
||||
\item $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0.3$
|
||||
\item $P_{\overline{B}}(A) = 0.64$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Construire et compléter les deux arbres de probabilité possibles.
|
||||
\item Calculer de deux façons différentes $P(A\cap B)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Lecture sur arbre}]
|
||||
\begin{minipage}{0.2\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||
\node {.}
|
||||
child {node {$F$}
|
||||
child {node {$E$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {0.8}
|
||||
}
|
||||
child {node {$\overline{E}$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {0.3}
|
||||
}
|
||||
child[missing] {}
|
||||
child { node {$\overline{F}$}
|
||||
child {node {$E$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
}
|
||||
child {node {$\overline{E}$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {0.1}
|
||||
}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
} ;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{0.25\textwidth}
|
||||
On considère 2 évènements $F$ et $E$. Lire ou calculer les probabilités suivantes
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $P(\overline{F})$
|
||||
\item $P_F(\overline{E})$
|
||||
\item $P_{\overline{F}}(E)$
|
||||
\item $P_{\overline{F}}(\overline{E})$
|
||||
\item $P(E \cap F)$
|
||||
\item $P(E \cap \overline{F})$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\pagebreak
|
||||
|
||||
\printexercise{exercise}{1}
|
||||
\vfill
|
||||
\printexercise{exercise}{2}
|
||||
\vfill
|
||||
\printexercise{exercise}{3}
|
||||
\vfill
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,149 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{Probabilité conditionnelle - Annales}
|
||||
\tribe{Terminale ES}
|
||||
\date{Novembre 2019}
|
||||
|
||||
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\setlength{\columnseprule}{0pt}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Aéroport}]
|
||||
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
|
||||
|
||||
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $S$ l'événement \og le voyageur fait sonner le portique \fg{};
|
||||
\item $M$ l'événement \og le voyageur porte un objet métallique \fg{}.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique. Et on note que
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
|
||||
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.
|
||||
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre illustrant cette situation.
|
||||
\item Montrer que: $P(S)=\np{0,02192}$.
|
||||
\item En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$.)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||
\node {.}
|
||||
child {node {$M$}
|
||||
child {node {$S$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
}
|
||||
child {node {$\overline{S}$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
}
|
||||
child[missing] {}
|
||||
child { node {$\overline{M}$}
|
||||
child {node {$S$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
}
|
||||
child {node {$\overline{S}$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
} ;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Sponsort}]
|
||||
Un navigateur s'entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de
|
||||
traversée de l'Atlantique à la voile.
|
||||
|
||||
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}
|
||||
|
||||
Une entreprise nommée \og Régate \fg, s'intéresse aux résultats de ce navigateur.
|
||||
|
||||
La probabilité qu'il réalise la traversée en moins de 6 jours est de 0,16.
|
||||
|
||||
Si le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,95.
|
||||
|
||||
Sinon, l'entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de 0,50.
|
||||
|
||||
On note $M$ l'évènement \og la traversée est réalisée par le navigateur en moins de 6 jours \fg et $F$ l'évènement \og l'entreprise sponsorise le navigateur \fg.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
|
||||
\item Montrer que la probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la
|
||||
prochaine course est $0,428$.
|
||||
\item L'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.
|
||||
|
||||
Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins
|
||||
de $6$ jours.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Paiements}]
|
||||
Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent
|
||||
régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de
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la transaction est inférieur ou égal à 30~\euro) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant
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de la transaction).
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Il remarque que 80\,\% de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30~\euro. Parmi eux :
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\begin{itemize}
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\item 40\,\% paient en espèces;
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\item 40\,\% paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
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\item les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
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\end{itemize}
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Et que 20\,\% de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30~\euro. Parmi eux :
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\begin{itemize}
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\item 70\,\% paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
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\item les autres paient en espèces.
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\end{itemize}
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On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
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On considère les évènements suivants :
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$V$ : \og le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30~\euro \fg ;
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$E$ : \og le client a réglé en espèces\fg ;
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$C$ : \og le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret\fg ;
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$S$ : \og le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact \fg.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Donner la probabilité de l'évènement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant
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$V$ notée $P_V(S)$.
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\item Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à $30$~\euro{} et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
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\item Montrer que la probabilité de l'évènement: \og pour son achat, le client a réglé avec sa carte
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bancaire en utilisant l'un des deux modes\fg{} est égale à $0,62$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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@@ -0,0 +1,47 @@
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Probabilités conditionnelles pour l'année 2019-2020 en terminale ES
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:date: 2019-11-23
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:modified: 2019-11-23
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:authors: Bertrand Benjamin
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:category: TESL
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:tags: Probabilité, Variable aléatoire, Conditionnement
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:summary: Construction d'arbre, formule de Bayes et probabilité totale pour l'année 2019-2020 en terminale ESL
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Étape 1: Arbre de probabilité
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.. image:: 1E_tableau_croisee.pdf
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:height: 200px
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:alt: Tableau croisée et vrai/faux
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.. image:: 1P_tableau_fumeurs.pdf
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:height: 200px
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:alt: Version projetable
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On propose d'étudier un tableau croisé. Pour cela, on propose des phrases et les élèves doivent dire si elles sont vraies ou fausse. On cherchera petit à petit à traduire les phrases en notation ensembliste et probabiliste.
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.. image:: 1B_arbre.pdf
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:height: 200px
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:alt: Bilan de la première activité
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Étape 2: Formule de Bayes
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.. image:: 2E_arbres.pdf
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:height: 200px
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:alt: Exercices de contruction et lecture d'arbres
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Retrouver la formule de Bayes à l'aide d'un arbre de probabilité. On peut ajouter une question bonus au dernier exercice pour demander de calculer P(E) et ainsi découvrir la formule de probabilité totale.
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.. image:: 2B_bayes_intersection.pdf
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:height: 200px
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:alt: Bilan sur les calculs de probabilités sur les arbres
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Étape 3: Annales de BAC
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.. image:: 3E_annales.pdf
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:height: 200px
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:alt: Annales 2018 Liban - Asie - Pondichery
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Reference in New Issue
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