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@@ -0,0 +1,103 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{booktabs}
\title{Algorithme et suites - Bilan}
\date{Novembre 2019}
\begin{document}
\section{Algorithmes}
D'après Wikipédia, un algorithme est une suite finie et non ambiguë d’opérations ou d'instructions permettant de résoudre une classe de problèmes.
Dans le cadre de notre cours, les instructions vont nous amener à calculer successivement les termes d'une suite. Les algorithmes seront écrits en pseudo code, c'est-à-dire en français avec des termes précis pour éviter les ambiguïtés.
Le symbole $\leftarrow$ se lira \textbf{prend la valeur}.
\subsection*{Algorithme pour calculer une valeur}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\textbf{Algorithme}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\Entree{n}
\Deb{
$u \leftarrow 3$ \;
\Pour{$i$ de 1 à 3}{
$u \leftarrow 3*u+2$ \;
}
}
\Sortie{u}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Valeur de $u$ & Valeur de $i$ \\
\hline
& \\
\hline
& \\
\hline
& \\
\hline
& \\
\hline
& \\
\hline
& \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\afaire{Exécuter l'algorithme et compléter le tableau}
\subsection*{Algorithme pour trouver une valeur seuil}
Ce type d'algorithme sert à déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ dépasse une certaine valeur (dans l'exemple ci-dessous, 10).
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\textbf{Algorithme}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\Entree{n}
\Deb{
$u \leftarrow 3$ \;
$n \leftarrow 0$ \;
\Tq{$u < 10$}{
$u \leftarrow u+2$ \;
$n \leftarrow n+1$ \;
}
}
\Sortie{n}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Valeur de $u$ & Valeur de $n$ & Vérité de $u<10$\\
\hline
& & \\
\hline
& & \\
\hline
& & \\
\hline
& & \\
\hline
& & \\
\hline
& & \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\afaire{Exécuter l'algorithme et compléter le tableau}
\end{document}

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TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/1E_algo.pdf Normal file
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135
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/1E_algo.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,135 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage[linesnumbered, boxed, french]{algorithm2e}
\pagestyle{empty}
\title{Algorithme et suite}
\date{Novembre 2019}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Algorithme pour générer des nombres}]
Ci-dessous 2 algorithmes et les nombres générés en fonction du nombre $n$ entré.
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\textbf{Algorithme 1 .}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\Entree{n}
\Deb{
$u \leftarrow 4$ \;
\Pour{$i$ de 1 à n}{
$u \leftarrow u\times 1.5$ \;
}
}
\Sortie{u}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\textbf{Algorithme 2 .}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\Entree{n}
\Deb{
$u \leftarrow 10$ \;
\Pour{$i$ de 1 à n}{
$u \leftarrow 0.9*u + 11$ \;
}
}
\Sortie{u}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{enumerate}
\item Exécuter les algorithmes pour n=2, n=3... jusqu'à n=6.
\item Modéliser avec une suite les valeurs renvoyées par les algorithmes.
\item Tracer l'allure de la représentation graphique des valeurs retournées par les algorithmes.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[ subtitle={ Comportement à long terme } ]
Dans cet exercice, on souhaite déterminer l'effet à long terme d'une baisse ou d'une hausse à taux constant à partir de la valeur initial 1 (on peut imaginer 1hectare, 1 milliard de personnes...).
\begin{enumerate}
\item La quantité considérée baisse à intervalles réguliers de 40\% de sa valeur.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la quantité après un intervalle de temps. Après deux intervalles.
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\item À long terme, comment décrire cette quantité?
\item Modéliser l'évolution de cette quantité à l'aire d'une suite.
\item On considère l'algorithme ci-contre.
L'exécuter et noter la valeur de $N$ finale pour:
\begin{itemize}
\item $S = 0.1$
\item $S = 0.05$
\item $S = 0.01$
\item $S = 0.001$
\end{itemize}
\item Ces résultats confirment-ils la réponse à la questions 1.b?
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\Entree{S}
\Deb{
$N \leftarrow 0$ \;
$U \leftarrow 1$ \;
\Tq{$U > S$}{
$U \leftarrow 0.6*U$ \;
$N \leftarrow N+1$ \;
}
}
\Sortie{u}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\item On considère maintenant une quantité qui augmente de 30\% par intervalle.
\begin{enumerate}
\item Quel semble être le comportement à long terme de cette quantité?
\item Adapter l'algorithme précédent pour confirmer votre réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation d'une monnaie}]
Le 28 juin 1919, a été signé dans la galerie des glaces du château de Versailles, le traité de pais imposant à l'Allemagne de rembourser les dégâts causés par la Première Guerre Mondiale. Ne pouvant pas rembourser cette dette, l'Allemagne a connu une forte dépréciation du mark (DM) en 1923 suite à l'occupation de la Ruhr par l'Armée française.
En janvier 2923, 1 dollars US (\$) valait \np{17972}DM. En juillet 2923, 1\$ valait \np{354412}DM.
\begin{enumerate}
\item Quel a été le taux d'évolution de la valeur en DM de 1\$ sur cette période?
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\item Montrer que la hausse mensuelle a été d'environ 64,5\%.
\item Proposer une modélisation à l'aide d'une suite de la valeur en DM de 1\$.
\item Compléter l'algorithme pour qu'il affiche le nombre de mois qu'il aurait fallu attendre à partir de juillet 1923 pour que 1\$ dépasse 10 millions de marks.
\item Exécuter l'algorithme.
\item En août 1923, 1\$ valait \np{4620455}DM. Que peut-on dire du modèle étudier.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\Deb{
$N \leftarrow 0$ \;
$U \leftarrow \np{354412}$ \;
\Tq{\ldots}{
$N \leftarrow \ldots$ \;
$U \leftarrow \ldots$ \;
}
}
\Sortie{\ldots}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}

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TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/2P_fuite_medecins.pdf Normal file
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26
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/2P_fuite_medecins.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,26 @@
\documentclass[10pt,xcolor=table]{classPres}
%\usepackage{myXsim}
\title{}
\author{}
\date{Novembre 2019}
\begin{document}
\begin{frame}{Compenser les départs à la retraite}
L'institut statistique d'un pays estime que 7\% des médecins partent en retraite chaque année. Au 1er janvier 2015, on comptait \np{29000} médecins en activité.
\bigskip
Le gouvernement souhaiterai compenser les départs à la retraite pour que le nombre de médecins se stabilise autour de \np{25000}.
\bigskip
Combien de nouveau médecin faudrait-il alors former chaque année (cette quantité devra être constante)?
\end{frame}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
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TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/3B_limites.pdf Normal file
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124
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/3B_limites.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,124 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{booktabs}
\title{Limite de suite géométriques- Bilan}
\date{Décembre 2019}
\begin{document}
\section*{Limite de suites géométriques}
\subsection*{Propriété}
Soit $q$ un réel strictement positif Alors
\begin{itemize}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\item Si $0 < q < 1$, quelque soit le nombre $m$ que l'on se donne, on peut toujours trouver un rang $n_0$ à partir duquel les termes $q^n$ sont tous inférieurs à $m$.
On dit alors que la limite de $q^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est 0. Ce qui se note:
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = 0
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.4, yscale=3]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=0,ymax=1,ystep=1]
\tkzGrid[sub,subystep=0.1,subxstep=1]
\tkzAxeXY[up space=0.1,right space=.5]
\global\edef\tkzFctLast{0.7^x}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\tkzFct[color=red,domain=0:9,samples=2]{0.24}
\draw (0,0.24) node [left] {$m$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\item Si $ 1< q $, quelque soit le nombre $M$ que l'on se donne, on peut toujours trouver un rang $n_0$ à partir duquel les termes $q^n$ sont tous supérieur à $M$.
On dit alors que la limite de $q^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $+\infty$. Ce qui se note:
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = +\infty
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.4, yscale=0.4]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=0,ymax=8,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{1.3^x}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\tkzFct[color=red,domain=0:9,samples=2]{6.5}
\draw (0,6.5) node [left] {$M$};
\end{tikzpicture}
\hfill
\end{minipage}
\end{itemize}
\subsection*{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ alors les limites possibles sont résumées dans le tableau suivant.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& $q \in \intOO{0}{1}$ & $q > 1$ \\
\hline
$u_0 > 0 $ &
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.4]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=0,ymax=4,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{3*0.8^x}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.2]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=0,ymax=8,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{1.3^x}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\end{tikzpicture}
\\
\hline
$u_0 < 0 $ &
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.4]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=-4,ymax=1,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{0.7^x*(-3)}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.2, yscale=0.2]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=-8,ymax=1,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{-1*(1.3)^x}
\foreach \va in {0,1,...,9}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\end{tikzpicture}
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\afaire{Compléter le tableau avec les limites vues en classe}
\end{document}

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TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/3E_demo.pdf Normal file
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53
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/3E_demo.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,53 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage[linesnumbered, boxed, french]{algorithm2e}
\pagestyle{empty}
\title{Algorithme et suite}
\date{Décembre 2019}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Démonstration de la limite de $q^n$}]
Dans cet exercice, on souhaite démontrer que
\[
\mbox{Si } q>1 \mbox{ alors } \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = +\infty
\]
Soit $q > 1$ donc il existe $a > 0$ tel que $q = 1 + a$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $q^2 > 1 + 2a$
\item En déduire que $q^3 > 1 + 3a$
\item En déduire que $q^4 > 1 + 4a$
\item On a vu que pour démontrer les inégalités, on utilisait l'égalité précédente. On va vouloir généraliser cette façon pour toutes les inégalités. Autrement dit, on va supposer que
\[
q^n > 1 + n\times q \qquad \mbox{ est vraie.}
\]
Et vous devez démontrer que
\[
q^{n+1} > 1 + (n+1) q \qquad \mbox{ est vraie.}
\]
Ainsi, l'égalité est vraie quand $n=2$ et on sait que \textbf{si} elle est vraie pour $n$ \textbf{alors} elle est vraie pour $n+1$, on peut donc en déduire qu'elle est vraie pour tout $n$. C'est ce que l'on appelle un raisonnement par récurrence.
\item Déterminer
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty} 1 + n\times q
\]
\item En déduire
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty} q^n
\]
\end{enumerate}
Un raisonnement similaire peut être réalisé pour démontrer
\[
\mbox{Si } q\in \intOO{0}{1} \mbox{ alors } \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = 0
\]
\end{exercise}
\vfill
\printexercise{exercise}{1}
\vfill
\end{document}

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TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/3E_limite_suite.pdf Normal file
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66
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/3E_limite_suite.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,66 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Recherche de limite de suite - Limites}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{Décembre 2019}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm, bottom=10mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Avec la calculatrice}]
Déterminer grâce à la calculatrice la limite de chacune des suites géométriques suivantes.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $u_0 = -2$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
\item $v_0 = 2$ et $w_{n+1} = 1.1w_n+1$
\item $w_n = 3n^3 - 10n^2 + 1$
\item $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
\item $v_0 = -4$ et $v_{n+1} = 0.9v_n + 1$
\item $w_n = -2n^3 + 100n^2$
\item $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
\item $v_0 = -4$ et $v_{n+1} = 0.9v_n + 1$
\item $w_n = -2n^3 + 100n^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
Classer les suites précédentes en fonction de leurs limites et établir les règles pour connaître la limite des suites géométriques.
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Limite d'une suite}]
Retrouver les limites des suites suivantes sans utiliser la calculatrice.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_0 = 6$ et $u_{n+1} = 2u_n$
\item $(u_n)$ géométrique telle que $u_0=10$ et $q=0.5$
\item $u_{n} = 1 + 0.5^n$
\item $u_{n} = 4 + 1.5^n$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Utilisateurs d'une machine à café}]
Au premier janvier, on comptait \np{60000} utilisateurs d'une machine à café. On estime que chaque mois, 10\% des propriétaires cessent de l'utiliser mais on compte \np{24000} nouveaux utilisateurs.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi le nombre d'utilisateur de cette machine à café $n$ mois après le premier janvier 2017 peut être modélisé par la suite $(u_n)$ définie par
\[
u_0 = \np{60000} \quad \mbox{ et } u_{n+1} = 0.9u_n + \np{24000}
\]
\item Pourquoi la suite $(u_n)$ n'est elle pas géométrique?
\item Conjecturer la limite de cette suite $(u_n)$.
\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entiers naturel $n$ par $v_n = u_n -\np{240000}$. On admet que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0.9 et de premier terme -\np{180000}. Démontrer que pour tout $n$ on a $v_n = -\np{180000}\times 0.9^n$.
\item Quelle est la limite de la suite $(v_n)$?
\item Démontrer que pour tout entier $n$, $u_n = \np{240000} - \np{180000}\times0.9^n$
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\printexercise{exercise}{1}
\printexercise{exercise}{2}
\printexercise{exercise}{3}
\end{document}

BIN
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/3P_limites.pdf Normal file
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76
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/3P_limites.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,76 @@
\documentclass[10pt,xcolor=table]{classPres}
%\usepackage{myXsim}
\title{}
\author{}
\date{Décembre 2019}
\begin{document}
\begin{frame}{Limite des suites $q^n$}
Répondre aux questions pour les 2 cas suivants
\begin{center}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
$q \in \intOO{0}{1}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
$q > 1$
\end{minipage}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Tracer l'allure de la représentation graphique de la suite $u_n=q^n$
\item Conjecturer sur la valeur de \[\lim_{n\rightarrow +\infty} u_n\]
\end{enumerate}
\pause
\hfill
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.4, yscale=3]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=0,ymax=1,ystep=1]
\tkzGrid[sub]
\tkzGrid[sub,subystep=0.1,subxstep=1]
\tkzAxeXY[up space=0.1,right space=.5]
\global\edef\tkzFctLast{0.7^x}
\foreach \va in {0,1,...,8}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\end{tikzpicture}
\hfill
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.4, yscale=0.4]
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
ymin=0,ymax=8,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\global\edef\tkzFctLast{1.3^x}
\foreach \va in {0,1,...,8}{%
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
\end{tikzpicture}
\hfill
\end{frame}
\begin{frame}{Limite des suites géométriques}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$.
Conjecturer la limite de $(u_n)$ dans les cas suivants
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& $q \in \intOO{0}{1}$ & $q > 1$ \\
\hline
$u_0 > 0 $ & & \\
\hline
$u_0 < 0 $ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
En vous basant sur les résultats vues précédemment, démontrer vos conjectures.
\end{frame}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

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TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/4B_suites_AR.pdf Normal file
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74
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/4B_suites_AR.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,74 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{booktabs}
\title{Limite de suite géométriques- Bilan}
\date{Décembre 2019}
\begin{document}
\section*{Suites arithméticogéométriques}
\subsection{Définition}
Une suite arithméticogéométrique est une suite qui mélange les caractéristiques d'une suite arithmétique (l'addition) et d'une géométrique (la multiplication). Elle est de la forme
\[
u_{n+1} = a\times u_n + b \mbox{ avec } a \mbox{ et } b \mbox{ deux réels}
\]
\subsection{Remarques}
\begin{itemize}
\item Vous avez construit des suites de ce type dans l'exercice sur le renouvellement des médecins.
\item Aucune connaissance théorique sur les suites arithméticogéométriques n'est exigible en terminal ES-L. Par contre, on les retrouve presque toujours en les exercices du bac. Il a quelques manipulations à connaître.
\end{itemize}
\subsection{Manipulations à connaître}
Soit $(u_n)$ une suite définie par
\[
\left\{
\begin{array}{l}
u_{n+1} = 0.9 u_n + 24 \\
u_0 = \np{60}
\end{array}
\right.
\]
On reconnaît une suite arithméticogéométrique.
Pour l'étude de cette suite, on passera par une suite annexe (qui sera toujours donnée).
\[
v_n = u_n - 240
\]
On va alors chercher à démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique
\begin{eqnarray*}
\frac{v_{n+1}}{v_n} &=& \frac{u_{n+1} - 240}{u_n-240} \\
&=& \frac{0.9u_n + 24 - 240}{u_n-240}\\
&=& \frac{0.9u_n - 216}{u_n-240}\\
&=& \frac{0.9\left( u_n - 240\right)}{u_n - 240} \\
&=& 0.9
\end{eqnarray*}
Donc
\[
v_{n+1} = 0.9v_n
\]
Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison q=0.9. Il reste donc à connaître le premier terme $v_0$
\[
v_0 = u_0 -240 = 60 - 240 = -180
\]
On peut en déduit $v_n$ en fonction de $n$
\[
v_n = v_0\times q^n = -180\times0.9^n
\]
On en déduit donc $u_n$ (ici je l'explique d'une autre façon que Aurélie mais les deux méthodes sont correctes).
\[
v_n = u_n - 240
\]
Donc
\[
u_n = v_n + 240 = -180\times0.9^n + 240
\]
\end{document}

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TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/4E_suites_AR.pdf Normal file
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TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/4E_suites_AR.tex Normal file
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Suites Arithméticogéométriques- Limites}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{Décembre 2019}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm, bottom=10mm}
\pagestyle{empty}
\xsimsetup{
solution/print = true
}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Suite arithméticogéométrique}]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier positif $n$, $u_{n+1} = 0.2u_n + 8$. On pose $v_n = u_n-10$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0.2$.
\item Calculer $v_0$ puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire, $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Gaz à effet de serre - Liban 2017}]
Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2\,\% d'une année sur l'autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO$_2$.
En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO$_2$ au total.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de milliers de tonnes de CO$_2$ émis dans cette zone industrielle au cours de l'année $2005 + n$.\index{suite}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_0$ et $u_1$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98 \times u_n + 0,2$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 10$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Préciser son premier terme.\index{suite géométrique}
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 31 \times (0,98)^n + 10$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l'année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$, par rapport à l'année 2005.\index{algorithme}
\begin{minipage}[t]{0.55\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les lignes 3 et 4 de l'algorithme
\item L'algorithme affiche 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}%
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\begin{minipage}[b]{0.8\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
$u \leftarrow 41$ \;
$n \leftarrow 0$ \;
\Tq{$n \cdots$}{
$u \leftarrow \cdots$ \;
$n \leftarrow n+1$ \;
}
\Sortie{n}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item $u_0 = 41$. Puis on enlève 2\,\% à $u_0$ et on ajoute 200 tonnes soit 0,2 milliers de tonnes,
soit $u_1 = 41 - 41\times \dfrac{2}{100}+0,2 = 0,98\times 41+0,2=40,38$.
\item Pour calculer la quantité émise l'année $n+1$, on enlève 2\,\% (il restera donc 98\,\%) à la quantité émise lors de l'année $n$ puis on ajoute 0,2 (200 tonnes en milliers de tonnes).
Donc pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98 \times u_n + 0,2$.
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 10$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ :
\begin{eqnarray*}
\frac{v_{n+1}}{v_n} &=& \frac{u_{n+1} - 10}{u_n-10} \\
&=& \frac{0,98 \times u_n + 0,2- 10 }{u_n-10} \\
&=& \frac{0,98\times u_n -9,8}{u_n-10} \\
&=& \frac{0,98(u_n - 10)}{u_n-10} \\
&=&0,98
\end{eqnarray*}
Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Son premier terme est $v_0 = u_0 - 10 = 31$.
\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n = v_0\times q^n = 31\times 0,98^n$.
\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 10$ donc $u_n = v_n + 10 = 31 \times (0,98)^n + 10$.
\[u_n = 31 \times (0,98)^n + 10, \: n \in \N.\]
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Nous savons que $q\in ]-1~;~1[$ donc la suite géométrique de raison $q$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini. Donc la suite $\left(v_n\right)$ a pour limite 0 en l'infini. La limite de la suite $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini est donc égale à 10.
\item Cela veut donc dire qu'au bout d'un très grand nombre d'année, les émissions de cette zone industrielle tendrons vers 10 milliers de tonnes, sans pouvoir descendre encore en dessous de cette limite.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item ~
\parbox{0.45\linewidth}{Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de
l'algorithme} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
1& Variables\\
2&\quad $U$ est du type nombre\\
3&\quad $n$ est du type nombre entier\\
4& Début Algorithme\\
5&\quad $U$ prend la valeur $41$\\
6&\quad $n$ prend la valeur $0$\\
7&\quad Tant que {\color{red}{$U\geqslant 20,5$}} faire\\
8&\quad \quad Début Tant que\\
9&\quad \quad $U$ prend la valeur {\color{red}{$0,98\times U+0,2$}}\\
10&\quad \quad $n$ prend la valeur $n + 1$\\
11&\quad \quad Fin Tant que\\
12&\quad Afficher $n$\\
13& Fin Algorithme\\ \hline
\end{tabularx}}
\item L'algorithme affiche 54. Donc au bout de 54 années après 2005, et donc en 2059, les émissions de la zone industrielle auro
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Tirage d'un journal - Metropole 2017}]
Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d'information générale et politique, c'est-à-dire le nombre moyen d'exemplaires imprimés par jour.
Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
Année & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014\\
\hline
\small Tirage moyen journalier en milliers d'exemplaires &\np{10982} &\np{10596} &\np{10274} &\np{10197} &\np{10182} &\np{9793} &\np{9321} &\np{8854} \\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source: D.G.M.I.C (Direction générale des médias et des industries culturelles)}}
\end{tabularx}
\end{center}
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008.\index{taux d'évolution}
Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année $(2007+n)$.
On modélise la situation en posant: $V_0 = \np{10982}$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[V_{n+1} = 0,96 V_n +100.\]\index{suite}
\item Calculer $V_1$ puis $V_2$.
\item Soit $(W_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $W_n = V_n-\np{2500}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(W_n)$ est une suite géométrique de raison $0,96$ puis déterminer son premier terme.\index{suite géométrique}
\item Déterminer l'expression de $W_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $V_n= \np{8482}\times 0,96^n + \np{2500}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017.
\item Déterminer la limite de la suite $(W_n)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu'à l'année $(2007+n)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur.\index{algorithme}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008 est
$\dfrac{\np{10596}-\np{10982}}{\np{10982}}\times 100 \approx -3,51\,\%$.
\medskip
Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année $(2007+n)$.
Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_0=\np{10982}$ et, pour tout entier naturel $n$,
$V_{n+1} = 0,96 V_n +100$.
\item $V_1= 0,96 V_0 + 100 = 0,96\times \np{10982}+100 = \np{10642,72}$ et \\
$V_2 = 0,96 V_1 + 100 = 0,96\times \np{10642,72}+100 \approx \np{10317,01}$
\item Soit $(W_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $W_n = V_n-\np{2500}$ donc
$V_n=W_n+\np{2500}$.
\begin{enumerate}
\item% Montrer que $(W_n)$ est une suite géométrique de raison $0,96$ puis déterminer son premier terme.
\begin{eqnarray*}
\frac{W_{n+1}}{W_n} &=& \frac{V_{N+1} - 2500}{V_N-2500} \\
&=& \frac{0,96 V_n + 100 - 2500}{V_n-2500} \\
&=& \frac{0,96 V_n - 2400}{V_n - 2500} \\
&=& \frac{0,96(V_-2500)}{V_n-2500} \\
&=& 0,96
\end{eqnarray*}
$W_0 = V_0-\np{2500} = \np{10982} - \np{2500} = \np{8482}$
Donc la suite $(W_n)$ est géométrique de raison $q=0,96$ et de premier terme $W_0=\np{8482}$.
\item% Déterminer l'expression de $W_n$ en fonction de $n$.
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $W_n=W_0\times q^n = \np{8482} \times 0,96^n$.
\item% En déduire que pour tout entier naturel $n$, $V_n= \np{8482}\times 0,96^n + \np{2500}$.
Pour tout $n$, $V_n=W_n+\np{2500}$ donc $V_n=\np{8482}\times 0,96^n + \np{2500}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'année 2007 correspond à $n=0$ donc l'année 2017 correspond à $n=10$.
Le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017 est\\
$V_{10}= \np{8482}\times 0,96^{10} + \np{2500} \approx \np{8139,11}$ milliers d'exemplaires.
\item %Déterminer la limite de la suite $(W_n)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
La suite $(W_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,96$; or $-1<q<1$ donc la suite $(W_n)$ admet le nombre 0 pour limite.
On en déduit que la suite $(V_n)$ a pour limite $\np{2500}$ ce qui veut dire que le nombre d'exemplaires vendus va tendre vers $\np{2500}$ milliers.
\item L'algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu'à l'année $(2007+n)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur:
\begin{center}
\begin{tabular}{|@{\hspace*{0.7cm}} l @{\hspace*{0.7cm}} |}
\hline
\\
\textbf{Variables}\\
\hspace*{1cm} $V$ est un réel\\
\hspace*{1cm} $n$ et $k$ sont des entiers\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{1cm} Saisir la valeur de $n$\\
\hspace*{1cm} $V$ prend la valeur $\np{10982}$\\
\textbf{Traitement et affichage}\\
\hspace*{1cm} Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
\hspace*{2cm} $V$ prend la valeur $0,96 \times V + 100$\\
\hspace*{2cm} Afficher $V$\\
\hspace*{1cm} Fin Pour\\
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{document}

BIN
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/5E_somme.pdf Normal file
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99
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/5E_somme.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,99 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Suites géométriques- Somme}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{Décembre 2019}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm, bottom=10mm}
\pagestyle{empty}
\xsimsetup{
solution/print = true
}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Technique}]
Calculer la valeur exacte de chaque somme puis donner une valeur approchée au centième.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $1+4+4^2+4^3+\cdots+4^6$
\item $1+0.1+0.1^2+0.1^3+\cdots+0.1^9$
\item $1+0.2+0.2^2+0.2^3+\cdots+0.2^7$
\item $1+\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^3+\cdots+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{10}$
\item $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots+\dfrac{1}{2^6}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Bilan financier}]
Au premier janvier 2020, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois 8\% des adhérents ne renouvellent pas leur licence.
\begin{enumerate}
\item Modéliser la situation par une suite dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\item Chaque adhérent verse une cotisation de 5\euro par mois. On souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l'année 2020.
\begin{enumerate}
\item Modéliser le calcul du montant total des cotisations avec une somme puis la calculer.
\item Il est possible de faire aussi ce calcul avec l'algorithme ci-contre. Le compléter puis l'exécuter.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{minipage}[b]{0.8\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
$u \leftarrow 900$ \;
$S \leftarrow 0$ \;
\Pour{$n$ allant de $0$ à $\cdots$}{
$u \leftarrow \cdots$ \;
$S \leftarrow \cdots$ \;
}
\Sortie{S}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\printexercise{exercise}{1}
\printexercise{exercise}{2}
\printexercise{exercise}{1}
\printexercise{exercise}{2}
\pagebreak
\begin{exercise}[subtitle={Démonstration}]
Dans cet exercice, on va chercher à démontrer la formule $1 + q + q^2 + \cdots q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour tout $q\in\R+$. Pour cela, on note $S = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $S - qS = 1 - q^{n+1}$.
\item En déduire que $S = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Limite de la somme}]
Dans cet exercice, on va chercher à déterminer la limite de la somme $S_n = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n$.
\begin{enumerate}
\item On suppose que $q\in\intOO{0}{1}$. Démontrer que $\lim_{n\rightarrow+\infty} S_n = \dfrac{1}{1-q}$
\item Une lièvre, lors de la course contre la tortue, avance de la façon suivante. Il fait la moitié de la course en 10minutes, puis la moitié de ce qui lui reste en 10minutes, puis la moitié, etc. Va-t-il réussir à terminer la course?
\item On suppose que $q>1$. Démontrer que $\lim_{n\rightarrow+\infty} S_n = +\infty$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\vfill
\printexercise{exercise}{3}
\printexercise{exercise}{4}
\vfill
\printexercise{exercise}{3}
\printexercise{exercise}{4}
\vfill
\end{document}

50
TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/index.rst Normal file
View File

@@ -0,0 +1,50 @@
Limites et suite arithméticogéométrique pour l'année 2019-2020 en terminale ES
##############################################################################
:date: 2019-12-10
:modified: 2019-12-10
:authors: Bertrand Benjamin
:category: TESL
:tags: Suites, Limites, Algorithme
:summary: Suites arithméticogéométriques, limites et algorithmie pour l'année 2019-2020 en terminale ESL
Étape 1: Limites et algorithmes de seuil
========================================
Approche informelle des limites de suites à travers les algorithmes de seuil.
.. image:: 1E_algo.pdf
:height: 200px
:alt: Exercices de manipulation d'algorithmes
.. image:: 1B_algo.pdf
:height: 200px
:alt: Bilan sur l'utilisation d'algorithmes
Étape 3: Limites de suites géométriques
=======================================
Parcours différentié.
Une partie de la classe, commence par le premier exercice pour conjecturer les différents cas pour déterminer la limite d'une suite géométrique.
.. image:: 3E_limite_suite.pdf
:height: 200px
:alt: Exercice sur les limites de suites
L'autre partie (les plus à l'aise et qui voudraient continuer les maths plus tard) s'attaque à la démonstration de la limite de la fonction puissance.
.. image:: 3E_demo.pdf
:height: 200px
:alt: Démonstration de la limite des fonctions puissances
Une fois que la limite d'une suite géométrique est déterminé, on peut attaquer l'exercice 2 où l'on commencera à rencontrer des suites arithméticogéométriques. Le troisième exercice parle de l'étude d'une suite arithméticogéométriques.
.. image:: 3B_limites.pdf
:height: 200px
:alt: Bilan sur les limites des suites géométriques
Étape 4: Suites arithméticogéométriques
=======================================