lafrite/2019-2020
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Bertrand Benjamin
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@@ -0,0 +1,62 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Équation différentielle}
\tribe{Terminale Sti2d}
\date{Mars 2020}
\begin{document}
\section{Équation différentielle}
\subsection*{Définition}
Une \textbf{équation différentielle} est une relation une variable ($x$, $t$...), une fonction ($f$) et les dérivées de cette fonction ($f'$, $f''$...).
\textbf{Résoudre une équation différentielle} consiste à déterminer toutes les fonctions qui satisfont cette relation.
\subsection*{Exemple}
On souhaite résoudre l'équation différentielle $f'(x) = 3x^2$.
Le cours sur la primitive nous permet résoudre cette équation. Les solutions sont donc
\[
f(x) = x^3 + c^{te}
\]
Avec $c^{te}$ un nombre réel.
On peut vérifier que cette fonction est bien solution de cette équation la dérivant:
\afaire{}
\vfill
On remarque que l'on peut associer des valeurs différentes à $c^{te}$. Cela signifie qu'il y a une infinité de solution à cette équation différentielle. Toutes les fonctions tracées dans le graphiques ci-dessous sont des solutions
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.7, xscale=1.4]
\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3}
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+1}
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+2}
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-1}
\tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-4}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\subsection*{Notation}
Il y a différente façons de noter les dérivées dans les équations différentielles:
\begin{itemize}
\item Classique: $f'(x) = 3x^2$
\item Compacte: $y = 3x^2$
(c'est cette notation qui sera utilisée dans la suite du cours)
\item Physicienne: $\dfrac{df}{dx} = 3x^2$
\end{itemize}
\end{document}

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Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/1E_primitives.pdf Normal file
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Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/1E_primitives.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,62 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Dérivation de l'exponentielle}
\tribe{Terminale Tsti2d}
\date{Mars 2020}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Équation avec des fonctions}]
Dans cet exercice, vous allez devoir retrouver des fonctions sur lesquelles on a mis des conditions sur la dérivée. Les 3 questions pourront se traiter de la même manière mais nous utiliserons des notations différentes.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Notations habituelles pour vous} Pour chaque équation retrouver une fonction $f$ qui convient
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f'(x) = 2x$
\item $f'(x) = 5x + 1$
\item $f'(x) = 2x^2$ et $f(0) = 1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \textbf{Nouvelles notations de math} Pour chaque équation retrouver une fonction $y$ qui convient
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $y'(x) = 3x^2 + 2x -10$
\item $y'(x) = \cos(x)$
\item $y'(x) = \dfrac{1}{x^2}$ et $y(10) = 1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \textbf{Notation physicienne} Pour chaque équation retrouver une fonction $x$ qui convient
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{df}{dt} = 3t + 2$
\item $\dfrac{df}{dt} = \sin(t)$
\item $\dfrac{df}{dt} = e^t$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Accélération constante}]
Dans cet exercice, nous allons étudier une situation physique où un objet est en chute libre (et donc en accélération constante) sans frottements. On notera $x(t)$ la fonction position en fonction du temps (en secondes), $v(t)$ la fonction vitesse et $a(t)$ la fonction accélération.
Par hypothèse sur la situation physique, on a
\[
a(t) = -9.81
\]
On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position et que l'accélération est la dérivée de la vitesse. Cet qui se traduit par les égalités suivantes
\[
x'(t) = v(t) \qquad \qquad v'(t) = a(t)
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la vitesse est donnée par $v(t) = -9.81t + a$ avec $a$ une constante.
\item On a mesuré que la vitesse au bout de 10s est de $2m.s^{-1}$. Déterminer la valeur de $a$.
\item Démontrer que la position est alors donnée par $x(t) = -4,905t^2 + 100,1t + b$ avec $b$ une constante.
\item L'objet est lâché au temps 0s à \np{1000}m d'altitude. Déterminer la valeur de $b$.
\item Déterminer le moment où l'objet touchera le sol c'est à dire atteindre l'altitude 0m.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}

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Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/2B_linaire.pdf Normal file
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Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/2B_linaire.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,33 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Équation différentielle}
\tribe{Terminale Sti2d}
\date{Mars 2020}
\begin{document}
\setcounter{section}{1}
\section{Équation différentielle linéaire d'ordre 1: $y' = ay$}
\subsection*{Propriété}
On considère l'équation différentielle $y' = ay$ où $a$ est une constante réelle et $y$ une fonction dérivable et définie sur $\R$.
$f$ est une solution de $y' = ay$ si et seulement si $f(x) = k e^{ax}$ avec $k\in\R$
\subsubsection*{Exemple}
On veut résoudre $y' = 5y$.
\afaire{Résoudre cette équation avec l'aide de la vidéo}
\subsection*{Propriété (Cauchy-Lipschitz)}
Soient $x_0$, $y_0$ et $a \neq 0$ des nombres réels, l'équation différentielle $y'=ay$ admet une \textbf{unique} solution $f$ vérifiant $f(x_0) = y_0$.
\subsubsection*{Exemple}
On veut résoudre $y' = 5y$ en fixant $f(0) = 10$
\afaire{Résoudre cette équation avec l'aide de la vidéo}
\end{document}

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Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/2E_eqdiff_lineaire.pdf Normal file
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Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/2E_eqdiff_lineaire.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,74 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Équations différentielles linéaire d'ordre 1}
\tribe{Terminale Tsti2d}
\date{Avril 2020}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Technique}]
\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations différentielles suivantes.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $y' = 2y$
\item $y' = -5y$
\item $2y' = y$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Résoudre les équations différentielles et fixer la constante.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $y' = 2y$ et $y(0) = 5$
\item $y' = -0,1y$ et $y(1) = 5$
\item $y'+ 2y = 0$ et $y(0) = -1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Décharge d'un condensateur}]
On connecte en série, un condensateur $C$ chargé à une tension $u_0 = 10V$ à un résistance $R$. On s'intéresse à l'évolution de la tension en fonction du temps aux bornes du condensateur notée $u(t)$.
La modélisation physique mène à l'équation différentielle suivante
\[
RC\times u'(t) = -u(t)
\]
Le condensateur a une capacité de $C = 15\times 10^{-5}$ farads. La résistance a pour valeur $R = 2\times10^{-2}\Omega$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle.
\item Déterminer la solution, $u(t)$, qui vérifie les conditions initiales $u(0) = 10V$.
\end{enumerate}
\item Tracer l'allure de $u(t)$ et conjecturer la limite.
\item Déterminer $t_1$ tel que
\[
u(t) \leq 0.5u(0)
\]
\item Déterminer le temps $t_2$ qu'à mis le condensateur à se décharger à 10\% de la tension initiale.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={ Moisissures }]
Les moisissures ont un mode de reproduction qui fait que l'augmentation de la population est proportionnelle à la population (autrement dit, plus il y a de moisissures plus sa population augmente vite).
On note $P$ la fonction qui modélise la taille de la population (en gramme) et $\dfrac{dP}{dt}$ la vitesse d'augmentation de la population. Ces 2 grandeurs sont promotionnelles, donc il existe $\alpha$ tel que
\[
\frac{dP}{dt} = \alpha P(t)
\]
où $t$ est en heure.
Une étude en laboratoire a débuté avec 2,4g de moisissure et a mesuré au bout de 20h 24g.
\begin{enumerate}
\item Comment se notent ces quantités avec les notations de l'exercice?
\item Résoudre l'équation différentielle.
\item Déterminer $\alpha$ puis la constante de la solution de l'équation à partir des données de l'étude.
\item En combien de temps, la population de moisissure aura dépassé 1kg?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}

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Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/3B_affine.pdf Normal file
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Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/3B_affine.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,33 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Équation différentielle}
\tribe{Terminale Sti2d}
\date{Mars 2020}
\begin{document}
\setcounter{section}{2}
\section{Équation différentielle affine d'ordre 1: $y' = ay + b$}
\subsection*{Propriété}
On considère l'équation différentielle $y' = ay + b$ où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles non nulles et $y$ une fonction dérivable et définie sur $\R$.
$f$ est une solution de $y' = ay + b$ si et seulement si $f(x) = k e^{ax} - \frac{b}{a}$ avec $k\in\R$
\subsubsection*{Exemple}
On veut résoudre $y' = 5y-2$.
\afaire{Résoudre cette équation avec l'aide de la vidéo}
\subsection*{Propriété (Cauchy-Lipschitz)}
Soient $x_0$, $y_0$ et $a \neq 0$ des nombres réels, l'équation différentielle $y'=ay+b$ admet une \textbf{unique} solution $f$ vérifiant $f(x_0) = y_0$.
\subsubsection*{Exemple}
On veut résoudre $y' = 5y-2$ en fixant $f(0) = 10$
\afaire{Résoudre cette équation avec l'aide de la vidéo}
\end{document}

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@@ -0,0 +1,67 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Équations différentielles linéaire d'ordre 1}
\tribe{Terminale Tsti2d}
\date{Avril 2020}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Technique}]
\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations différentielles suivantes.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $y' = 2y + 5$
\item $y' = -5y - 15$
\item $2y' + 1 = y$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Résoudre les équations différentielles et fixer la constante.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $y' = 2y + 5$ et $y(0) = 5$
\item $y' = -0,1y + 2$ et $y(1) = 5$
\item $y'+ 2y = 1$ et $y(0) = -1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Mélange d'eau douce et d'eau de mer}]
Un réservoir contient \np{1000} litres d'eau douce dont la salinité est de $0.12g.L^{-1}$.
Un soucis technique fait rentré de l'eau salée dans ce réservoir à un débit de $10L$ par minutes.
On note $s(t)$ la salinité de l'eau (en $g.L^{-1}$) au temps $t$ (en minute).
La modélisation physique du phénomène a établi que $s(t)$ devait être solution de l'équation différentielle suivante
\[
s'(t) = -0,01s(t) + 0.39
\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle.
\item On rappelle que à $t=0$, la salinité est de $0.12g.L^{-1}$ soit $s(0) = 0.12$. Démontrer que $s(t) = 39 - 38,88e^{-0,01t}$
\item Quel sera alors la salinité au bout de 60minutes?
\item Combien de temps faudra-t-il attendre avant que la salinité ne dépasse $3,9g.L^{-1}$?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Vitesse d'une bille}]
On lâche une bille sans vitesse dans une colonne de liquide. On note $v(t)$ la vitesse instantanée (en $m.s^{-1}$) de la bille en fonction du temps (en $s$).
La bille n'est soumis qu'à l'attraction terrestre et aux frottements du liquide qui freine la bille de façon proportionnelle à la vitesse. On en déduit l'équation différentielle qui contraint $s(t)$
\[
y' = -140y + 5,88
\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle.
\item Démontrer que la solution qui s'annule à $t=0$ est $s(t) = 0,042(1 - e^{-140t})$
\item Tracer l'allure de la courbe et en déduire la limite de la vitesse de la bille.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}

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Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/4E_annales.pdf Normal file
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80
Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/4E_annales.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,80 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Équations différentielles d'ordre 1: Annales}
\tribe{Terminale Tsti2d}
\date{Avril 2020}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Clinker}]
Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$).
Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{900000}~dm$^3$.
À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de 0,6\,\%.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{5400}~dm$^3$ .
\item Pour diminuer ce taux de CO$_2$ durant la nuit, l'entreprise a installé dans la pièce une colonne de ventilation. Le volume de CO$_2$, exprimé en dm$^3$, est alors modélisé par une fonction du temps $t$ écoulé après $20$~h, exprimé en minutes. $t$ varie ainsi dans l'intervalle [0~;~690] puisqu'il y a $690$ minutes entre 20 h et 7 h 30.
On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~690] est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle
\[ \quad (E) : y' + 0, 01y = 4,5.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
\item Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~690], $V(t) = \np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450$.
\end{enumerate}
\item Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à 21 h ?
\item Les responsables de la cimenterie affirment que chaque matin à 7 h 30 le taux de CO$_2$ dans cette pièce est inférieur à 0,06\,\%.
Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
\item Déterminer l'heure à partir de laquelle le volume de CO$_2$ dans la pièce deviendra inférieur à 900 dm$^3$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Essence}]
L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane.
La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
\[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
\item Donner $f(0)$.
\item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
\item
\begin{enumerate}
\item Par une lecture graphique, déterminer $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
Interpréter le résultat dans le contexte.
\item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}

69
Tsti2d/Analyse/EquaDiff/Ordre1/index.rst Normal file
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@@ -0,0 +1,69 @@
Équations différentielles d'ordre 1 pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
#############################################################################
:date: 2020-04-12
:modified: 2020-04-12
:authors: Bertrand Benjamin
:category: Tsti2d
:tags: Analyse, Équation différentielle
:summary: Introduction aux équations différentielles pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
Étape 1: Équation différentielle et primitives
==============================================
Introduction aux équations différentielles et calculs de primitives.
`Vidéo: Premières équations, primitives et notations <https://video.opytex.org/videos/watch/3b5568bb-a537-4476-a68a-69599db69700>`_
.. image:: 1E_primitives.pdf
:height: 200px
:alt: Calculer des équations différentielles pour résoudre des premières équations différentielles.
.. image:: 1B_eqdiff.pdf
:height: 200px
:alt: Cours d'intro sur les équations différentielles
Étape 2: Équation différentielle y'=ay
======================================
`Vidéo: Résolution d'équations d'ordre 1 <https://video.opytex.org/videos/watch/df33c9c5-9009-44d1-adea-21db305442d1>`_
Exercices techniques pour résoudre des équations différentielles du premier ordre linéaires
.. image:: 2E_eqdiff_lineaire.pdf
:height: 200px
:alt: Exercices technique de résolution d'eq diff linéaire d'ordre 1
.. image:: 2B_linaire.pdf
:height: 200px
:alt: Cours sur la résolution d'équation différentielle linéaire d'ordre 1
Étape 3: Équation différentielle y'=ay+b
========================================
`Vidéo: Résolution d'équations affine d'ordre 1 <https://video.opytex.org/videos/watch/b6247c66-e834-46f9-adfa-af30cca47210>`_
Exercices techniques pour résoudre des équations différentielles du premier ordre affines.
.. image:: 3E_eqdiff_affine.pdf
:height: 200px
:alt: Exercices technique de résolution d'eq diff affine d'ordre 1
.. image:: 3B_affine.pdf
:height: 200px
:alt: Cours sur la résolution d'équation différentielle affine d'ordre 1
Étape 4: Exercices d'annales
============================
Exercices d'annales sur les équations différentielles
.. image:: 4E_annales.pdf
:height: 200px
:alt: Ex3 Métropole sept 2019 et Ex3 Métropole sept 2019