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Tsti2d/Analyse/Exponentielle/Etude_fonction/1B_derive_exp.tex

@@ -0,0 +1,60 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivée de l'exponentielle}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Février 2020}
+
+\begin{document}
+
+\section{Dérivée de la fonction exponentielle}
+
+\subsection*{Rappels}
+
+La \textbf{fonction exponentielle} notée $\exp$ est définie sur $\R$ par $\exp :x \mapsto e^x$.
+
+        \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+            \begin{itemize}
+                \item Elle est continue et dérivable sur $\R$
+                \item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
+                \item $e^0 = 1$ et $e^1 = e$
+            \end{itemize}
+            \begin{tikzpicture}
+                \tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
+                {$-\infty$, $+\infty$}%
+                \tkzTabVar{-/, +/}%
+            \end{tikzpicture}
+        \end{minipage}
+        \hfill
+        \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.1]
+                \tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
+                ymin=0,ymax=5,ystep=1]
+                \tkzGrid
+                \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+                \tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
+                \tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{minipage}
+
+\subsection*{Propriété: Dérivée de $\exp$}
+
+La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
+\[
+    \forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
+\]
+
+Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
+
+On en déduit, pour tout $x \in \R$, $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
+
+\subsection*{Exemple de calcul}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
+\afaire{}
+
+
+
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Exponentielle/Etude_fonction/1E_derivation.tex

@@ -0,0 +1,61 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivation de l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Janvier 2020}
+
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}]
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = e^x - 1$
+            \item $f(x) = -2e^{x} + x$
+            \item $f(x) = (x+1)e^{x}$
+            \item $f(x) = \dfrac{e^x}{2 - x}$
+            \item $f(x) = -2xe^x$
+            \item $f(x) = (x^2 - x )e^x$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étudier le signe des fonctions}]
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = e^x + 1$ sur $I=\R$
+            \item $g(x) = (x-2)e^x$ sur $I = \R$
+            \item $h(x) = (2x^2+x-3)e^x$ sur $I = \R$
+            \item $i(x) = \dfrac{(2x+1)e^{x}}{4-x}$ sur $I = \intOO{-\infty}{4} \cup \intOO{4}{+\infty}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Variations}]
+    Pour chacune des fonctions suivantes,trouver le domaine de définition, calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = (3x-1)e^{x}$
+            \item $g(x) = \dfrac{e^{x}}{2x+1}$
+            \item $h(x) = (x^2+3x-1)e^{x}$
+            %\item $g(x) = \dfrac{2xe^{x}}{x-1}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Exponentielle/Etude_fonction/2B_compose.tex

@@ -0,0 +1,34 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivée de la composée de l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Janvier 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle}
+
+\subsection{Propriété}
+
+Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $f:x\mapsto e^{u(x)}$ est aussi dérivable sur $I$ et sa dérivée est
+\[
+    f'(x) = u'(x)\times e^{u(x)}
+\]
+
+\subsection{Exemple}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = e^{-0.1x}$
+
+\afaire{}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = \dfrac{e^{-0.1x}}{2x+1}$
+
+\afaire{}
+
+
+
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Exponentielle/Etude_fonction/2E_compo.tex

@@ -0,0 +1,66 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivation d'une composée avec l'exponentielle}
+\tribe{Terminale ES}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Variations}]
+    Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
+            \item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
+            \item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction}]
+    On considère la fonction $f$ définie sur $I=\intFF{-3}{3}$ par $f(x) = 5e^{-0,5x^2}$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer $f'(x)$ puis étudier son signe sur $I$.
+        \item Dresser le tableau de variation de $f$.
+        \item Combien l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle de solution?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Température plafond}]
+    On modélise la température $\theta$ (en degré Celsius) d'un lubrifiant pour moteur en fonction du temps $t$ (en minute) par la fonction 
+    \[
+        \theta(t) = 25 - 10e^{-kt}
+    \]
+    où $k$ désigne une constante réelle.
+    \begin{enumerate}
+        \item Déterminer la valeur de $k$ pour que la température soit de 19°C après 5minutes de fonctionnement.
+        \item Calculer $\theta'$ puis étudier les variations de $\theta$.
+        \item Tracer l'allure de la courbe de $\theta$.
+        \item Déterminer graphiquement $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \theta(x)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Encore de la température}]
+    La température d'une pièce en fonction du temps $t$ (en heures) a été modélisée par la fonction suivante
+    \[
+        f(t) = 22-4.5e^{1-0.5t}
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer l'allure de la fonction $f$, déterminer $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$ et interpréter.
+        \item Étudier les variations de $f$ puis commenter le tableau.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+
+\vfill
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Exponentielle/Etude_fonction/3E_annales.tex

@@ -0,0 +1,72 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivation de l'exponentielle}
+\tribe{Tsti2d}
+\date{Mars 2020}
+
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+\begin{exercise}[subtitle={Polynésie septembre 2018}]
+    On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par $w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146$.
+
+    On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.
+
+    \begin{multicols}{2}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $w(0)$.
+                \item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
+            \end{enumerate}
+        \item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle 
+            $[0~;~+ \infty[$.
+            \begin{enumerate}
+                \item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$.
+                \item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
+                \item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
+                \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 .
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+        
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={}]
+    L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
+
+    Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane. 
+
+    La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
+    du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
+    l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = K \e^{-0,12t}+0,025$ avec K un nombre réel.
+
+    À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Donner $f(0)$ puis déterminer la valeur de $K$.
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
+                \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
+                \item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
+            \end{enumerate}
+        \item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenir une concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer par lecture graphique sur votre calculatrice la valeur de $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
+
+                    Interpréter le résultat dans le contexte.
+
+                \item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Exponentielle/Etude_fonction/index.rst

@@ -0,0 +1,60 @@
+Étude de la fonction exponentielle pour l'année 2019-2020 en terminale Tsti2d
+#############################################################################
+
+:date: 2020-03-09
+:modified: 2020-03-09
+:authors: Bertrand Benjamin
+:category: Tsti2d
+:tags: Exponentielle, Fonction, Calcul formel
+:summary: Étude de la fonction exponentielle pour l'année 2019-2020 en terminale Tsti2d
+
+
+Étape 1: Dérivé de la fonction exponentielle
+============================================
+
+.. image:: 1E_derivation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices techniques de dérivation de l'exponentielle
+
+Résumé de la fonction exp en classe. On ajoute la formule de dérivée.
+
+Exercices techniques de dérivation puis factorisation de fonction avec exponentiel. Cette première étape est l'occasion de revoir les formules de dérivations avec la produit et le quotient.
+
+Cours: résumé des propriétés de la fonction exp
+
+.. image:: 1B_derive_exp.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur la dérivée de l'exponentielle
+
+Étape 2: Dérivée d'exponentiel avec composées
+=============================================
+
+On donne la formule pour le calcul de la dérivée avec une fonction composée avec exp.
+
+.. image:: 2E_compo.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercice sur la composée avec l'exponentielle
+
+
+Exercices techniques de dérivation.
+
+.. image:: 2B_compose.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur la dérivée d'une fonction composée avec l'exponentielle
+
+Étape 3: Annales de Bac
+=======================
+
+Plein plein plein d'annales de bac
+
+.. image:: 3E_annales.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercice d'annales du bac
+
+
+
+Étape 4: Utilisation du calcul formel
+=====================================
+
+Étude de fonctions utilisant l'exponentiel "trop compliqué à dériver", on utilise alors le calcul formel.
+