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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Fonctions puissances -Exponentiel}
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||||
\tribe{Terminale Tsti2d}
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||||
\date{Novembre 2019}
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
\begin{document}
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||||
\section*{Fonctions puissances}
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|
||||
Dans l'étude d'un isolant phonique, on a été amenée à prolonger de façon continue les suites géométriques pour construire les fonctions puissances.
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||||
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\bigskip
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||||
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||||
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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||||
\subsection*{Suite géométrique}
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||||
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q>0$. Alors pour tout nombre $n$ \textbf{entier positif} on a
|
||||
\[
|
||||
u_n = u_0 \times q^n
|
||||
\]
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.7, yscale=0.5]
|
||||
\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
|
||||
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzAxeXY
|
||||
\global\edef\tkzFctLast{10*0.7^x}
|
||||
\foreach \va in {0,1,...,8}{%
|
||||
\tkzDefPointByFct[draw](\va)}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
$\longrightarrow$
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
||||
\subsection*{Fonction puissance}
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||||
Soit $q>1$, la \textbf{fonction puissance de base q} est définie pour tout nombre réel $x$ par
|
||||
\[
|
||||
x \mapsto q^x
|
||||
\]
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.7, yscale=0.5]
|
||||
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
||||
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzAxeXY
|
||||
\tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]%
|
||||
{0.5**x}
|
||||
\draw (-3,9) node [above right] {$q < 1$};
|
||||
\tkzFct[domain = -5:5,color=blue,very thick]%
|
||||
{1.5**x}
|
||||
\draw (4,3) node [above right] {$q > 1$};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
Les fonctions puissances respectent les règles de calcul des puissances, c'est-à-dire pour tout réel $a$ et $b$ on a
|
||||
\[
|
||||
q^{a+b} = q^a \times q^b \qquad \qquad
|
||||
q^{a-b} = \dfrac{q^a}{q^b}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
|
||||
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||||
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||||
\end{document}
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||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,38 @@
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\documentclass[10pt,xcolor=table]{classPres}
|
||||
%\usepackage{myXsim}
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||||
\title{}
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\author{}
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||||
\date{Novembre 2019}
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||||
|
||||
\begin{document}
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||||
|
||||
\begin{frame}{Isolation phonique}
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||||
|
||||
L'unité d'intensité du son sera en décibel (dB). Une source sonore émet un son.
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|
||||
Pour éviter les nuisances, on dispose d'un isolant phonique qui absorbe 10\% de l'intensité du son par centimètre d'épaisseur.
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||||
|
||||
On mesure qu'après 2cm d'isolant l'intensité sonore est de 100dB.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
Comment calculer l'intensité sonore restante après n'importe quelle épaisseur de cet isolant phonique?
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\pause
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Intensité sonore après 3cm d'isolant phonique? 4cm?
|
||||
\pause
|
||||
\item Intensité sonore sans isolation phonique? Avec seulement 1cm?
|
||||
\pause
|
||||
\item Intensité sonore avec 2,5cm d'isolant phonique?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
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||||
\title{Fonctions puissances - Exponentiel}
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||||
\tribe{Terminale Tsti2d}
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||||
\date{Novembre 2019}
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||||
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
|
||||
\begin{document}
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||||
|
||||
\section*{Fonction exponentiel}
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|
||||
Dans le chapitre sur le logarithme, on a vu que pour tout $a$ et $b$ on a
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\[
|
||||
\ln (a^b) = b\times \ln (a)
|
||||
\]
|
||||
Pour inverser la fonction $\ln$, il faudrait trouver un nombre tel que
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||||
\[
|
||||
\ln (a) = 1
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\subsection*{Propriété - définition}
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||||
Il existe une unique valeur, notée $e \approx 2.718...$ telle que
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||||
\[
|
||||
\ln (e) = 1
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\subsection*{Définition}
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||||
La fonction \textbf{exponentiel}, notée \textbf{exp}, est la fonction définie sur $\R$ telle que
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\[
|
||||
exp : x \mapsto e^x
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\subsection*{Propriété}
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||||
Cette fonction fait partie de la famille des fonctions puissances. Elle respecte donc les formules de calculs suivantes
|
||||
|
||||
\[
|
||||
exp(0) = e^0 = 1 \qquad \qquad exp(1) = e^1 = e
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
e^{a+b} = e^a \times e^b \qquad \qquad e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\subsection*{Propriété}
|
||||
La fonction exponentiel inverse la fonction logarithme népérien.
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||||
|
||||
C'est-à-dire que pour tout $x \in \R$ on a
|
||||
\[
|
||||
\ln(e^x) = x \qquad \mbox{ ou encore } \qquad e^{\ln(x)} = x
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
Binary file not shown.
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||||
\documentclass[10pt,xcolor=table]{classPres}
|
||||
%\usepackage{myXsim}
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||||
|
||||
\title{}
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||||
\author{}
|
||||
\date{Novembre 2019}
|
||||
|
||||
\begin{document}
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||||
|
||||
\begin{frame}{Isolation phonique}
|
||||
|
||||
Une source sonore émet une intensité de 140dB.
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||||
|
||||
On veut l'isoler avec le même isolant que la dernière fois. L'intensité sonore se calcule donc avec la fonction suivante:
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||||
\[
|
||||
f(x) = 150\times 0.9^x
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Ci-dessous les ordres de grandeurs acoustique:
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||||
\begin{tabular}{p{3cm}cc}
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||||
Avion au décollage & 130dB & \\
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||||
Seuil de douleur & 120dB & \\
|
||||
Concert & 105dB & \\
|
||||
Seuil de danger & 90dB & \\
|
||||
Salle de classe & 65dB & \\
|
||||
Voix normale & 45dB & \\
|
||||
Chuchotement & 25dB & \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
Pour chaque ordre de grandeur calculer l'épaisseur d'isolant nécessaire.
|
||||
\end{frame}
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||||
|
||||
\end{document}
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||||
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||||
%%% Local Variables:
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||||
%%% mode: latex
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||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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||||
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
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||||
|
||||
\title{Fonctions puissances - Exponentiel}
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||||
\tribe{Terminale Tsti2d}
|
||||
\date{Novembre 2019}
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||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\section*{Variation de la fonction exponentiel}
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||||
|
||||
\subsection*{Propriété (non démontrée)}
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||||
|
||||
La fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\R$.
|
||||
|
||||
Donc pour tout $a$ et $b$ deux réels
|
||||
\[
|
||||
e^a = e^b \equiv a = b
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
e^a > e^b \equiv a > b
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\subsection*{Exemple}
|
||||
Pour résoudre l'inéquation
|
||||
\[
|
||||
e^{2x+1} \gep e^{5x -1}
|
||||
\]
|
||||
\afaire{Terminer l'exemple}
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
Binary file not shown.
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
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||||
|
||||
\title{Exercices techniques sur l'exponentielle}
|
||||
\tribe{Terminale Tsti2d}
|
||||
\date{Novembre 2019}
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
Les exercices suivants sont à faire en colonne. Dans une première séance, vous ferez la première colonne de tous les exercices. La séance suivante, la deuxième...
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Mettre sous la forme $a\times e^b$}]
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A=e^2\times e^{-3}\times e^5$
|
||||
\item $B=e^3 + 5e^3$
|
||||
\item $C=(e^2)^5 \times e^{-3}$
|
||||
\item $D= e^4 - (3e^2)^2$
|
||||
\item $E=\dfrac{e^3}{e^6}$
|
||||
\item $F=e^{10} + 3(e^2)^5$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Réduire les expressions}]
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A=e^{2x}\times e^{2-x}$
|
||||
\item $B=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{2x}}$
|
||||
\item $C=\dfrac{e^{3x}\times e^{x-1}}{e^{2+x}}$
|
||||
\item $D=(1+e^x)(e^x-1)$
|
||||
\item $E=e^{-x}(e^x-1)$
|
||||
\item $F=(e^x+1)^2$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}]
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $A = x^2e^x + 2e^x$
|
||||
\item $B = e^{-0.1x} + (x+2)e^{-0.1x}$
|
||||
\item $C = (x-1)e^{0.2x} - (x+3)e^{0.2x}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Résoudre les équations et inéquations}]
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $e^{2x+1} = e^{x}$
|
||||
\item $e^{3-2x} \leq e^{3x}$
|
||||
\item $e^{2x+1} = e$
|
||||
\item $e^{-x} - 1\geq 0$
|
||||
\item $e^x(e^x-1) = 0$
|
||||
\item $(x^2+x-2)(e^x-1) = 0$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Démontrer les égalités}]
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $-1+\dfrac{2e^x}{e^x+1} = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$
|
||||
\item $(e^x+e^{-x})^2 - (e^x-e^{-x})^2 = 4$
|
||||
\item $\dfrac{1}{1+2e^{-x}} = 1 - \dfrac{2}{e^x+2}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
Les exercices suivants sont à faire en colonne. Dans une première séance, vous ferez la première colonne de tous les exercices. La séance suivante, la deuxième...
|
||||
\printexercise{exercise}{1}
|
||||
\printexercise{exercise}{2}
|
||||
\printexercise{exercise}{3}
|
||||
\printexercise{exercise}{4}
|
||||
\printexercise{exercise}{5}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
BIN
Tsti2d/Analyse/Exponentielle/Relation_fonctionnelle/4B_base.pdf
Normal file
BIN
Tsti2d/Analyse/Exponentielle/Relation_fonctionnelle/4B_base.pdf
Normal file
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,56 @@
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{Fonctions puissances - Exponentiel}
|
||||
\tribe{Terminale Tsti2d}
|
||||
\date{Novembre 2019}
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\section*{Fonction exponentiel de base $a$}
|
||||
|
||||
Les fonctions puissances peuvent être redéfinie grâce à l'exponentiel. Ainsi, on les appelle aussi fonction exponentielle de vase $a$
|
||||
|
||||
\subsection*{Définition}
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||||
|
||||
Soit $a$ un nombre réel strictement positif.
|
||||
|
||||
La fonction définie sur $\R$ par $x\mapsto a^x = e^{x\ln(a)}$ est appelée \textbf{fonction exponentiel de base $a$}.
|
||||
|
||||
\subsection*{Propriétés}
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\textbf{Quand $0 < a < 1$}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.7, yscale=0.5]
|
||||
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
||||
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzAxeXY
|
||||
\tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]%
|
||||
{0.5**x}
|
||||
\tkzFct[domain = -5:5,color=green,very thick]%
|
||||
{0.8**x}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
La fonction exponentiel de base $a$ est strictement décroissante sur $\R$
|
||||
|
||||
\textbf{Quand $1 < a$}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.7, yscale=0.5]
|
||||
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
||||
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzAxeXY
|
||||
\tkzFct[domain = -5:5,color=blue,very thick]%
|
||||
{2**x}
|
||||
\tkzFct[domain = -5:5,color=black,very thick]%
|
||||
{1.5**x}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
La fonction exponentiel de base $a$ est strictement croissante sur $\R$
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,59 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt, twocolumn, landscape]{article}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{Exercices concrets et exponentiel de base a}
|
||||
\tribe{Terminale Tsti2d}
|
||||
\date{Novembre 2019}
|
||||
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Décharge d'un condensateur}]
|
||||
La tension $V(t)$ aux bornes d'un condensateur se déchargeant dans une résistance varie en fonction du temps $t$(en secondes) suivant la loi
|
||||
\[
|
||||
V(t) = V_0 \exp\left( -\frac{t}{RC} \right)
|
||||
\]
|
||||
où $V_0$ est la tension initiale, $R$ la valeur de la résistance et $C$ la capacité du condensateur. On donne $C=12\micro F$ (microfarads).
|
||||
|
||||
Calculer $R$ (en ohms) sachant que la tension est tombée au dixième de sa valeur initial au bout de 2 secondes.
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Radioactivité}]
|
||||
Un corps radioactif se désintègre en transformant une partie de ses noyaux suivant la loi $N(t) = N(0) e^{-kt}$ où $N(0)$ est le nombre de noyaux radioactifs au début de l'observation, $N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t$ exprimé en $h$ et $k$ une constante.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Déterminer la valeur de $k$ pour la thorium sachant que $N(0) = \np{10000}$ et $N(1) = 937$. Arrondir à $10^{-3}$.
|
||||
\item La \textit{période} d'un élément radioactif est la temps au bout duquel il reste la moitié de ses atomes. Calculer la période du thorium. Arrondir à la minute.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Changement de variable}]
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Résoudre l'équation $x^2+x-6=0$
|
||||
\item En déduire la résolution dans $\R$ de l'équation $e^{2x} + e^x - 6=0$
|
||||
\item Résoudre l'équation $x^2-x-6=0$
|
||||
\item En déduire la résolution dans $\R$ de l'équation $e^{2t} - e^t - 6=0$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Isolation thermique}]
|
||||
On a voulu tester l'isolation thermique d'une pièce de la façon suivante.
|
||||
|
||||
On a chauffé la pièce à $19^o$. On a alors coupé le chauffage à l'instant $t=0$. On a observé l'évolution de la température et on a noté qu'à chaque demi-heure correspondait à une baisse de un dixième de la température. On a alors modélisé la température de la pièce, en degré Celsius, en fonction du temps $t$ , en heure, par $\theta(t) = \theta(0)\times 0.9^{kt} $où $k$ est une constante et $\theta(0)$ la température à l'instant $t=0$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Déterminer la valeur de $k$.
|
||||
\item Tracer l'allure de la courbe de $\theta(t)$ pour $t$ allant de 0 à 6h.
|
||||
\item Dans une autre pièce, on a modélisé la température par $\theta(t) = 20\times 0.8^{2t}$.
|
||||
|
||||
Quel est le temps nécessaire pour que l'on observe la température passer de $20^oC$ à $6^oC$?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\printexercise{exercise}{1}
|
||||
\printexercise{exercise}{2}
|
||||
\printexercise{exercise}{3}
|
||||
\printexercise{exercise}{4}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
@@ -0,0 +1,67 @@
|
||||
Relation fonctionnelle pour l'exponentielle pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
|
||||
#####################################################################################
|
||||
|
||||
:date: 2019-12-03
|
||||
:modified: 2019-12-03
|
||||
:authors: Bertrand Benjamin
|
||||
:category: Tsti2d
|
||||
:tags: Analyse, Exponentielle
|
||||
:summary: Découverte de l'exponentielle pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
|
||||
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||||
|
||||
Étape 1: Prolongement continue d'une suite géométrique
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======================================================
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.. image:: 1P_isolation_phonique.pdf
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:alt: Absoption du son par un isolant
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Question ouverte qui appelle à réinvestir les connaissances sur les suites géométriques. Les élèves seront ensuite amené à aller calculer des termes négatif puis des termes décimaux pour prolonger le concept de suite géométrique à la fonction puissance.
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Cours: prolongement continue d'une suite géométrique qui respecte les lois de la puissance.
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.. image:: 1B_fonction_puissance.pdf
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:alt: Bilan sur le prolongement continue
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Étape 2: Inversion du logarithme
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.. image:: 2P_isolation_phonique.pdf
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:alt: Inversion de la fonction puissance
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On reprend le problème de l'isolation phonique et cette fois ci on cherche à dimensionner l'isolation. Pour ce faire, les élèves vont devoir résoudre des équations avec des puissances et donc réinvestir le logarithme. En conclusion, on explique l'utilité de e pour inverser le logarithme.
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Chez eux, ils recopieront le cours suivant.
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.. image:: 2B_exponentiel.pdf
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:alt: Construction de la fonction exponentielle
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Étape 3: Calculs avec fonctions puissance et équations
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Exercices techniques sur la fonction exponentielle à faire en colonne sur plusieurs séances.
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.. image:: 3E_exp_technique.pdf
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:alt: Exercices techniques sur l'exponentiel.
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.. image:: 3B_variations.pdf
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:alt: Variations de la fonction exponentiel
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Étape 4: Exponentielles de base a et modélisation
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.. image:: 4E_base_concret.pdf
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:alt: Résolution d'équations avec exp avec contexte
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.. image:: 4B_base.pdf
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:alt: Fonction exponentielle de base a
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