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Tsti2d/Analyse/Logarithme/Fonction_ln/1B_derive_ln.tex

@@ -0,0 +1,62 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivée de la fonction ln}
+\tribe{Terminale Tsti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\begin{document}
+
+\section{Dérivée de la fonction logarithme}
+
+\subsection*{Rappels}
+
+La \textbf{fonction logarithme} notée $\ln$ est définie sur $\R^{+*}=\intOO{0}{+\infty}$ par $\exp :x \mapsto ln(x)$.
+
+        \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+            \begin{itemize}
+                \item Elle est continue et dérivable sur $\R^{+*}$
+                \item Elle est négative sur $\intOO{0}{1}$
+                \item Elle est positive sur $\intOO{1}{+\infty}$
+                \item $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
+            \end{itemize}
+            \begin{tikzpicture}
+                \tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$x$/1,$f(x)$/2}%
+                {$0$, $+\infty$}%
+                \tkzTabVar{D-/$-\infty$, +/$+\infty$}%
+            \end{tikzpicture}
+        \end{minipage}
+        \hfill
+        \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
+            \tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
+            ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = 0.01:6, line width=1pt]{log(x)}
+            \tkzText[draw,fill = brown!20](5,-2.5){$f(x)=\ln(x)$}
+        \end{tikzpicture}
+        \end{minipage}
+
+\subsection*{Propriété: Dérivée de $\ln$}
+
+La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse
+\[
+    \forall x \in \R \qquad \ln'(x) = \frac{1}{x}
+\]
+
+On en déduit, pour tout $x > 0$:
+\begin{itemize}
+    \item $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x} > 0$ alors la fonction logarithme est \dotfill
+\end{itemize}
+
+\subsection*{Exemple de calcul}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)ln(x)$
+\afaire{}
+
+
+
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Logarithme/Fonction_ln/1E_derivation.tex

@@ -0,0 +1,66 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivation de ln}
+\tribe{Terminale Tsti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}]
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = x-2-\ln(x)$
+            \item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
+            \item $f(x) = x\ln(x)$
+            \item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
+            \item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
+            \item $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Variations}]
+    Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée, la mettre sur un seul dénominateur, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 2x-3-4\ln(x)$ sur $I=\R^{+*}$
+            \item $g(x) = x^2 -3x + 2 + 3\ln(x)$ sur $I=\R^{+*}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Fonction annexe}]
+    On souhaite étudier les variations de la fonction
+    \[
+        f(x) = \frac{\ln(x)}{x} - x + 2 \mbox{ sur } R^{+*}
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Démontrer que $f(x) = \dfrac{\ln(x) - x^2 + 2x}{x}$.
+                \item Démontrer que la dérivée de $f$ peut s'écrire
+                    \[
+                        f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \qquad \mbox{ avec } \qquad g(x) = 1 - \ln(x) - x^2
+                    \]
+            \end{enumerate}
+        \item Étude du signe de la fonction $g$
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $g'(x)$, étudier son signe puis en déduire les variations de $g$ sur $R^{+*}$.
+                \item Calculer $g(1)$ puis en déduire le tableau de signe de $g$.
+            \end{enumerate}
+        \item Tracer le tableau de variation de $f$ puis par lecture graphique compléter les limites.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+\printexercise{exercise}{4}
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Logarithme/Fonction_ln/2B_compose.tex

@@ -0,0 +1,26 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivée d'une fonction composée avec ln}
+\tribe{Terminale Tsti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Dérivée de fonctions composées avec $\ln$}
+
+\subsection{Propriété}
+
+Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle que $u(x) > 0$ pour tout $x$ dans $I$. Alors la fonction $f:x\mapsto \ln( u(x) )$ est aussi dérivable sur $I$ et sa dérivée est
+\[
+    f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}
+\]
+
+\subsection{Exemple}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = \ln(x^2+1)$
+
+\afaire{}
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Logarithme/Fonction_ln/2E_compo.tex

@@ -0,0 +1,50 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Dérivation d'une composée avec l'exponentielle}
+\tribe{Terminale Tsti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}]
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = \ln(x-4)$
+            \item $g(x) = \ln(x^2 - 2x+1)$
+            \item $h(x) = 6x + \ln(3-x) - ln(3)$
+            \item $i(x) = 2t^2 - t + (t-2)\left( \ln(2-t) -ln(2) \right) $
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction}]
+    On considère la fonction $f$ définie sur $I=\intFF{0}{3}$ par $f(x) = 10x + \ln(3-x) - \ln(3)$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est $f'(x) = \dfrac{29-10x}{3-x}$
+        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$
+        \item La fonction $f$ admet elle un maximum sur $I$? Donner une valeur approchée au dixième de ce maximum.
+        \item Par lecture graphique compléter les limites.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Logarithme/Fonction_ln/3E_annales.tex

@@ -0,0 +1,176 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Annales d'exercices sur le logarithme}
+\tribe{Terminale Tsti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction}]
+    Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et l’unité de longueur
+    est le mètre (m).
+
+    Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d'un petit bateau.
+
+    La voile est représentée en gris dans le repère orthonormé ci-dessous où une unité
+    représente un mètre.
+
+    \begin{minipage}{9cm}
+        $C_f$ est la représentation graphique de la fonction
+        $f$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par :
+
+        \[ f(x) = 12+ax^2+\ln(x).\]
+
+        où $a$ est un nombre réel qui sera déterminé dans la
+        partie A.
+
+        \begin{description}
+            \item S est le point de $C_f$ d’abscisse 1.
+
+            \item A est le point de $C_f$ d’abscisse 2.
+
+            \item B est le point de $C_f$ d’abscisse 5.
+
+            \item D est le point d’intersection de la droite d’équation
+                $x = 2$  et de la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par B.
+        \end{description}
+
+        La voile est représentée par le domaine délimité par le
+        segment [AD], le segment [DB] et la courbe $C_f$.
+    \end{minipage}\hfill
+    \begin{minipage}[]{5.5cm}
+        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/voilure}
+    \end{minipage}
+
+    \medskip
+
+    \textbf{Partie A}
+
+    \medskip 
+
+    La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item  On suppose que la tangente à la courbe $C_f$ au point S est horizontale.
+
+            Que vaut $f'(1)$ ?
+        \item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0,1~;~+\infty[$.
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item  Exprimer $f'(1)$ en fonction de $a$.
+                \item Démontrer que $a=-0,5$ .
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Niveau sonore}]
+    Le niveau sonore $N$ d'un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation
+
+    \[N = 120 + 4\ln \left(\dfrac{P}{13 \times  D^2}\right)\]
+
+    où $N$ est exprimé en décibels (dB), $P$ en Watts (W) et $D$ en mètres (m).
+
+    \bigskip
+
+    \textbf{Partie A}
+
+    \medskip
+
+    Les questions 1. et 2. sont indépendantes
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer le niveau sonore $N$ d'un bruit entendu à $10$ mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à $2,6$~Watts. On arrondira le résultat à l'unité.
+        \item On donne $N = 84$~dB et $D = 10$~m. Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
+    \end{enumerate}
+
+    \bigskip
+
+    \textbf{Partie B}
+
+    \medskip
+
+    Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d'aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à $0,026$~Watts.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Montrer qu'à une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ dû à celle-ci vérifie la relation :
+
+                    \[N = 120 + 4\ln (0,002) - 4\ln \left(D^2\right).\]
+                \item Montrer qu'une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln (D)$.
+            \end{enumerate}	
+    \end{enumerate}	
+
+    Dans la suite de l'exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,1~;~20] par :
+
+    \[f(x) = 95,14 - 8\ln (x).\]
+
+    \begin{enumerate}[resume]
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
+                \item Donner le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0,1~;~20].
+                \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,1~;~ 20].
+            \end{enumerate}
+        \item On suppose qu'un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine.
+
+            La législation en vigueur l'oblige à porter des protections individuelles contre le bruit
+            dès qu'un risque apparaît.
+
+            Justifier, à l'aide du tableau ci-dessous, que l'ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit.
+
+            \begin{center}
+                \begin{tabular}{|c|c|}
+                    \hline
+                    \textbf{Impacts sur l'audition}& \textbf{Niveaux sonores en décibels}\\ 
+                    \hline
+                    Aucun 			&[0~;~85[\\
+                    \hline
+                    Risque faible	&[85~;~90[\\
+                    \hline
+                    Risque élevé	&[90~;~120[\\
+                    \hline
+                \end{tabular}
+            \end{center}
+
+        \item Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone
+            de risque élevé (c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à $90$~dB).
+    \end{enumerate}
+
+    \bigskip
+
+    \textbf{Partie C}
+
+    \medskip
+    On s'intéresse au lien entre la puissance $P$ d'un bruit et la distance $D$ de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore $N$.
+
+    \begin{center}
+        \includegraphics[scale=0.4]{./fig/graph_sonore}
+    \end{center}
+
+    \medskip
+
+    On admet que pour une puissance de $0,02$ Watt, le niveau sonore du bruit est de $74,9$ décibels à une distance de $11$~mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées $(0,02; 11)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{N=74,9}$.
+
+    \medskip
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Pour un bruit de puissance $P$ égale à $0,06$ W, déterminer graphiquement à quelles distances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le
+            niveau sonore $N$ soit compris entre $85$ et $90$ dB.
+        \item Pour une source sonore située à une distance $D$ de $8$~m, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre $74,9$~dB et $79,8$~dB.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Logarithme/Fonction_ln/4B_base.tex

@@ -0,0 +1,60 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Logarithme de base 2 et 10}
+\tribe{Terminale Tsti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Deux autres logarithmes}
+
+La fonction logarithme, $\ln$ est caractérisée par les deux propriétés suivantes
+\begin{itemize}
+    \item Respecter la relation fonctionnelle $\ln(a\times b) = \ln(a) + \ln(b)$
+    \item $\ln(\e) = 1$
+\end{itemize}
+
+On peut définir d'autres logarithmes qui respecteront la première propriété mais dont la deuxième diffèrera pour s'adapter à la situation.
+
+\subsection{Logarithme décimal}
+
+Ce logarithme sera particulièrement adapté pour la manipulation des puissances de 10 et donc la manipulation des très grands et des très petits nombres décimaux. On l'utilisera notamment en chimie pour le calcul du pH ou en physique avec l'intensité sonore.
+
+\subsubsection*{Définition}
+
+On appelle \textbf{logarithme décimal} (ou logarithme de base 10), noté $\log$, la fonction
+\[
+    \log : x \mapsto \frac{\ln(x)}{\ln(10)}
+\]
+
+Ce logarithme respecte la relation fonctionnelle
+\[
+    \log(a\times b) = \log(a) + \log(b)
+\]
+et vérifie la propriété suivante
+\[
+    \log(10) = 1
+\]
+
+\subsection{Logarithme de base 2}
+
+Ce logarithme sera particulièrement adapté pour la manipulation des puissances de 2. Il sera utilise notamment en informatique où les quantités d'information sont données sous forme d'une puissance de 2 (plusieurs bits).
+
+\subsubsection*{Définition}
+
+On appelle \textbf{logarithme de base 2}, noté $\log_2$, la fonction
+\[
+    \log_2 : x \mapsto \frac{\ln(x)}{\ln(2)}
+\]
+
+Ce logarithme respecte la relation fonctionnelle
+\[
+    \log_2(a\times b) = \log_2(a) + \log_2(b)
+\]
+et vérifie la propriété suivante
+\[
+    \log_2(2) = 1
+\]
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Logarithme/Fonction_ln/4E_bases.tex

@@ -0,0 +1,50 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Logarithmes de bases 10 et 2}
+\tribe{Terminale Tsti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={pression acoustique}]
+    Le niveau de pression acoustique est exprimée en décibels par $S = 20\log{\dfrac{p}{p_0}}$, avec $p_0$ la pression minimale perceptible par l'oreille humaine et $p$ la pression perçue. On donne $p_0 = 2\times 10^{-5}$ bars.
+
+    L'oreille humaine peut supporter sans dommage, au maximum une pression $p$ de 20bars.
+
+    Calculer le niveau de pression $S$ correspondant au bruit maximum.
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Intensité acoustique}]
+    L'intensité acoustique est définie par $L = 10 \log{\dfrac{I}{I_0}}$ où $I_0$ est l'intensité de référence et $I$ l'intensité du son étudié.
+
+    $I$ et $I_0$ sont exprimés en Watts par $m^2$ et $L$ en décibels. On donne $I_0 = 10^{-12}$.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer $L$ quand $I$ vaut 1.
+        \item Combien vaut $I$ quand $L$ vaut 10?
+        \item Combien vaut $I$ quand $L$ vaut 60?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Potentiel d'hydrogène (pH)}]
+    En chimie, le pH est définie par $pH = -\log [H_3O^+]$, où $[H_3O^+]$ est la concentration en ions $H_3O^+$ d'une solution aqueuse exprimé en $mol.L^{-1}$.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item La concentration en $H_3O^+$ d'une solution est $2,4\times10^{-10}mol.L^{-1}$. Calculer le $pH$ de la solution.
+        \item Le $pH$ d'une solution est de $3$. Calculer la concentration en $H_3O^+$.
+        \item Démontrer que si la concentration d'une solution est divisée par 100, son $pH$ augmente de 2.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Logarithme/Fonction_ln/index.rst

@@ -0,0 +1,56 @@
+Étude de ln pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
+#####################################################
+
+:date: 2020-01-06
+:modified: 2020-01-06
+:authors: Bertrand Benjamin
+:category: Tsti2d
+:tags: Logarithme
+:summary: Étude de la fonction ln pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D.
+
+Étape 1: Dérivation de la fonction logarithme
+=============================================
+
+.. image:: 1E_derivation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices techniques de dérivation du logarithme
+
+Résumé de la fonction ln. On ajoute la formule de la dérivée puis exercices de dérivation et d'étude de variations.
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+.. image:: 1B_derive_ln.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur la fonction logarithme
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+Étape 2: Dérivation de fonctions composées avec ln
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+On donne la formule pour le calcul de la dérivée d'une fonction composée avec un logarithme. On enchaine sur les exercices.
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+.. image:: 2E_compo.pdf
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+    :alt: Exercices techniques de dérivation d'une fonction composée avec un logarithme
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+.. image:: 2B_compose.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan de dérivation d'une fonction composée avec un logarithme
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+Étape 3: Annales Bac
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+On va chercher les rares exercices utilisant ln dans les exercices de Bac.
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+.. image:: 3E_annales.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Annales autour du logarithme
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+Étape 4: Log en base 2 et 10
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+.. image:: 4B_base.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Cours sur les log d'autres bases.
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+.. image:: 4E_bases.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices sur les logarithmes de base 10 et 2 (pas trouvé d'exo bien là...!)
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