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Tsti2d/Analyse/Logarithme/Relation_fonctionnelle/1E_eq_puissance.tex

@@ -0,0 +1,63 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage[linesnumbered, boxed, french]{algorithm2e}
+
+\title{Logarithme et équation puissance}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Octobre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Technique}]
+    Résoudre les équations suivantes
+    \begin{multicols}{4}
+        \begin{enumerate}
+            \item $10^n = 120$
+            \item $1200\times0.85^n = 500$
+            \item $0.5\times2^n = 100$
+            \item $3\times10^n -100 = 500$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation}]
+    Une entreprise achète une machine neuve dont le prix est de \np{84000}\euro. On estime qu'elle se déprécie de 12\% par an.
+    \begin{enumerate}
+        \item Modéliser la situation avec une suite en précisant sa formule explicite.
+        \item Sans utiliser le tableur de la calculatrice, calculer au bout de combien d'années la valeur de la machine passera en dessous de \np{20000}\euro.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Renard}]
+    Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de \np{1240} renards à la fin de l'année 2016.
+
+    Les études ont montré que cette population diminue de 15\% par an.
+
+    Pour compenser cette diminution, le parc décide d'introduire chaque année 30 renards.
+
+    On modélise alors la population de renard par la suite $(u_n)$ définie par la relation de récurrence suivante \\$u_{n+1} = 0.85u_n +30$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer $u_1$ et $u_2$
+        \item Est-ce que la suite  $(u_n)$ est géométrique?
+    \end{enumerate}
+    On veut chercher une formule explicite pour cette suite $(u_n)$. Pour cela, on passe par une suite annexe $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 200$
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{2}
+        \item Calculer $v_0$ et $v_1$
+        \item La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,85$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
+        \item Démontrer que $u_n = 1040\times 0.85^n + 200$
+        \item Par le calcul, déterminer quand la population va atteindre 500 individus.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Logarithme/Relation_fonctionnelle/1P_rel_fct.tex

@@ -0,0 +1,99 @@
+\documentclass[11pt,xcolor=table]{classPres}
+
+\setlength\columnsep{0pt}
+
+\title{Logarithme, relation fonctionnelle}
+\date{Octobre 2019}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}{Table de Neper}
+    \begin{block}{John Napier}
+        Mathématicien écossais du seizième siècle (1550 – 1617)
+    \end{block}
+    \pause
+    \begin{block}{Simplifier les calculs}
+         Transformer les multiplications en additions
+    \end{block}
+    \pause
+    \includegraphics[scale=2]{./fig/table_neper}
+    \hfill
+    \includegraphics[scale=0.3]{./fig/Batons_de_Napier}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Transformer $\times$ en $+$}
+    \begin{block}{Situations}
+        \begin{itemize}
+            \item Transformer un suite géométrique en suite arithmétiques
+            \item Intensité sonore (décibels et intensité électrique)
+            \item Quantité d'information (nombre d'octets et quantité d'information)
+            \item Échelle sismique (magnitude et énergie)
+        \end{itemize}
+    \end{block}
+    \pause
+    \begin{block}{Relation fonctionnelle}
+        On cherche une fonction $f$ telle que 
+        \[
+            f(a\times b) = f(a) + f(b)
+        \]
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{$f(a\times b) = f(a) + f(b)$}
+    En utilisant la relation fonctionnelle au dessus, répondre aux questions.
+    \begin{enumerate}
+        \item En choisissant $a=0$, qu'obtient-on?
+        \item En choisissant $a=b=1$, que peut-on dire de $f(1)$?
+        \item Exprimer $f(a^n)$ en fonction de $f(a)$.
+        \item En choisissant $b=\frac{1}{a}$, que peut-on dire de $f(\frac{1}{a})$?
+        \item En choisissant $b=\frac{1}{a}$, que peut-on dire de $f(\frac{1}{a})$?
+        \item Combien vaut $f(\frac{a}{b})$?
+    \end{enumerate}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Logarithme}
+    \begin{block}{Propriété}
+        Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation 
+        \[
+            f(a\times b) = f(a) + f(b)
+        \]
+        Cette famille s'appelle les fonctions logarithmes.
+    \end{block}
+    
+    \vfill
+    \pause
+    
+    \begin{block}{Définition}
+        On appelle \textbf{logarithme népérien} un représentant de cette famille. 
+
+        Le logarithme népérien est définie sur $\R^{+*}$ et est noté $ln$.
+
+        On a donc
+        \[
+            ln(a\times b) = ln(a) + ln(b)
+        \]
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Logarithme népérien}
+    \begin{block}{Propriétés}
+        Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
+        \begin{eqnarray*}
+            ln(1) &=& 0\\
+            ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
+            ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
+            ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
+        \end{eqnarray*}
+    \end{block}
+    \begin{block}{Exemple}
+        Résolution d'équation avec des puissances
+    \end{block}
+    \vfill
+\end{frame}
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

Tsti2d/Analyse/Logarithme/Relation_fonctionnelle/2P_variation.tex

@@ -0,0 +1,54 @@
+\documentclass[11pt,xcolor=table]{classPres}
+
+\setlength\columnsep{0pt}
+
+\title{Logarithme, relation fonctionnelle}
+\date{Octobre 2019}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}{Variations}
+    \begin{block}{Propriétés (admises)}
+        Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Alors
+
+        \[
+            ln(a) = ln(b) \qquad \Leftrightarrow \qquad a = b
+        \]
+        \[
+            ln(a) < ln(b) \qquad \Leftrightarrow \qquad a < b
+        \]
+    \end{block}
+    \begin{block}{Exemple}
+        Résolution d'équations et inéquation avec des logarithmes.
+        
+    \end{block}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Exercices}
+    Résoudre les équations suivantes
+    \begin{enumerate}
+        \item $ln(x+2) + ln(3) = ln(x) \qquad \mbox{ sur } I = \intOO{0}{+\infty}$
+            \vfill
+        \item $ln(2x+1) = 2ln(x) \qquad \mbox{ sur } I = \intOO{0}{+\infty}$
+            \vfill
+        \item $ln(x) + ln(x+2) = ln(9x-12) \qquad \mbox{ sur } I = \intOO{\frac{4}{3}}{+\infty}$
+            \vfill
+    \end{enumerate}
+    Résoudre les inéquations suivantes
+    \begin{enumerate}
+        \item $ln(x+2) \geq ln(3) \qquad \mbox{ sur } I = \intOO{0}{+\infty}$
+            \vfill
+        \item $ln(2x+1) \leq 0 \qquad \mbox{ sur } I = \intOO{0}{+\infty}$
+            \vfill
+        \item $ln(x+2) > 2ln(x) \qquad \mbox{ sur } I = \intOO{0}{+\infty}$
+            \vfill
+    \end{enumerate}
+\end{frame}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

Tsti2d/Analyse/Logarithme/Relation_fonctionnelle/index.rst

@@ -0,0 +1,34 @@
+Relation fonctionnelle du logarithme pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
+##############################################################################
+
+:date: 2019-10-15
+:modified: 2019-10-15
+:authors: Bertrand Benjamin
+:category: Tsti2d
+:tags: Logarithme
+:summary: Découverte du logarithme à partir de la relation fonctionnelle pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D.
+
+
+Étape 1: Découverte du Log
+==========================
+
+.. image:: 1P_rel_fct.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Relation fonctionnelle vers le logarithme
+
+On s'intéresse à l'égalité fonctionnelle f(x*y) = f(x)+f(y) et justifiant son intérêt historique par la simplification des calculs en transformant une multiplication en addition.
+
+.. image:: 1E_eq_puissance.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Résolution d'équations avec puissances
+
+Étape 2: Équations avec ln
+==========================
+
+.. image:: 2E_variation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Cours et exercices pour résoudre des équations avec ln
+
+Travail technique de résolution d'équation et inéquation avec le logarithme.
+
+