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Tsti2d/DM/DM_19_10/01_DM_19_10.tex
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@@ -0,0 +1,281 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{tasks}
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\usepackage{myXsim}
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\title{DM 2 -- BELSKII Bogdan}
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\tribe{Terminale STI2D}
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\date{20 novembre 2019}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
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||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $20m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
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||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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||||
\begin{tikzpicture}
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\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
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||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
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||||
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
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||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
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||||
\[
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||||
S(x) = 8x + 10 + \frac{40}{x}
|
||||
\]
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||||
\item Démontrer que
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||||
\[
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||||
S(x) = \frac{8x^2 + 10x + 40}{x}
|
||||
\]
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||||
\item Démontrer que
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||||
\[
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||||
S'(x) = \frac{- 40 + 8x^2}{x^2}
|
||||
\]
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||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
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||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
\begin{solution}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $\frac{5}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $\frac{5}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||
20 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||
x &=& \frac{20}{h\times 4} = \frac{5}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{5}{x}\times 4\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 8x + 10 + \frac{40}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 8x + 10 + \frac{40}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{40}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{8x^2 + 10x + 40}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
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||||
\[
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||||
u(x) = 8x^2 + 10x + 40 \Rightarrow u'(x) = 10 + 16x
|
||||
\]
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||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
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||||
Donc au numérateur on obtient
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (10 + 16x)\times x - (8x^2 + 10x + 40)\times 1\\
|
||||
&=& - 40 + 8x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
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||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 40 + 8x^2}{x^2}
|
||||
\]
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||||
\item Tableau de variations de $S$
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
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||||
\item Signe de $- 40 + 8x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
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||||
\[
|
||||
\Delta = 1280 > 0
|
||||
\]
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||||
Il y a donc 2 racines
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||||
\[
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||||
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||||
x_2 = 2.23606797749979
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 40 + 8x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
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||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
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||||
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||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 40 + 8x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{solution}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
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||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
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||||
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||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.114$ gramme de gaz chaque jour.
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||||
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||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $520$ grammes.
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||||
\subsection*{Partie A}
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||||
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||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
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||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
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||||
\subsection*{Partie B}
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||||
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||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.114$ gramme, le système perd $2\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
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||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
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||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 520$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
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||||
on a :
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\[
|
||||
u_{n+1} = 0.98 u_n - 0.114.
|
||||
\]
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||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
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||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 5.7$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.98$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 525.7 \times 0.98^n - 5.7$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $520 \times 0.98^n - 5.7 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
520 - 440 = 80
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.114 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{80}{0.114} = 702 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 520\\
|
||||
u_1 &=& 0.98\times u_0 - 0.114 = 509.486\\
|
||||
u_2 &=& 0.98\times u_1 - 0.114 = 499.18228
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.98*u-0.114$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 5.7 = 520 + 5.7 = 525.7$
|
||||
\item $v_n = 525.7\times 0.98^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 5.7$ alors $u_n = v_n - 5.7$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 525.7 \times 0.98^n - 5.7
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =525.7 \times 0.98^{20} - 5.7= 345$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
520 \times 0.98^n - 5.7 &<& 440 \\
|
||||
520 \times 0.98^n &<& 440+5.7 \\
|
||||
0.98^n &<& \frac{440+5.7}{520} \\
|
||||
ln(0.98^n) &<& ln\left(\frac{440+5.7}{520}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.98) &<& ln\left(\frac{440+5.7}{520}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+5.7}{520}\right)}{ln0.98} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.98)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
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Tsti2d/DM/DM_19_10/02_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/02_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- BERGER Dorian}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $9m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{3}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 6x + 6 + \frac{18}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{6x^2 + 6x + 18}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 18 + 6x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=9$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=9$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||
9 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||
x &=& \frac{9}{h\times 3} = \frac{3}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{3}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{3}{x}\times 3\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 6x + 6 + \frac{18}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 6x + 6 + \frac{18}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{6\times x}{x} + \frac{18}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{6x^2 + 6x + 18}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 6x^2 + 6x + 18 \Rightarrow u'(x) = 6 + 12x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (6 + 12x)\times x - (6x^2 + 6x + 18)\times 1\\
|
||||
&=& - 18 + 6x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 18 + 6x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 18 + 6x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 432 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 1.7320508075688774 \qquad
|
||||
x_2 = 1.7320508075688774
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 18 + 6x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 18 + 6x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.7320508075688774$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.7320508075688774$ et $h = 5.1961524227066322$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.096$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $570$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.096$ gramme, le système perd $3\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 570$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.97 u_n - 0.096.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 3.2$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.97$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 573.2 \times 0.97^n - 3.2$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $570 \times 0.97^n - 3.2 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
570 - 440 = 130
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.096 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{130}{0.096} = 1354 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 570\\
|
||||
u_1 &=& 0.97\times u_0 - 0.096 = 552.804\\
|
||||
u_2 &=& 0.97\times u_1 - 0.096 = 536.12388
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.97*u-0.096$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 3.2 = 570 + 3.2 = 573.2$
|
||||
\item $v_n = 573.2\times 0.97^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 3.2$ alors $u_n = v_n - 3.2$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 573.2 \times 0.97^n - 3.2
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =573.2 \times 0.97^{20} - 3.2= 309$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
570 \times 0.97^n - 3.2 &<& 440 \\
|
||||
570 \times 0.97^n &<& 440+3.2 \\
|
||||
0.97^n &<& \frac{440+3.2}{570} \\
|
||||
ln(0.97^n) &<& ln\left(\frac{440+3.2}{570}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.97) &<& ln\left(\frac{440+3.2}{570}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+3.2}{570}\right)}{ln0.97} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.97)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/03_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/03_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- DESLOT Clement}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $21m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 6x + 14 + \frac{42}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{6x^2 + 14x + 42}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 42 + 6x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=21$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=21$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||
21 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||
x &=& \frac{21}{h\times 3} = \frac{7}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{7}{x}\times 3\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 6x + 14 + \frac{42}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 6x + 14 + \frac{42}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{42}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{6x^2 + 14x + 42}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 6x^2 + 14x + 42 \Rightarrow u'(x) = 14 + 12x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (14 + 12x)\times x - (6x^2 + 14x + 42)\times 1\\
|
||||
&=& - 42 + 6x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 42 + 6x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 42 + 6x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 1008 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 42 + 6x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 42 + 6x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.068$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $660$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.068$ gramme, le système perd $4\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.96 u_n - 0.068.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 1.7$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.96$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 661.7 \times 0.96^n - 1.7$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $660 \times 0.96^n - 1.7 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
660 - 440 = 220
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.068 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{220}{0.068} = 3235 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 660\\
|
||||
u_1 &=& 0.96\times u_0 - 0.068 = 633.532\\
|
||||
u_2 &=& 0.96\times u_1 - 0.068 = 608.12272
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.96*u-0.068$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 1.7 = 660 + 1.7 = 661.7$
|
||||
\item $v_n = 661.7\times 0.96^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 1.7$ alors $u_n = v_n - 1.7$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 661.7 \times 0.96^n - 1.7
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =661.7 \times 0.96^{20} - 1.7= 291$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
660 \times 0.96^n - 1.7 &<& 440 \\
|
||||
660 \times 0.96^n &<& 440+1.7 \\
|
||||
0.96^n &<& \frac{440+1.7}{660} \\
|
||||
ln(0.96^n) &<& ln\left(\frac{440+1.7}{660}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.96) &<& ln\left(\frac{440+1.7}{660}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+1.7}{660}\right)}{ln0.96} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.96)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/04_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/04_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- DESSEIGNE Mickael}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $21m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 6x + 14 + \frac{42}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{6x^2 + 14x + 42}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 42 + 6x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=21$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=21$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||
21 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||
x &=& \frac{21}{h\times 3} = \frac{7}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{7}{x}\times 3\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 6x + 14 + \frac{42}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 6x + 14 + \frac{42}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{42}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{6x^2 + 14x + 42}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 6x^2 + 14x + 42 \Rightarrow u'(x) = 14 + 12x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (14 + 12x)\times x - (6x^2 + 14x + 42)\times 1\\
|
||||
&=& - 42 + 6x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 42 + 6x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 42 + 6x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 1008 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 42 + 6x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 42 + 6x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.342$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $600$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.342$ gramme, le système perd $9\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 600$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.91 u_n - 0.342.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 3.8$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.91$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 603.8 \times 0.91^n - 3.8$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $600 \times 0.91^n - 3.8 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
600 - 440 = 160
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.342 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{160}{0.342} = 468 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 600\\
|
||||
u_1 &=& 0.91\times u_0 - 0.342 = 545.658\\
|
||||
u_2 &=& 0.91\times u_1 - 0.342 = 496.20678
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.91*u-0.342$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 3.8 = 600 + 3.8 = 603.8$
|
||||
\item $v_n = 603.8\times 0.91^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 3.8$ alors $u_n = v_n - 3.8$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 603.8 \times 0.91^n - 3.8
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =603.8 \times 0.91^{20} - 3.8= 88$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
600 \times 0.91^n - 3.8 &<& 440 \\
|
||||
600 \times 0.91^n &<& 440+3.8 \\
|
||||
0.91^n &<& \frac{440+3.8}{600} \\
|
||||
ln(0.91^n) &<& ln\left(\frac{440+3.8}{600}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.91) &<& ln\left(\frac{440+3.8}{600}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+3.8}{600}\right)}{ln0.91} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.91)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
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281
Tsti2d/DM/DM_19_10/05_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/05_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- DUBOIS Yanis}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $12m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{3}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 8x + 6 + \frac{24}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{8x^2 + 6x + 24}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 24 + 8x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=12$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=12$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||
12 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||
x &=& \frac{12}{h\times 4} = \frac{3}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{3}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{3}{x}\times 4\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 8x + 6 + \frac{24}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 8x + 6 + \frac{24}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{6\times x}{x} + \frac{24}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{8x^2 + 6x + 24}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 8x^2 + 6x + 24 \Rightarrow u'(x) = 6 + 16x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (6 + 16x)\times x - (8x^2 + 6x + 24)\times 1\\
|
||||
&=& - 24 + 8x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 24 + 8x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 24 + 8x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 768 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 1.7320508075688772 \qquad
|
||||
x_2 = 1.7320508075688772
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 24 + 8x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 24 + 8x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.7320508075688772$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.7320508075688772$ et $h = 5.1961524227066316$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.156$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $680$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
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||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
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||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.156$ gramme, le système perd $4\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 680$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.96 u_n - 0.156.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 3.9$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.96$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 683.9 \times 0.96^n - 3.9$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $680 \times 0.96^n - 3.9 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
680 - 440 = 240
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.156 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{240}{0.156} = 1538 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 680\\
|
||||
u_1 &=& 0.96\times u_0 - 0.156 = 652.644\\
|
||||
u_2 &=& 0.96\times u_1 - 0.156 = 626.38224
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.96*u-0.156$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 3.9 = 680 + 3.9 = 683.9$
|
||||
\item $v_n = 683.9\times 0.96^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 3.9$ alors $u_n = v_n - 3.9$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 683.9 \times 0.96^n - 3.9
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =683.9 \times 0.96^{20} - 3.9= 298$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
680 \times 0.96^n - 3.9 &<& 440 \\
|
||||
680 \times 0.96^n &<& 440+3.9 \\
|
||||
0.96^n &<& \frac{440+3.9}{680} \\
|
||||
ln(0.96^n) &<& ln\left(\frac{440+3.9}{680}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.96) &<& ln\left(\frac{440+3.9}{680}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+3.9}{680}\right)}{ln0.96} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.96)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/06_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/06_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- DUBUISSON Léo}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
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||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $6m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{3}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 4x + 6 + \frac{12}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{4x^2 + 6x + 12}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 12 + 4x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=6$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=6$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 2 \\
|
||||
6 &=& h\times x \times 2 \\
|
||||
x &=& \frac{6}{h\times 2} = \frac{3}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{3}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{3}{x}\times 2\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 4x + 6 + \frac{12}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 4x + 6 + \frac{12}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{6\times x}{x} + \frac{12}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{4x^2 + 6x + 12}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 4x^2 + 6x + 12 \Rightarrow u'(x) = 6 + 8x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (6 + 8x)\times x - (4x^2 + 6x + 12)\times 1\\
|
||||
&=& - 12 + 4x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 12 + 4x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 12 + 4x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 192 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 1.7320508075688772 \qquad
|
||||
x_2 = 1.7320508075688772
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 12 + 4x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 12 + 4x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.7320508075688772$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.7320508075688772$ et $h = 5.1961524227066316$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
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||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.322$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $570$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.322$ gramme, le système perd $7\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 570$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.93 u_n - 0.322.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 4.6$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.93$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 574.6 \times 0.93^n - 4.6$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $570 \times 0.93^n - 4.6 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
570 - 440 = 130
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.322 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{130}{0.322} = 404 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 570\\
|
||||
u_1 &=& 0.93\times u_0 - 0.322 = 529.778\\
|
||||
u_2 &=& 0.93\times u_1 - 0.322 = 492.37154
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.93*u-0.322$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 4.6 = 570 + 4.6 = 574.6$
|
||||
\item $v_n = 574.6\times 0.93^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 4.6$ alors $u_n = v_n - 4.6$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 574.6 \times 0.93^n - 4.6
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =574.6 \times 0.93^{20} - 4.6= 130$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
570 \times 0.93^n - 4.6 &<& 440 \\
|
||||
570 \times 0.93^n &<& 440+4.6 \\
|
||||
0.93^n &<& \frac{440+4.6}{570} \\
|
||||
ln(0.93^n) &<& ln\left(\frac{440+4.6}{570}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.93) &<& ln\left(\frac{440+4.6}{570}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+4.6}{570}\right)}{ln0.93} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.93)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/07_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/07_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- GAULET Kelian}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
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||||
\xsimsetup{
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||||
solution/print = false
|
||||
}
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||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
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||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $15m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 6x + 10 + \frac{30}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{6x^2 + 10x + 30}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 30 + 6x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $\frac{5}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $\frac{5}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||
15 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||
x &=& \frac{15}{h\times 3} = \frac{5}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{5}{x}\times 3\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 6x + 10 + \frac{30}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 6x + 10 + \frac{30}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{30}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{6x^2 + 10x + 30}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 6x^2 + 10x + 30 \Rightarrow u'(x) = 10 + 12x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (10 + 12x)\times x - (6x^2 + 10x + 30)\times 1\\
|
||||
&=& - 30 + 6x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 30 + 6x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 30 + 6x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 720 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||||
x_2 = 2.23606797749979
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 30 + 6x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 30 + 6x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.192$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $630$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.192$ gramme, le système perd $3\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 630$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.97 u_n - 0.192.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 6.4$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.97$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 636.4 \times 0.97^n - 6.4$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $630 \times 0.97^n - 6.4 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
630 - 440 = 190
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.192 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{190}{0.192} = 990 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 630\\
|
||||
u_1 &=& 0.97\times u_0 - 0.192 = 610.908\\
|
||||
u_2 &=& 0.97\times u_1 - 0.192 = 592.38876
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.97*u-0.192$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 6.4 = 630 + 6.4 = 636.4$
|
||||
\item $v_n = 636.4\times 0.97^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 6.4$ alors $u_n = v_n - 6.4$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 636.4 \times 0.97^n - 6.4
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =636.4 \times 0.97^{20} - 6.4= 340$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
630 \times 0.97^n - 6.4 &<& 440 \\
|
||||
630 \times 0.97^n &<& 440+6.4 \\
|
||||
0.97^n &<& \frac{440+6.4}{630} \\
|
||||
ln(0.97^n) &<& ln\left(\frac{440+6.4}{630}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.97) &<& ln\left(\frac{440+6.4}{630}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+6.4}{630}\right)}{ln0.97} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.97)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/08_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/08_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- GODET Raphaël}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $15m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{3}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 10x + 6 + \frac{30}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{10x^2 + 6x + 30}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 30 + 10x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||
15 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||
x &=& \frac{15}{h\times 5} = \frac{3}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{3}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{3}{x}\times 5\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 10x + 6 + \frac{30}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 10x + 6 + \frac{30}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{6\times x}{x} + \frac{30}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{10x^2 + 6x + 30}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 10x^2 + 6x + 30 \Rightarrow u'(x) = 6 + 20x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (6 + 20x)\times x - (10x^2 + 6x + 30)\times 1\\
|
||||
&=& - 30 + 10x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 30 + 10x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 30 + 10x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 1200 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 1.7320508075688774 \qquad
|
||||
x_2 = 1.7320508075688774
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 30 + 10x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 30 + 10x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.7320508075688774$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.7320508075688774$ et $h = 5.1961524227066322$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.305$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $650$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.305$ gramme, le système perd $5\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 650$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.95 u_n - 0.305.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 6.1$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.95$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 656.1 \times 0.95^n - 6.1$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $650 \times 0.95^n - 6.1 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
650 - 440 = 210
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.305 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{210}{0.305} = 689 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 650\\
|
||||
u_1 &=& 0.95\times u_0 - 0.305 = 617.195\\
|
||||
u_2 &=& 0.95\times u_1 - 0.305 = 586.03025
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.95*u-0.305$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 6.1 = 650 + 6.1 = 656.1$
|
||||
\item $v_n = 656.1\times 0.95^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 6.1$ alors $u_n = v_n - 6.1$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 656.1 \times 0.95^n - 6.1
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =656.1 \times 0.95^{20} - 6.1= 229$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
650 \times 0.95^n - 6.1 &<& 440 \\
|
||||
650 \times 0.95^n &<& 440+6.1 \\
|
||||
0.95^n &<& \frac{440+6.1}{650} \\
|
||||
ln(0.95^n) &<& ln\left(\frac{440+6.1}{650}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.95) &<& ln\left(\frac{440+6.1}{650}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+6.1}{650}\right)}{ln0.95} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.95)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/09_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/09_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- MENNAFI Abdallah}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $30m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{6}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 10x + 12 + \frac{60}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{10x^2 + 12x + 60}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 60 + 10x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=30$, $h$ doit être égale à $\frac{6}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=30$, $h$ doit être égale à $\frac{6}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||
30 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||
x &=& \frac{30}{h\times 5} = \frac{6}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{6}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{6}{x}\times 5\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 10x + 12 + \frac{60}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 10x + 12 + \frac{60}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{12\times x}{x} + \frac{60}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{10x^2 + 12x + 60}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 10x^2 + 12x + 60 \Rightarrow u'(x) = 12 + 20x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (12 + 20x)\times x - (10x^2 + 12x + 60)\times 1\\
|
||||
&=& - 60 + 10x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 60 + 10x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 60 + 10x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 2400 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 2.449489742783178 \qquad
|
||||
x_2 = 2.449489742783178
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 60 + 10x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 60 + 10x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.449489742783178$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.449489742783178$ et $h = 14.696938456699068$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.372$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $650$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.372$ gramme, le système perd $6\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 650$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.94 u_n - 0.372.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 6.2$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.94$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 656.2 \times 0.94^n - 6.2$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $650 \times 0.94^n - 6.2 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
650 - 440 = 210
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.372 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{210}{0.372} = 565 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 650\\
|
||||
u_1 &=& 0.94\times u_0 - 0.372 = 610.628\\
|
||||
u_2 &=& 0.94\times u_1 - 0.372 = 573.61832
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.94*u-0.372$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 6.2 = 650 + 6.2 = 656.2$
|
||||
\item $v_n = 656.2\times 0.94^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 6.2$ alors $u_n = v_n - 6.2$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 656.2 \times 0.94^n - 6.2
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =656.2 \times 0.94^{20} - 6.2= 184$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
650 \times 0.94^n - 6.2 &<& 440 \\
|
||||
650 \times 0.94^n &<& 440+6.2 \\
|
||||
0.94^n &<& \frac{440+6.2}{650} \\
|
||||
ln(0.94^n) &<& ln\left(\frac{440+6.2}{650}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.94) &<& ln\left(\frac{440+6.2}{650}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+6.2}{650}\right)}{ln0.94} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.94)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/10_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/10_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- MOZET CARBAY Tristan}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
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||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $16m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 8x + 8 + \frac{32}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{8x^2 + 8x + 32}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 32 + 8x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=16$, $h$ doit être égale à $\frac{4}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=16$, $h$ doit être égale à $\frac{4}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||
16 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||
x &=& \frac{16}{h\times 4} = \frac{4}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{4}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{4}{x}\times 4\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 8x + 8 + \frac{32}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 8x + 8 + \frac{32}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{8\times x}{x} + \frac{32}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{8x^2 + 8x + 32}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 8x^2 + 8x + 32 \Rightarrow u'(x) = 8 + 16x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8 + 16x)\times x - (8x^2 + 8x + 32)\times 1\\
|
||||
&=& - 32 + 8x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 32 + 8x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 32 + 8x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 1024 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 2 \qquad
|
||||
x_2 = 2
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 32 + 8x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 32 + 8x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=2$ et $h = 8$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.558$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $550$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
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||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
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||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.558$ gramme, le système perd $9\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 550$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.91 u_n - 0.558.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 6.2$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.91$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 556.2 \times 0.91^n - 6.2$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $550 \times 0.91^n - 6.2 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
550 - 440 = 110
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.558 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{110}{0.558} = 197 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 550\\
|
||||
u_1 &=& 0.91\times u_0 - 0.558 = 499.942\\
|
||||
u_2 &=& 0.91\times u_1 - 0.558 = 454.38922
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.91*u-0.558$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 6.2 = 550 + 6.2 = 556.2$
|
||||
\item $v_n = 556.2\times 0.91^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 6.2$ alors $u_n = v_n - 6.2$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 556.2 \times 0.91^n - 6.2
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =556.2 \times 0.91^{20} - 6.2= 78$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
550 \times 0.91^n - 6.2 &<& 440 \\
|
||||
550 \times 0.91^n &<& 440+6.2 \\
|
||||
0.91^n &<& \frac{440+6.2}{550} \\
|
||||
ln(0.91^n) &<& ln\left(\frac{440+6.2}{550}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.91) &<& ln\left(\frac{440+6.2}{550}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+6.2}{550}\right)}{ln0.91} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.91)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/11_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/11_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- NOE Corentin}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
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||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
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||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $10m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{2}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 10x + 4 + \frac{20}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{10x^2 + 4x + 20}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 20 + 10x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=10$, $h$ doit être égale à $\frac{2}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=10$, $h$ doit être égale à $\frac{2}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||
10 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||
x &=& \frac{10}{h\times 5} = \frac{2}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{2}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{2}{x}\times 5\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 10x + 4 + \frac{20}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 10x + 4 + \frac{20}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{4\times x}{x} + \frac{20}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{10x^2 + 4x + 20}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 10x^2 + 4x + 20 \Rightarrow u'(x) = 4 + 20x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (4 + 20x)\times x - (10x^2 + 4x + 20)\times 1\\
|
||||
&=& - 20 + 10x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 20 + 10x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 20 + 10x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 800 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 1.4142135623730951 \qquad
|
||||
x_2 = 1.4142135623730951
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 20 + 10x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 20 + 10x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.4142135623730951$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.4142135623730951$ et $h = 2.8284271247461902$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.09$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $680$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.09$ gramme, le système perd $5\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 680$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.95 u_n - 0.09.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 1.8$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.95$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 681.8 \times 0.95^n - 1.8$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $680 \times 0.95^n - 1.8 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
680 - 440 = 240
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.09 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{240}{0.09} = 2667 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 680\\
|
||||
u_1 &=& 0.95\times u_0 - 0.09 = 645.91\\
|
||||
u_2 &=& 0.95\times u_1 - 0.09 = 613.5245
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.95*u-0.09$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 1.8 = 680 + 1.8 = 681.8$
|
||||
\item $v_n = 681.8\times 0.95^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 1.8$ alors $u_n = v_n - 1.8$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 681.8 \times 0.95^n - 1.8
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =681.8 \times 0.95^{20} - 1.8= 243$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
680 \times 0.95^n - 1.8 &<& 440 \\
|
||||
680 \times 0.95^n &<& 440+1.8 \\
|
||||
0.95^n &<& \frac{440+1.8}{680} \\
|
||||
ln(0.95^n) &<& ln\left(\frac{440+1.8}{680}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.95) &<& ln\left(\frac{440+1.8}{680}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+1.8}{680}\right)}{ln0.95} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.95)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/12_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/12_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- PAUL Jimmy}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $6m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{2}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 6x + 4 + \frac{12}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{6x^2 + 4x + 12}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 12 + 6x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=6$, $h$ doit être égale à $\frac{2}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=6$, $h$ doit être égale à $\frac{2}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||
6 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||
x &=& \frac{6}{h\times 3} = \frac{2}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{2}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{2}{x}\times 3\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 6x + 4 + \frac{12}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 6x + 4 + \frac{12}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{4\times x}{x} + \frac{12}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{6x^2 + 4x + 12}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 6x^2 + 4x + 12 \Rightarrow u'(x) = 4 + 12x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (4 + 12x)\times x - (6x^2 + 4x + 12)\times 1\\
|
||||
&=& - 12 + 6x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 12 + 6x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 12 + 6x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 288 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 1.414213562373095 \qquad
|
||||
x_2 = 1.414213562373095
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 12 + 6x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 12 + 6x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.414213562373095$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.414213562373095$ et $h = 2.828427124746190$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.297$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $570$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.297$ gramme, le système perd $3\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 570$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.97 u_n - 0.297.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 9.9$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.97$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 579.9 \times 0.97^n - 9.9$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $570 \times 0.97^n - 9.9 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
570 - 440 = 130
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.297 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{130}{0.297} = 438 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 570\\
|
||||
u_1 &=& 0.97\times u_0 - 0.297 = 552.603\\
|
||||
u_2 &=& 0.97\times u_1 - 0.297 = 535.72791
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.97*u-0.297$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 9.9 = 570 + 9.9 = 579.9$
|
||||
\item $v_n = 579.9\times 0.97^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 9.9$ alors $u_n = v_n - 9.9$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 579.9 \times 0.97^n - 9.9
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =579.9 \times 0.97^{20} - 9.9= 305$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
570 \times 0.97^n - 9.9 &<& 440 \\
|
||||
570 \times 0.97^n &<& 440+9.9 \\
|
||||
0.97^n &<& \frac{440+9.9}{570} \\
|
||||
ln(0.97^n) &<& ln\left(\frac{440+9.9}{570}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.97) &<& ln\left(\frac{440+9.9}{570}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+9.9}{570}\right)}{ln0.97} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.97)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/13_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/13_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- PERRIN Jérémy}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $28m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 8x + 14 + \frac{56}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{8x^2 + 14x + 56}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 56 + 8x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=28$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=28$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||
28 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||
x &=& \frac{28}{h\times 4} = \frac{7}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{7}{x}\times 4\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 8x + 14 + \frac{56}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 8x + 14 + \frac{56}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{56}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{8x^2 + 14x + 56}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 8x^2 + 14x + 56 \Rightarrow u'(x) = 14 + 16x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (14 + 16x)\times x - (8x^2 + 14x + 56)\times 1\\
|
||||
&=& - 56 + 8x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 56 + 8x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 56 + 8x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 1792 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 56 + 8x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 56 + 8x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.324$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $680$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.324$ gramme, le système perd $4\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 680$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.96 u_n - 0.324.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 8.1$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.96$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 688.1 \times 0.96^n - 8.1$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $680 \times 0.96^n - 8.1 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
680 - 440 = 240
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.324 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{240}{0.324} = 741 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 680\\
|
||||
u_1 &=& 0.96\times u_0 - 0.324 = 652.476\\
|
||||
u_2 &=& 0.96\times u_1 - 0.324 = 626.05296
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.96*u-0.324$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 8.1 = 680 + 8.1 = 688.1$
|
||||
\item $v_n = 688.1\times 0.96^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 8.1$ alors $u_n = v_n - 8.1$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 688.1 \times 0.96^n - 8.1
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =688.1 \times 0.96^{20} - 8.1= 296$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
680 \times 0.96^n - 8.1 &<& 440 \\
|
||||
680 \times 0.96^n &<& 440+8.1 \\
|
||||
0.96^n &<& \frac{440+8.1}{680} \\
|
||||
ln(0.96^n) &<& ln\left(\frac{440+8.1}{680}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.96) &<& ln\left(\frac{440+8.1}{680}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+8.1}{680}\right)}{ln0.96} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.96)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/14_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/14_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- PROST Maxime}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
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||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $14m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 4x + 14 + \frac{28}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{4x^2 + 14x + 28}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 28 + 4x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=14$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=14$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 2 \\
|
||||
14 &=& h\times x \times 2 \\
|
||||
x &=& \frac{14}{h\times 2} = \frac{7}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{7}{x}\times 2\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 4x + 14 + \frac{28}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 4x + 14 + \frac{28}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{28}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{4x^2 + 14x + 28}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 4x^2 + 14x + 28 \Rightarrow u'(x) = 14 + 8x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (14 + 8x)\times x - (4x^2 + 14x + 28)\times 1\\
|
||||
&=& - 28 + 4x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 28 + 4x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 28 + 4x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 448 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 28 + 4x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 28 + 4x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.072$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $530$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.072$ gramme, le système perd $2\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 530$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.98 u_n - 0.072.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 3.6$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.98$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 533.6 \times 0.98^n - 3.6$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $530 \times 0.98^n - 3.6 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
530 - 440 = 90
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.072 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{90}{0.072} = 1250 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 530\\
|
||||
u_1 &=& 0.98\times u_0 - 0.072 = 519.328\\
|
||||
u_2 &=& 0.98\times u_1 - 0.072 = 508.86944
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.98*u-0.072$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 3.6 = 530 + 3.6 = 533.6$
|
||||
\item $v_n = 533.6\times 0.98^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 3.6$ alors $u_n = v_n - 3.6$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 533.6 \times 0.98^n - 3.6
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =533.6 \times 0.98^{20} - 3.6= 353$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
530 \times 0.98^n - 3.6 &<& 440 \\
|
||||
530 \times 0.98^n &<& 440+3.6 \\
|
||||
0.98^n &<& \frac{440+3.6}{530} \\
|
||||
ln(0.98^n) &<& ln\left(\frac{440+3.6}{530}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.98) &<& ln\left(\frac{440+3.6}{530}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+3.6}{530}\right)}{ln0.98} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.98)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/15_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/15_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- RAYNAUD Stéphane}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
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||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $20m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{10}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 4x + 20 + \frac{40}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{4x^2 + 20x + 40}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 40 + 4x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $\frac{10}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $\frac{10}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 2 \\
|
||||
20 &=& h\times x \times 2 \\
|
||||
x &=& \frac{20}{h\times 2} = \frac{10}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{10}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{10}{x}\times 2\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 4x + 20 + \frac{40}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 4x + 20 + \frac{40}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{20\times x}{x} + \frac{40}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{4x^2 + 20x + 40}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 4x^2 + 20x + 40 \Rightarrow u'(x) = 20 + 8x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20 + 8x)\times x - (4x^2 + 20x + 40)\times 1\\
|
||||
&=& - 40 + 4x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 40 + 4x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 40 + 4x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 640 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 3.1622776601683795 \qquad
|
||||
x_2 = 3.1622776601683795
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 40 + 4x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 40 + 4x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3.1622776601683795$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=3.1622776601683795$ et $h = 31.6227766016837950$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.108$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $500$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.108$ gramme, le système perd $6\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 500$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.94 u_n - 0.108.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 1.8$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.94$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 501.8 \times 0.94^n - 1.8$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $500 \times 0.94^n - 1.8 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
500 - 440 = 60
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.108 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{60}{0.108} = 556 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 500\\
|
||||
u_1 &=& 0.94\times u_0 - 0.108 = 469.892\\
|
||||
u_2 &=& 0.94\times u_1 - 0.108 = 441.59048
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.94*u-0.108$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 1.8 = 500 + 1.8 = 501.8$
|
||||
\item $v_n = 501.8\times 0.94^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 1.8$ alors $u_n = v_n - 1.8$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 501.8 \times 0.94^n - 1.8
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =501.8 \times 0.94^{20} - 1.8= 144$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
500 \times 0.94^n - 1.8 &<& 440 \\
|
||||
500 \times 0.94^n &<& 440+1.8 \\
|
||||
0.94^n &<& \frac{440+1.8}{500} \\
|
||||
ln(0.94^n) &<& ln\left(\frac{440+1.8}{500}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.94) &<& ln\left(\frac{440+1.8}{500}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+1.8}{500}\right)}{ln0.94} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.94)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
|
||||
%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/16_DM_19_10.tex
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281
Tsti2d/DM/DM_19_10/16_DM_19_10.tex
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@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- REY Benjamin}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $12m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{3}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 8x + 6 + \frac{24}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{8x^2 + 6x + 24}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 24 + 8x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=12$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=12$, $h$ doit être égale à $\frac{3}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||
12 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||
x &=& \frac{12}{h\times 4} = \frac{3}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{3}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{3}{x}\times 4\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 8x + 6 + \frac{24}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 8x + 6 + \frac{24}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{6\times x}{x} + \frac{24}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{8x^2 + 6x + 24}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 8x^2 + 6x + 24 \Rightarrow u'(x) = 6 + 16x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (6 + 16x)\times x - (8x^2 + 6x + 24)\times 1\\
|
||||
&=& - 24 + 8x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 24 + 8x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 24 + 8x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 768 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 1.7320508075688772 \qquad
|
||||
x_2 = 1.7320508075688772
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 24 + 8x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 24 + 8x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.7320508075688772$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.7320508075688772$ et $h = 5.1961524227066316$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
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||||
%%% mode: latex
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||||
%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.104$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $530$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.104$ gramme, le système perd $4\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 530$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.96 u_n - 0.104.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 2.6$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.96$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 532.6 \times 0.96^n - 2.6$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $530 \times 0.96^n - 2.6 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
530 - 440 = 90
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.104 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{90}{0.104} = 865 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 530\\
|
||||
u_1 &=& 0.96\times u_0 - 0.104 = 508.696\\
|
||||
u_2 &=& 0.96\times u_1 - 0.104 = 488.24416
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.96*u-0.104$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 2.6 = 530 + 2.6 = 532.6$
|
||||
\item $v_n = 532.6\times 0.96^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 2.6$ alors $u_n = v_n - 2.6$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 532.6 \times 0.96^n - 2.6
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =532.6 \times 0.96^{20} - 2.6= 233$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
530 \times 0.96^n - 2.6 &<& 440 \\
|
||||
530 \times 0.96^n &<& 440+2.6 \\
|
||||
0.96^n &<& \frac{440+2.6}{530} \\
|
||||
ln(0.96^n) &<& ln\left(\frac{440+2.6}{530}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.96) &<& ln\left(\frac{440+2.6}{530}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+2.6}{530}\right)}{ln0.96} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.96)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/17_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/17_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- RONDOT Mathis}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
|
||||
\xsimsetup{
|
||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $4m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{2}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 4x + 4 + \frac{8}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{4x^2 + 4x + 8}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 8 + 4x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=4$, $h$ doit être égale à $\frac{2}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=4$, $h$ doit être égale à $\frac{2}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 2 \\
|
||||
4 &=& h\times x \times 2 \\
|
||||
x &=& \frac{4}{h\times 2} = \frac{2}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{2}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{2}{x}\times 2\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 4x + 4 + \frac{8}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 4x + 4 + \frac{8}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{4\times x}{x} + \frac{8}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{4x^2 + 4x + 8}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 4x^2 + 4x + 8 \Rightarrow u'(x) = 4 + 8x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (4 + 8x)\times x - (4x^2 + 4x + 8)\times 1\\
|
||||
&=& - 8 + 4x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 8 + 4x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 8 + 4x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 128 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 1.4142135623730951 \qquad
|
||||
x_2 = 1.4142135623730951
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 8 + 4x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 8 + 4x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.4142135623730951$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.4142135623730951$ et $h = 2.8284271247461902$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.296$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $680$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.296$ gramme, le système perd $4\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 680$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.96 u_n - 0.296.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 7.4$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.96$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 687.4 \times 0.96^n - 7.4$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $680 \times 0.96^n - 7.4 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
680 - 440 = 240
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.296 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{240}{0.296} = 811 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 680\\
|
||||
u_1 &=& 0.96\times u_0 - 0.296 = 652.504\\
|
||||
u_2 &=& 0.96\times u_1 - 0.296 = 626.10784
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.96*u-0.296$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 7.4 = 680 + 7.4 = 687.4$
|
||||
\item $v_n = 687.4\times 0.96^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 7.4$ alors $u_n = v_n - 7.4$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 687.4 \times 0.96^n - 7.4
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =687.4 \times 0.96^{20} - 7.4= 296$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
680 \times 0.96^n - 7.4 &<& 440 \\
|
||||
680 \times 0.96^n &<& 440+7.4 \\
|
||||
0.96^n &<& \frac{440+7.4}{680} \\
|
||||
ln(0.96^n) &<& ln\left(\frac{440+7.4}{680}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.96) &<& ln\left(\frac{440+7.4}{680}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+7.4}{680}\right)}{ln0.96} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.96)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/18_DM_19_10.tex
Normal file
281
Tsti2d/DM/DM_19_10/18_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,281 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
|
||||
|
||||
\title{DM 2 -- ZENATI Nasser}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
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||||
\xsimsetup{
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||||
solution/print = false
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $35m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 70 + 10x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||
35 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||
x &=& \frac{35}{h\times 5} = \frac{7}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{7}{x}\times 5\times 2\\
|
||||
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{70}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = 10x^2 + 14x + 70 \Rightarrow u'(x) = 14 + 20x
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (14 + 20x)\times x - (10x^2 + 14x + 70)\times 1\\
|
||||
&=& - 70 + 10x^2
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{- 70 + 10x^2}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||
\item Signe de $- 70 + 10x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||
\[
|
||||
\Delta = 2800 > 0
|
||||
\]
|
||||
Il y a donc 2 racines
|
||||
\[
|
||||
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||
\]
|
||||
Et on sait que $- 70 + 10x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||
\item Tableau de variations
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 70 + 10x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.099$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $550$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.099$ gramme, le système perd $3\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = 550$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = 0.97 u_n - 0.099.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 3.3$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.97$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 553.3 \times 0.97^n - 3.3$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $550 \times 0.97^n - 3.3 < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
550 - 440 = 110
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de 0.099 par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{110}{0.099} = 1111 \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& 550\\
|
||||
u_1 &=& 0.97\times u_0 - 0.099 = 533.401\\
|
||||
u_2 &=& 0.97\times u_1 - 0.099 = 517.29997
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.97*u-0.099$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + 3.3 = 550 + 3.3 = 553.3$
|
||||
\item $v_n = 553.3\times 0.97^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + 3.3$ alors $u_n = v_n - 3.3$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = 553.3 \times 0.97^n - 3.3
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =553.3 \times 0.97^{20} - 3.3= 298$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
550 \times 0.97^n - 3.3 &<& 440 \\
|
||||
550 \times 0.97^n &<& 440+3.3 \\
|
||||
0.97^n &<& \frac{440+3.3}{550} \\
|
||||
ln(0.97^n) &<& ln\left(\frac{440+3.3}{550}\right) \\
|
||||
n\times ln(0.97) &<& ln\left(\frac{440+3.3}{550}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+3.3}{550}\right)}{ln0.97} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.97)$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
BIN
Tsti2d/DM/DM_19_10/all_DM_19_10.pdf
Normal file
BIN
Tsti2d/DM/DM_19_10/all_DM_19_10.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
Tsti2d/DM/DM_19_10/corr_DM_19_10.pdf
Normal file
BIN
Tsti2d/DM/DM_19_10/corr_DM_19_10.pdf
Normal file
Binary file not shown.
27
Tsti2d/DM/DM_19_10/tpl_DM_19_10.tex
Normal file
27
Tsti2d/DM/DM_19_10/tpl_DM_19_10.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,27 @@
|
||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||
\usepackage{tasks}
|
||||
\usepackage{myXsim}
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||||
|
||||
\title{DM 2 -- \Var{infos["name"]}}
|
||||
\tribe{Terminale STI2D}
|
||||
\date{20 novembre 2019}
|
||||
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||||
\xsimsetup{
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||||
solution/print = false
|
||||
}
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
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||||
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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||||
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||||
\Block{include "./tpl_optimisation.tex"}
|
||||
\Block{include "./tpl_climatisation.tex"}
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
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||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "master"
|
||||
%%% End:
|
||||
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||||
153
Tsti2d/DM/DM_19_10/tpl_climatisation.tex
Normal file
153
Tsti2d/DM/DM_19_10/tpl_climatisation.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,153 @@
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
|
||||
%#- set pointfix = (r*100/pp).decimal
|
||||
%#- set r = Decimal.random(min_value=0.1, max_value=0.9, digits=1)
|
||||
%- set pp = Decimal.random(min_value=1, max_value=9, digits=0)
|
||||
%- set pointfix = Decimal.random(min_value=1, max_value=10, digits=1)
|
||||
%- set r = pointfix*pp*Decimal("0.01")
|
||||
%- set q = 1 - pp*Decimal("0.01")
|
||||
%- set u0 = Integer.random(min_value=50, max_value=70)*10
|
||||
%- set v0 = u0 + pointfix
|
||||
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
|
||||
|
||||
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $\Var{r}$ gramme de gaz chaque jour.
|
||||
|
||||
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $\Var{u0}$ grammes.
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
|
||||
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
|
||||
|
||||
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
|
||||
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
|
||||
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $\Var{r}$ gramme, le système perd $\Var{pp}\,\%$ de sa masse chaque jour.
|
||||
|
||||
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
|
||||
|
||||
On a donc, $u_0 = \Var{u0}$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
|
||||
on a :
|
||||
\[
|
||||
u_{n+1} = \Var{q} u_n - \Var{r}.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
|
||||
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
|
||||
dans le système.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
|
||||
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
|
||||
Arrondir au gramme près.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + \Var{pointfix}$.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Calculer $v_0$.
|
||||
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\Var{q}$.
|
||||
|
||||
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
|
||||
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \Var{v0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix}$.
|
||||
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Résoudre $\Var{u0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix} < 440$ puis interpréter le résultat.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\subsection*{Partie A}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Quantité à perdre avant recharge
|
||||
\[
|
||||
\Var{u0} - 440 = \Var{u0-440}
|
||||
\]
|
||||
\item À raison d'une perte de \Var{r} par jour. Il faudra recharger dans
|
||||
\[
|
||||
\frac{\Var{u0-440}}{\Var{r}} = \Var{((u0-440)/r).decimal._mo.value | round(0)} \mbox{ jours}
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection*{Partie B}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u_0 &=& \Var{u0}\\
|
||||
%- set u1 = q*u0-r
|
||||
u_1 &=& \Var{q}\times u_0 - \Var{r} = \Var{u1}\\
|
||||
%- set u2 = q*u1-r
|
||||
u_2 &=& \Var{q}\times u_1 - \Var{r} = \Var{u2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{| l |}
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Variables} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
|
||||
\textbf{Entrée} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
|
||||
\textbf{Initialisation}\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
|
||||
\textbf{Traitement} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
|
||||
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $\Var{q}*u-\Var{r}$ \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
|
||||
\textbf{Sortie} \\
|
||||
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $v_0 = u_0 + \Var{pointfix} = \Var{u0} + \Var{pointfix} = \Var{v0}$
|
||||
\item $v_n = \Var{v0}\times \Var{q}^n$
|
||||
\item Comme $v_n = u_n + \Var{pointfix}$ alors $u_n = v_n - \Var{pointfix}$ et donc
|
||||
\[
|
||||
u_n = \Var{v0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix}
|
||||
\]
|
||||
\item $u_{20} =\Var{v0} \times \Var{q}^{20} - \Var{pointfix}= \Var{(v0*q**20 - pointfix)._mo.value | round(0)}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Var{u0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix} &<& 440 \\
|
||||
\Var{u0} \times \Var{q}^n &<& 440+\Var{pointfix} \\
|
||||
\Var{q}^n &<& \frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}} \\
|
||||
ln(\Var{q}^n) &<& ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right) \\
|
||||
n\times ln(\Var{q}) &<& ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right) \\
|
||||
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right)}{ln\Var{q}} \\
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(\Var{q})$ est négatif.
|
||||
|
||||
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
119
Tsti2d/DM/DM_19_10/tpl_optimisation.tex
Normal file
119
Tsti2d/DM/DM_19_10/tpl_optimisation.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,119 @@
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||
%- set Vl = Integer.random("{a}", min_value=2, max_value=10)
|
||||
%- set l = Integer.random("{a}", min_value=2, max_value=5)
|
||||
%- set V = Vl*l
|
||||
%- set Snum = Expression.from_str(str(l*2)+"*x^2 +" + str(Vl*2) + "*x +" + str(V*2))
|
||||
%- set dSnum = Snum.differentiate()*"x" - Snum
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $\Var{V}m^3$. La longueur est aussi fixée à $\Var{l}m$ par le cahier des charges.
|
||||
|
||||
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$\Var{l}m$} -- cycle;
|
||||
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{\Var{Vl}}{x}$.
|
||||
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S(x) = \frac{\Var{Snum}}{x}
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{\Var{dSnum}}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=\Var{V}$, $h$ doit être égale à $\Var{Vl/2}$
|
||||
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=\Var{V}$, $h$ doit être égale à $\Var{Vl/3}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
V &=& h\times x \times \Var{l} \\
|
||||
\Var{V} &=& h\times x \times \Var{l} \\
|
||||
x &=& \frac{\Var{V}}{h\times \Var{l}} = \frac{\Var{Vl}}{h}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times\Var{l}\times2 + h\times \Var{l}\times 2\\
|
||||
S(x) &=& x\times \frac{\Var{Vl}}{x} \times 2 + x\times\Var{l}\times2 + \frac{\Var{Vl}}{x}\times \Var{l}\times 2\\
|
||||
S(x) &=& \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
S(x) &=& \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{\Var{2*l}x\times x}{x} + \frac{\Var{2*Vl}\times x}{x} + \frac{\Var{2*V}}{x}\\
|
||||
S(x) &=& \frac{\Var{Snum}}{x}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||
\[
|
||||
u(x) = \Var{Snum} \Rightarrow u'(x) = \Var{Snum.differentiate()}
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||
\]
|
||||
Donc au numérateur on obtient
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (\Var{Snum.differentiate()})\times x - (\Var{Snum})\times 1\\
|
||||
&=& \Var{dSnum}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
Donc
|
||||
\[
|
||||
S'(x) = \frac{\Var{dSnum}}{x^2}
|
||||
\]
|
||||
\item Tableau de variations de $S$
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
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\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
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\item Signe de $\Var{dSnum}$: c'est un polynôme du 2e degré
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\[
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\Delta = \Var{dSnum.delta} > 0
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\]
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Il y a donc 2 racines
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\[
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x_1 = \Var{dSnum.roots[0]} \qquad
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x_2 = \Var{dSnum.roots[1]}
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\]
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Et on sait que $\Var{dSnum}$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
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\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
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\item Tableau de variations
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$\Var{dSnum}$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $\Var{dSnum.roots[0]}$, $10$}
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\tkzTabLine{d,-, z, +, }
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\tkzTabLine{d,+, , +, }
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\tkzTabLine{d,-, z, +, }
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\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
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\end{tikzpicture}
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\end{itemize}
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\item On a donc une surface minimal pour $x=\Var{dSnum.roots[1]}$ et $h = \Var{Vl*dSnum.roots[1]}$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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