Import all

Tsti2d/Geometrie/Complexe/1B_module_argument.tex

@@ -0,0 +1,73 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Complexes, module et argument}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\section{Module et argument d'un nombre complexe}
+
+Un nombre complexe peut se décrire de façon \textbf{algébrique}. Dans ce cas, il a la forme suivante
+\[
+    z = a + ib
+\]
+où $a$ est sa partie \textbf{réelle} qui décrit sa position horizontalement et $b$ est sa partie \textbf{imaginaire} qui décrit sa position verticalement.
+
+Mais on peut les décrire d'une autre façon.
+
+\subsection*{Définition}
+
+\begin{minipage}{0.6\textwidth}
+Un nombre complexe peut être décrit de façon \textbf{trigonométrique}, il a la forme suivante:
+\[
+    z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))
+\]
+où 
+\begin{itemize}
+    \item $r$ est \textbf{le module} du nombre, c'est sa distance avec l'origine
+    \item $\theta$ est \textbf{l'argument} du nombre, c'est l'angle orienté qu'il fait avec l'axe des abscisses.
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{0.3\textwidth}
+    \begin{tikzpicture}[yscale=.8, xscale=.8]
+        \repereNoGrid{-1}{5}{-1}{5}
+        \draw (0,0) -- (3,3) node [above, midway, sloped] {$r$} node [above right] {$M(a+ib)$};
+        \draw [->] (2,0) arc (0:45:2) node [midway, right] {$\theta$};
+        \draw [dashed] (3,0) node [below] {$a$} -- (3,3);
+        \draw [dashed] (0,3) node [left] {$b$} -- (3,3);
+
+
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+
+\subsection*{Trigonométrique vers algébrique}
+
+On a un nombre complexe sous forme trigonométrique $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$. Sa forme algébrique est alors
+\[
+    a = r\cos(\theta) \mbox{ et } b = r\sin(\theta)
+\]
+
+\paragraph{Exemple:} Forme algébrique de $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$
+
+\afaire{à convertir}
+
+
+
+\subsection*{Algébrique vers trigonométrique}
+
+On a un nombre complexe sous forme algébrique $z = a + ib$. On peut calculer son module et son argument ainsi
+\[
+    r = \sqrt{a^2+b^2} \qquad \mbox{ et } \theta \mbox{ se détermine avec } \qquad \cos(\theta) = \frac{a}{r} \qquad \sin(\theta) = \frac{b}{r}
+\]
+
+\paragraph{Exemple:} Retrouver le module et l'argument de $z = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$
+
+\afaire{à convertir}
+
+\end{document}

Tsti2d/Geometrie/Complexe/1E_module_argument.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Complexes, module et argument}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Une autre façon de repérer les complexes}]
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \begin{itemize}
+            \item $z_A = 2i + 4$
+            \item $z_B = -2i + 1$
+            \item $z_C = i$
+            \item $z_D = -3i - 3$
+            \item $z_E = 2i + 2\sqrt{3}$
+            \item $z_F = -3i + 3$
+            \item $z_G = $
+            \item $z_H = $
+        \end{itemize}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.7\textwidth}
+    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
+        \repere{-5}{5}{-5}{5}
+        \draw (-4,-1) node {$\times$} node[below left] {$G$};
+        \draw (-4,4) node {$\times$} node[below left] {$H$};
+    \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+
+\vfill
+
+\end{document}

Tsti2d/Geometrie/Complexe/2B_forme_exp.tex

@@ -0,0 +1,46 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Complexes, module et argument}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Forme exponentielle}
+
+On a vu que quand on faisait le produit de deux nombres complexes, leurs arguments s'additionnaient. Ce comportement correspond à celui de l'exponentielle. C'est en partie pour cela qu'on définit l'exponentielle complexe de la façon suivante
+\[
+    \cos(\theta) + i \sin(\theta) = e^{i\theta}
+\]
+On retrouve le comportement de l'exponentielle avec la multiplication.:
+\[
+    e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}
+\]
+
+\subsection*{Définition}
+La forme exponentielle d'une nombre complexe de module $r$ (avec $r>0$) et d'argument $\theta$ est 
+\[
+    z = re^{i\theta}
+\]
+
+\subsection*{Propriété}
+Soient $z = re^{i\theta}$ et $z' = r'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle. Alors
+\[
+    z\times z' = re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} = rr'e^{i(\theta+\theta')}
+\]
+
+\subsection*{Exemple}
+Soient $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z' = \sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{2}}$. Calculer
+\[
+    z\times z' = 
+\]
+\afaire{}
+
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Geometrie/Complexe/2E_produits.tex

@@ -0,0 +1,68 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Complexes produits}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Janvier 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Produit de nombres complexes}]
+    Faire le produit des complexes de $A$ à $F$, calculer le module et l'argument des résultats puis les reporter dans les tableaux suivants.
+
+    \begin{tabular}{|c|*{6}{p{0.7cm}|}}
+        \hline
+        Module & A & B & C & D & E & F \\
+        \hline
+        A ($r= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+        B ($r= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+        C ($r= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+        D ($r= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+        E ($r= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+        F ($r= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+    \end{tabular}
+    \hfill
+    \begin{tabular}{|c|*{6}{p{0.7cm}|}}
+        \hline
+        Argument & A & B & C & D & E & F \\
+        \hline
+        A ($\theta= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+        B ($\theta= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+        C ($\theta= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+        D ($\theta= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+        E ($\theta= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+        F ($\theta= \cdots$) & & & & & & \\
+        \hline
+    \end{tabular}
+    
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+
+\vfill
+
+\end{document}

Tsti2d/Geometrie/Complexe/3E_forme_trigo.tex

@@ -0,0 +1,77 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Forme trigonométrique des complexes}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Février 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Mettre sous la forme exponentielle}]
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $z_1 = 1$
+            \item $z_2 = -3i$
+            \item $z_3 = 1 + i\sqrt{3}$
+
+            \item $z_4 = 2i$
+            \item $z_5 = \sqrt{3} + i$
+            \item $z_6 =  10\sqrt{3}i$
+
+            \item $z_7 = 1 - i$
+            \item $z_8 = \sqrt{3} + 3i$
+            \item $z_9 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Mettre sous la forme algébrique}]
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $z_1 = e^{i\pi}$
+            \item $z_2 = e^{-i\frac{\pi}{3}}$
+            \item $z_3 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$
+
+            \item $z_4 = e^{-i\frac{\pi}{2}}$
+            \item $z_5 = 5e^{-i\frac{4\pi}{3}}$
+            \item $z_6 = e^{i\frac{\pi}{2}} + e^{-2i\pi}$
+
+            \item $z_7 = 10e^{i\frac{2\pi}{6}}$
+            \item $z_8 = \frac{1}{2}e^{i\pi}$
+            \item $z_9 = 56e^{-i\frac{\pi}{6}}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Opérations avec la forme exponentielle}]
+    On définit les nombres complexes suivants
+    \[
+        z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{2} \qquad z_2 = 1 - i\sqrt{3} \qquad z_3 = -\sqrt{3} + i
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes.
+        \item Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous forme exponentielle.
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $z_a = z_1 \times z_2$
+                    \item $z_b = \dfrac{z_1}{z_2}$
+                    \item $z_c = z_1 \times z_3$
+                    \item $z_d = \dfrac{z_1}{z_3}$
+                    \item $z_e = z_3 \times z_2$
+                    \item $z_f = \dfrac{z_3}{z_2}$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item Placer le résultat de ces opérations dans un repère.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+
+\end{document}

Tsti2d/Geometrie/Complexe/4E_annales.tex

@@ -0,0 +1,57 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Problèmes résolus avec les complexes}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Février 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Polynésie Juin 2019}]
+    Les résistances et les condensateurs sont des composants électroniques utilisés dans le domaine du son pour concevoir des filtres. 
+
+    Placé en sortie d'un microphone, un filtre atténue plus ou moins les sons selon leur fréquence $f$, exprimée en Hertz (Hz).
+
+    Pour un filtre donné, l'atténuation d'un son se calcule à l'aide de deux nombres complexes $z_R$. 
+
+    Dans tout l'exercice, on suppose que $z_R = 10$ et $z_C = - \dfrac{\np{1000}\sqrt{3}}{f}i$ , où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.. 
+
+    \textbf{Partie A : Effet du filtre sur un son grave}
+
+    On choisit un son grave de fréquence $f = 100$.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Montrer que $z_C = - 10\sqrt{3} i$. 
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer la forme exponentielle de $z_C$. 
+                \item On considère le nombre complexe $Z = z_R + z_C$. On a donc $Z = 10 - 10\sqrt{3} i$. 
+
+                    Déterminer la forme exponentielle de $Z$. 
+                \item On considère le nombre complexe $z_G$ défini par : $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$. 
+
+                    Montrer que $z_G = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- i\frac{\pi}{6}}$. 
+                \item Le module du nombre complexe $z_G$ est appelé gain du filtre. 
+
+                    Donner la valeur exacte du gain du filtre puis une valeur approchée au centième.
+            \end{enumerate} 
+    \end{enumerate}
+
+    \textbf{Partie B : Effet du filtre sur un son aigu }
+
+    On choisit un son aigu de fréquence $f = \np{1000}\sqrt{3}$. 
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Montrer que le nombre complexe $z_G$ défini par $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$ est égal à  $\dfrac{- i}{10 - i}$.
+        \item Déterminer la forme algébrique de $z_G$ . 
+        \item Calculer la valeur exacte du gain du filtre $\left|z_G\right|$  et en donner une valeur approchée au centième. 
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\printexercise{exercise}{1}
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Geometrie/Complexe/4Ebis_annales.tex

@@ -0,0 +1,46 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Problèmes résolus avec les complexes}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Février 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
+\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
+\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
+
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Polynésie Juin 2018}]
+    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.
+
+    On note $\i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
+
+    On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives $z_{\mathrm A}$, $z_{\mathrm B}$ et $z_{\mathrm C}$:
+
+    \[z_{\mathrm A} = \dfrac{\sqrt{2} + \i \sqrt{2}}{\i} \hspace{2cm} z_{\mathrm B} = 2 \e^{\i \frac{\pi}{3}} \hspace{2cm} z_{\mathrm C} = -2\i \e^{-\i\frac{\pi}{6}}\]
+
+    \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier les réponses choisies.\\
+        Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\
+    Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
+
+    \begin{list}{\textbullet}{}
+    \item \textbf{Affirmation 1:} La forma algébrique de $z_{\mathrm{A}}$ est $\sqrt{2}- \i\sqrt{2}$.
+    \item \textbf{Affirmation 2:} Un argument de $z_{\mathrm{C}}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.
+    \item \textbf{Affirmation 3:} Les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O.
+    \item \textbf{Affirmation 4:} O est le milieu du segment [BC]. 
+    \end{list}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+\printexercise{exercise}{1}
+\vfill
+\printexercise{exercise}{1}
+\vfill
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Geometrie/Complexe/index.rst

@@ -0,0 +1,62 @@
+Forme trigonométrique des complexes pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
+#######################################################################################
+
+:date: 2020-02-13
+:modified: 2020-02-13
+:authors: Bertrand Benjamin
+:category: Tsti2d
+:tags: Géométrie, Complexe
+:summary: Tout sur les nombres complexes pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
+
+Étape 1: Module et argument
+===========================
+
+Placer des complexes sur le plan ou on retrouve l'affixe des points.
+
+.. image:: 1E_module_argument.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Repère pour placer les complexes.
+
+J'introduis la notion de module et d'argument.
+
+Les élèves cherchent le module et l'argument de chacun des nombres complexes.
+
+.. image:: 1B_module_argument.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur module et argument
+
+
+Étape 2: Forme exponentielle
+============================
+
+Calculs de modules et d'arguments à partir de la forme algébrique. Multiplication des complexes et recherche du module et de l'argument des résultats.
+
+.. image:: 2E_produits.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Tableau des résultats des multiplications
+
+On donne aux élèves des complexes différents et on résumera au tableau les résultats du points de vue du module et de l'argument pour faire émerger la transformation de la multiplication en addition des arguments et donc à l'exponentielle complexe.
+
+
+Étape 3: Correspondance forme algébrique - forme trigonométrique
+================================================================
+
+Exercices techniques de conversion et de calcul avec les complexes.
+
+.. image:: 3E_forme_trigo.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices technique sur la forme exponentielle
+
+
+Étape 4: Annales
+================
+
+.. image:: 4E_annales.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Annales avec un aspect filtre
+
+
+.. image:: 4Ebis_annales.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Annales Vrai-faux point de vue géométrique
+