Import all

Tsti2d/Probabilite/Loi_Normale_Binomiale/1E_normale.tex

@@ -0,0 +1,67 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Loi normale - exercices}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Technique et calculatrice}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale $\mathcal{N}(20; 5)$. Calculer les probabilités suivantes
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $P(12 \leq X \leq 28)$
+                    \item $P(X \leq 25)$
+                    \item $P(X \geq 22)$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale $\mathcal{N}(100, 12)$. Calculer les probabilités suivantes
+            \begin{multicols}{4}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $P(90 \leq X \leq 120)$
+                    \item $P(X \leq 100)$
+                    \item $P(X \geq 88)$
+                    \item $P(X = 100 )$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Taille des hommes}]
+    On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque homme prélevé au hasard parmi les élèves d'un campus associe sa taille en centimètres. Une étude statistique a montré que $X$ suivait un loi normale $\mathcal{N}(178:10)$.
+
+    Calculer la probabilité des évènements suivants
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{itemize}
+            \item $A$: "a un taille comprise entre 170cm et 180cm"
+            \item $B$: "a un taille supérieur à 180cm"
+            \item $C$: "a un taille inférieur à 150cm"
+            \item $D$: "a un taille supérieur à 100cm"
+        \end{itemize}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Approximation de production}]
+    On s'intéresse au contrôle qualité de la fabrication de tige de métal pour l'aéronautique.
+
+    La procédure est la suivante:
+    \begin{itemize}
+        \item Si la tige mesure entre 39cm et 41cm elle est validée
+        \item Si la tige mesure plus de 41cm, on la donne à un technicien pour la redécouper.
+        \item Si elle fait moins de 39cm, elle est jetée.
+    \end{itemize}
+    De plus, si un barre mesure moins de 35cm, c'est qu'il y a un problème sur la chaine de production qu'il faut alors arrêter.
+
+    Une étude a montré que l'on pouvait associé au processus de fabrication le variable aléatoire $Y$ qui décrit la taille des tiges. Cette variable aléatoire suit une loi normal d'espérance 40 et d'écart type 0.5.
+
+    Calculer la probabilité qu'une tige soit validée, redécoupée, jetée puis que l'on doive arrêter la chaine.
+\end{exercise}
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+\printexercise{exercise}{3}
+\end{document}

Tsti2d/Probabilite/Loi_Normale_Binomiale/2B_modelisation.tex

@@ -0,0 +1,67 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+
+\title{Loi binomiale}
+\date{Mars 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Loi binomiale}
+
+En classe, on a travaillé sur une série d'exercices où l'on retrouvait des situations similaires: une repétition d'évènements identiques. Ce genre de situattion sera modélisé par une loi binomiale, définie ci-dessous.
+
+\subsection*{Définition}
+
+La \textbf{loi de Bernoulli de paramètre $p$} notée $\mathcal{B}(p)$ est la loi de probabilité qui modélise les situations où il n'y a que 2 issues succès (qui a pour valeur 1) ou échec (qui a pour valeur 0). Le paramètre $p$ correspond à la probabilité d'un succès. Elle est donc définie par le tableau suivant
+
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{|c|*{2}{C{2cm}|}}
+        \hline
+        Valeurs & 1 & 0 \\
+        \hline
+        Probabilité & p & 1-p \\
+        \hline
+    \end{tabular}
+\end{center}
+
+\bigskip
+
+On a vu que pour simuler tout un vol, c'est à dire 53 passagers, il fallait répéter 53 fois la loi de Bernoulli. Les répétitions de loi de Bernoulli s'appellent \textbf{schéma de Bernoulli} et sont modéliser par la \textbf{binomiale}.
+
+\subsection*{Définition}
+
+La \textbf{loi Binomiale de paramètre $n$ et $p$} notée $\mathcal{B}(n;p)$ est la loi de probabilité qui modélise la répétition indépendantes et identiques de  $n$ situations modélisées par une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
+
+\bigskip
+
+Ces situations peuvent être représenté par un arbre de probabilité.
+
+\subsubsection*{Exemple}
+
+Dans une classe de 20 élèves, Sarah ne veut pas être interrogée sur son travail. Le professeur interroge au hasard 3 élèves qu'il choisit de façon indépendantes et identiques.
+
+On note $X$ le nombre de fois que Sarah est interrogée. 
+
+\afaire{Quelle loi suit $X$? Représenter la situation avec un arbre de probabilité}
+
+\subsection*{Propriétés}
+
+Soit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ alors
+\begin{itemize}
+    \item L'espérance de $X$ peut être calculée de la manière suivante: $E[X] = n\times p$
+    \item L'écart-type de $X$ se calcule: $\sigma = \sqrt{n p (1-p)}$
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Exemple}
+On reprend la variable aléatoire de l'exemple précédent: $X\sim \mathcal{B}(3, \frac{1}{2})$. Alors
+\begin{itemize}
+    \item L'espérance est de $E[X] = $
+    \item L'écart type est donné par $\sigma = $
+\end{itemize}
+
+\afaire{Faire les calculs}
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Probabilite/Loi_Normale_Binomiale/2E_intro_bino.tex

@@ -0,0 +1,51 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Arbres de probabilités}
+\tribe{1ST}
+\date{Décembre 2019}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\geometry{left=10mm,right=10mm, bottom=8mm, top=10mm}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Jeu de cartes}]
+    On tire 2 cartes au hasard dans un jeu de 54 cartes.
+
+    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de carte rouge tirées.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Représenter les différentes possibilités à l'aide d'un arbre.
+        \item Calculer la probabilité de chaques valeurs possibles pour $X$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Chaîne de production}]
+    Un couple projette d'avoir 3 enfants. D'après les études, il est né 55\% de petite filles l'année dernière.
+
+    On note $X$ le nombre de petite fille que le couple va avoir.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Représenter la situation du couple par un arbre pondéré.
+        \item Calculer la probabilité de chaques valeurs possibles pour $X$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+\end{document}

Tsti2d/Probabilite/Loi_Normale_Binomiale/2E_modelisation_bino.tex

@@ -0,0 +1,55 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Loi binomiale - modélisation}
+\tribe{Tsti2d}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
+
+\begin{document}
+\begin{exercise}[subtitle={Temps de trajet}]
+    Pour aller au travail, je croise 3 feux. En interrogeant les employés municipaux en charge de la voirie, j'ai appris que ces feux étaient indépendants les uns des autres et qu'ils étaient rouges 70\% du temps.
+
+    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de feux rouges que je rencontre en allant travailler.
+    \begin{enumerate}
+        \item Modéliser la situation avec un arbre.
+        \item Construire la loi de probabilité associée à $X$ (c'est un tableau reliant les valeurs possibles prisent par $X$ et la probabilité associée).
+        \item Quelle est la probabilité que je rencontre plus de 2 feux rouges?
+        \item Combien de feux rouge vais-je avoir en moyenne quand je vais au travail?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Absentéisme - pas bien!}]
+    Une entreprise emploie 20 personnes. Une étude statistique a montré qu'un jour donné, la probabilité qu'un employé soit absent est de 0.05. On admet que l'absence d'un employé est indépendante de l'absence des autres.
+    \begin{enumerate}
+        \item On s'intéresse aux absences sur une seule journée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'employés absents.
+            \begin{enumerate}
+                \item Quelle loi de probabilité peut modéliser les valeurs prises par $X$?
+                \item Quelle est la probabilité que 2 employés soient absents?
+                \item Quelle est la probabilité que plus de 10 employés soient absents?
+            \end{enumerate}
+        \item On veut maintenant étudier ces absences sur un mois de 31 jours. On note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jours-employés absents sur le mois.
+            \begin{enumerate}
+                \item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
+                \item Quelle est la probabilité que cette entreprise ait 10jours-employés d'absences?
+                \item Même question pour plus de 5jours-employés.
+                \item Combien de jours-employés absent peut-on envisager en moyenne sur un mois?
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\vfill
+
+\printexercise{exercise}{1}
+\printexercise{exercise}{2}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

Tsti2d/Probabilite/Loi_Normale_Binomiale/3B_approx_normale.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+
+\title{Loi binomiale}
+\date{Mars 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Approximation de la loi normale}
+
+\subsection*{Propriété}
+
+Si $n$ est "grand" et si $p$ n'est ni "trop proche de 1" ni "trop proche de 0" alors, la loi $\mathcal{B}(n;p)$ peut être approximé par la loi normale $\mathcal{N}(\mu; \sigma)$ de même espérance et de même écart-type. C'est-à-dire
+\[
+    \mu = n\times p \qquad \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}
+\]
+
+\subsubsection*{Remarque}
+Dans la pratique, 
+\begin{itemize}
+    \item $n$ pourra être considéré comme grand dès que $n > 30$.
+    \item $p$ n'est ni "trop proche de 1" ni "trop proche de 0" dès que $np > 5$ et $n(1-p) > 5$.
+\end{itemize}
+Mais ces seuils sont souvent adaptés au contexte et à la précision souhaitée.
+
+\end{document}

Tsti2d/Probabilite/Loi_Normale_Binomiale/4E_annales.tex

@@ -0,0 +1,84 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Loi binomiale - modélisation}
+\tribe{Tsti2d}
+\date{Mars 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
+
+\begin{document}
+\arediger{La réponse complète et rédigée d'une de ces deux exercices}
+\begin{exercise}[subtitle={Ascenseur - Polynésie 2018}]
+    Une entreprise assure la maintenance d'un parc de 75 ascenseurs qui fonctionnent de façon indépendante.
+
+    On considère dans cette partie que la probabilité qu’un ascenseur du parc tombe en panne un jour donné est 0,08. 
+
+    On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d’ascenseurs du parc qui tombent en panne un jour donné. 
+     
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
+                \item Calculer la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
+                \item Calculer la probabilité qu’au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
+                \item Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
+            \end{enumerate}
+     
+        \item On appelle Y la variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 6$ et d’écart-type $\sigma = 2,349$. 
+
+            On décide d’approcher la loi de $X$ par la loi  de Y. 
+
+            En utilisant cette nouvelle loi, déterminer la probabilité que : 
+            \begin{enumerate}
+                \item entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné. 
+                \item plus de 10 ascenseurs  tombent en panne un jour donné. 
+            \end{enumerate}
+      
+    \end{enumerate}
+      
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Hyperglycémie - Polynésie 2017}]
+    En 2016, l’Organisation Mondiale de la Santé (OMS) affirme que 5,1 millions de  personnes en France souffraient de diabète, soit 8\% de la population. 
+
+    Chaque personne dispose d’un dossier médical régulièrement actualisé. 
+
+    Dans le corps humain, la régulation du taux de glycémie est assurée grâce à un équilibre permanent entre différentes substances principalement hormonales. 
+
+    Le tableau suivant présente trois états de la glycémie : 
+     
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|c|c|}
+            \hline
+            Hypoglycémie  & À jeun : inférieur à 0,70 g/l \\
+            \hline
+            Glycémie normale  & À jeun : entre 0,70 g/l et 1,10 g/l  \\
+            \hline
+            Hyperglycémie & À jeun : supérieur à 1,10 g/l  \\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+     
+     
+    On note N la variable aléatoire qui, à chaque dossier médical prélevé au hasard dans  la population, associe le taux de glycémie à jeun en g/l de la personne. 
+
+    On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne 0,9 et d’écart type 0,1. 
+
+    Dans le cadre de cet exercice, on considère qu’une personne souffre de diabète si cette personne ne présente pas une glycémie normale à jeun. 
+    \begin{enumerate}
+        \item Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d’une personne en hypoglycémie.  
+        \item Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d’une personne en  hyperglycémie.  
+        \item Déterminer la probabilité que le dossier prélevé soit celui d’une personne souffrant 
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

Tsti2d/Probabilite/Loi_Normale_Binomiale/index.rst

@@ -0,0 +1,58 @@
+Loi Normale et loi Binomiale pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
+######################################################################
+
+:date: 2020-03-31
+:modified: 2020-03-31
+:authors: Bertrand Benjamin
+:category: Tsti2d
+:tags: Probabilité
+:summary: Séquence sur la loi normale et la loi binomiale l'année 2019-2020 en terminale STI2D
+
+Étape 1: Loi normale
+====================
+
+Cours théorique sur la loi normale (cas où on la rencontre, densité et calcule d'une probabilité avec la calculatrice).
+
+Exercices techniques et de mise en situation de la loi normale.
+
+.. image:: 1E_normale.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices sur la loi normale
+
+Étape 2: Loi binomiale
+======================
+
+.. image:: 2E_intro_bino.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices sur les arbres de probabilités
+
+Éxercices simples pour construire des arbres de probabilités. Le but est de réintroduire le schéma de Bernoulli.
+
+On enchaîne ensuite sur le cours: 
+
+.. image:: 2B_modelisation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur la loi binomiale
+
+On complètera ce cours en classe avec des exemples utilisant la calculatrice.
+
+Exercices d'application sur la loi de Bernoulli.
+
+On conclura cette étape avec le calcul de l'espérance et de l'écart-type.
+
+Étape 3: Approximation loi binomiale par loi normale
+====================================================
+
+.. image:: 3B_approx_normale.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur l'approximation de la loi binomiale par la loi normale
+
+Application exercice 25 et 26p339.
+
+Étape 4: Exercices d'annales
+============================
+
+.. image:: 4E_annales.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices d'annales sur la loi binomiale et normale
+