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Tsti2d/Probabilite/Loi_exponentielle/1B_definition.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+
+\title{Loi Exponentielle}
+\date{Avril 2020}
+
+\begin{document}
+
+\section{Loi Exponentielle}
+
+Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure. C'est à dire que le fait que le phénomène ait duré pendant $t$ heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps $t$.
+
+Cette loi est une \textbf{loi continue} qui peut prendre n'importe quelle valeur positive.
+
+\subsection*{Définition}
+
+On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit un \textbf{loi exponentielle de paramètre $\lambda$} ($\lambda > 0$) sur $\intFO{0}{+\infty}$ quand sa densité $f$ est définie sur $\R+$ par
+\[
+    f(t) = \lambda e^{-\lambda t}
+\]
+On note cette loi $\mathcal{E}(\lambda)$.
+
+\subsubsection*{Démonstration}
+\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/10314de5-2ab6-4484-ac04-27611fcf39f1}{ $f(t)$ est une fonction de densité }
+
+\end{document}
+

Tsti2d/Probabilite/Loi_exponentielle/1E_decouverte.tex

@@ -0,0 +1,29 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Loi exponentielle - exercices}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Avril 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Pannes}]
+    Une entreprise fabriquant des téléviseurs a effectué un suivi de la première panne des appareils qu'elle a fabriqués et vendus.
+
+    On a réalisé ci-dessous un histogramme résumant les résultats (on a porté en abscisses la durée en mois et en ordonnées la fréquence). Les classes ont une amplitude de 1 mois.
+
+    \includegraphics[scale=0.6]{./fig/graph_panne}
+
+    Par exemple, 1,5\% des appareils vendus ont subi leur première panne 16 mois après leur achat par le client.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle est la fréquence des appareils qui ont subit leur première panne dès le premier mois?
+        \item Quelle est la fréquence des appareils qui ont subit leur première panne au 36e mois?
+        \item Quelle est la fréquence des appareils qui ont subit leur première panne avant le 16e mois? 36e mois?
+        \item Représenter sur le graphique ces deux quantités.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\end{document}

Tsti2d/Probabilite/Loi_exponentielle/2B_calculer_proba.tex

@@ -0,0 +1,49 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+
+\title{Loi Exponentielle}
+\date{Avril 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Calculer une probabilité}
+
+\subsection*{Propriétés}
+Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Si on note $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ alors
+\begin{itemize}
+    \item Pour tout $x_1 < x_2$ deux réels positif on a 
+        \[
+            P(x_1 \leq X \leq x_2) = \int_{x_1}^{x_2} f(t) \; dt
+        \]
+    \item Pour tout $x_1$ réel positif on a 
+        \[
+            P(X \leq x_1) = \int_{0}^{x_1} f(t) \; dt
+        \]
+    \item Comme la loi exponentielle est une loi continue, alors pour tout $x_1$ réel positif, $P(X=x_1) = 0$
+\end{itemize}
+
+\bigskip
+
+Pour calculer une probabilité avec la loi exponentielle, il nous faut une nouvelle formule de primitive.
+
+\subsection*{Propriété}
+
+Soit $u$ une fonction dérivable sur $\R$ alors
+\[
+    F(x) = e^{u(x)} \mbox{ est une primitive de } f(x) = u'(x) e^{u(x)}
+\]
+
+\subsection*{Exemple}
+Soit $X \sim \mathcal{E}(0.04)$. Calculer $P(1,5\leq X \leq 3.5).
+
+\afaire{Reprendre l'exemple de \href{https://video.opytex.org/videos/watch/e39ffa8e-d1a6-42ef-a732-a5781cb6a538}{la vidéo sur la méthode}}
+
+
+
+
+
+
+\end{document}
+

Tsti2d/Probabilite/Loi_exponentielle/2E_loi_exp.tex

@@ -0,0 +1,69 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Loi exponentielle - exercices}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Avril 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Pannes}]
+    On reprend l'activité commencée précédemment. Cette fois-ci, on modélise temps avant la première panne par une loi exponentielle de paramètres 0.02.
+
+    On note $X$ la variable qui représenter le temps avant la première panne. On a donc $X \sim \mathcal{E} (0.02)$ et le loi de densité est
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle est la formule de la densité, $f(x)$, de $X$?
+        \item Démontrer que $F(x) = -e^{-0.02x}$ est une primitive de $f(x)$.
+        \item Calculer les quantités suivantes
+            \[
+                \int_0^{16} f(x) \; dx \qquad  \qquad
+                \int_0^{36} f(x) \; dx
+            \]
+        \item En déduire les quantités
+            \[
+                P(X \leq 16) \qquad \qquad P(X\leq 36)
+            \]
+        \item Calculer les probabilités suivantes
+            \[
+                P(X \leq 24) \qquad \qquad P(X \leq 12)
+            \]
+        \item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne la première année?
+        \item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne la deuxième année?
+        \item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne après la fin de la 3e année?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Loi exponentielle}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 0.5.
+            \begin{enumerate}
+                \item Quelle est la densité de $x$? On la notera $f(x)$.
+                \item Démontrer qu'une primitive de $f(x)$ est $F(x) = -e^{-0.5x}$
+                \item Calculer les probabilités suivantes
+                    \[
+                        P(X < 1) \qquad P(X < 10) \qquad P(1 < X < 2)
+                    \]
+            \end{enumerate}
+        \item Soit $Y \sim \mathcal{E}(0.01)$, calculer les quantités suivantes
+            \[
+                        P(Y < 1) \qquad P(Y < 10) \qquad P(10 < Y < 20)
+            \]
+        \item Soit $Z \sim \mathcal{E}(0.9)$, calculer les quantités suivantes
+            \[
+                        P(Z < 1) \qquad P(Z < 0.2) \qquad P(0.5 < Z < 0.6)
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={à l'envers}]
+    Soit $T \sim \mathcal{E}(0.02)$.
+
+    Déterminer $x$ tel que $P(T \leq x) = 0.5$.
+
+    Comment interpréter le résultat dans le cadre du premier exercice?
+    
+\end{exercise}
+
+\end{document}

Tsti2d/Probabilite/Loi_exponentielle/3B_esperance.tex

@@ -0,0 +1,30 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+
+\title{Loi Exponentielle}
+\date{Avril 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Espérance}
+
+\subsection*{Propriété}
+
+Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($X \sim \mathcal{E}(\lambda)$) alors
+\[
+    E[X] = \frac{1}{\lambda}
+\]
+
+\subsubsection*{Démonstration}
+\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/de9ae728-94f7-4751-b18b-ecbb30861da8}{Démonstration de la formule de l'espérance}
+
+
+
+
+
+
+
+\end{document}
+

Tsti2d/Probabilite/Loi_exponentielle/3E_proba_esp.tex

@@ -0,0 +1,43 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Loi exponentielle - exercices}
+\tribe{Terminale Sti2d}
+\date{Avril 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Durée de vie}]
+    On note $T$ la variable aléatoire qui modélise la durée de fonctionnement d'un tube fluorescent. On suppose que $T$ suit une loi exponentielle de paramètre 0.0015.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle est la densité de $T$?
+        \item Calculer les probabilités des évènements suivants
+            \begin{itemize}
+                \item A: "la durée de bon fonctionnement est compris entre 600h et 700h"
+                \item B: "la durée de bon fonctionnement est inférieur à 800h"
+                \item C: "Le tube fonctionne encore après 750h"
+                \item D: "Le tube fonctionne a arrêté de fonctionner à l'instant 750h"
+            \end{itemize}
+        \item Calculer l'espérance de $T$. Interpréter le résultat.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Durée de vie - encore}]
+    On note $T$ la variable aléatoire qui modélise la durée de fonctionnement d'un composant électronique. On suppose que $T$ suit une loi exponentielle dont on ignore le paramètre.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Une étude a montré qu'en moyenne la durée de fonctionnement de ce composant est de 5ans. En déduire le paramètre de la loi.
+        \item Quelle est la densité de $T$?
+        \item Calculer les probabilités des évènements suivants
+            \begin{itemize}
+                \item A: "la durée de bon fonctionnement est compris entre 1 et 2ans"
+                \item B: "la durée de bon fonctionnement est inférieur à 3ans"
+                \item C: "Le tube fonctionne encore après 10ans"
+            \end{itemize}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\end{document}

Tsti2d/Probabilite/Loi_exponentielle/index.rst

@@ -0,0 +1,54 @@
+Loi exponentielle pour l'année 2019-2020 en terminale Tsti2d
+############################################################
+
+:date: 2020-04-13
+:modified: 2020-04-13
+:authors: Bertrand Benjamin
+:category: Tsti2d
+:tags: Probabilité, Variable aléatoire, Exponentielle
+:summary: Loi exponentielle pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
+
+
+Étape 1: Découverte de la loi exponentielle
+===========================================
+
+.. image:: 1E_decouverte.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Découverte de la loi exponentielle
+
+Cours:
+
+.. image:: 1B_definition.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Définition de la loi exponentielle
+
+Étape 2: Calcul de probabilité
+==============================
+
+.. image:: 2E_loi_exp.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Calculs de probabilité avec la loi exponentielle
+
+Cours:
+
+.. image:: 2B_calculer_proba.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Calculer une probabilité avec la loi exponentielle
+
+
+Étape 3: Espérance de loi exponentielle
+=======================================
+
+.. image:: 3E_proba_esp.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Calculs de probabilité et d'espérance avec la loi exponentielle
+
+Cours:
+
+.. image:: 3E_proba_esp.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Formule de l'espérance
+
+
+Étape 4: Exercices type bac
+============================