Feat: Cours et exercices sur l'intervalle de fluctuation

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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Intervalles de confiance et de fluctuation (suite)}
\tribe{Terminale TESL}
\date{Mai 2020}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{section}{2}
\section{Intervalle de fluctuation}
\subsection*{Vocabulaire}
\begin{itemize}
\item On étudie un \textbf{caractère} d'une \textbf{population} et on appelle en générale $p$ la proportion d'individus possédant ce caractère dans la population.
\item On prélève un échantille de $n$ individus. On supposera que ce tirage sera équivalent à un tirage avec remise et donc que la taille de la population est très grand par rapport à la taille de l'échantillon.
\item On notera $X_n$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'individus possédant ce caractère et $F_n$ la proportion correspondante.
\end{itemize}
\subsection*{Définition - Intervalle de fluctuation}
En reprenant les notations précédente, on appelle \textbf{intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95\%} l'intervalle
\[
I_n = \intFF{p - 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}{p + 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}
\]
\subsection*{Propriété}
Quand $n$ et $p$ correspondent au cas où la loi binomiale peut être approchée par une loi normale, c'est à dire
\[
n \geq 30 \qquad np \geq 5 \qquad n(1-p) \geq 5
\]
Alors la probabilité que $F_n$ appartienne à $I_n$ est égale à 0,95.
\[
P(F_n \in I_n) = 0,95
\]
\subsubsection*{Exemple}
\afaire{}
On suppose que un quart de la population française est brun. On prélève un échantillon de 100 personnes au hasard. Calculer l'intervalle de fluctuation.
\end{document}

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@ -81,4 +81,26 @@
\item Comment pourrait-on construire un critère pour déterminer si oui ou non une entreprise respecte la parité en se basant uniquement sur ses effectifs? \textit{Cette questions est une question ouverte. C'est à vous de déterminer le ou les critères qui vous semblent pertinents ou à minima un mécanisme de décision}. \item Comment pourrait-on construire un critère pour déterminer si oui ou non une entreprise respecte la parité en se basant uniquement sur ses effectifs? \textit{Cette questions est une question ouverte. C'est à vous de déterminer le ou les critères qui vous semblent pertinents ou à minima un mécanisme de décision}.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{exercise} \end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Construction de l'intervalle de fluctuation}, step={2}, topics={Statistiques}]
On reprend le cadre de l'exercice sur la parité et l'on définit la parité de la façon suivante:
\begin{quote}
Chaque employé a une chance sur deux d'être une femme.
\end{quote}
On concidère une entreprise avec 100 salariés et on suppose qu'elle respecte la parité. Et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de femme dans cette entreprise.
\begin{enumerate}
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$? Préciser ses paramètres.
\item On approche $X$ par une loi normale. Expliquer pourquoi cette opération est possible et préciser les paramètres de cette loi. Dans la suite on concidèrera que $X$ suit cette loi normale.
\item Déterminer $a$ et $b$ pour avoir
\[
P(a < X < b) = 0.95
\]
\item On définit $I = \dfrac{X}{100}$ la variable aléatoire qui modélise la proportion de femme dans cette entreprise. En vous aidant de la question précédente determiner $c$ et $d$ tel que
\[
P(c < I < d) = 0.95
\]
\item Interpréter la question précédente.
\item On condidère une deuxième entreprise qui a elle aussi 100 employés dont 39 femmes. D'après ce qui a été fait précedement, peut-on concidéré qu'elle respecte la parité avec un niveau de confiance de 95\%?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque} \collectexercisesstop{banque}

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@ -2,7 +2,7 @@ Intervalles de fluctuation et de confiance pour l'année 2019-2020 en terminale
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:date: 2020-05-28 :date: 2020-05-28
:modified: 2020-05-28 :modified: 2020-05-29
:authors: Bertrand Benjamin :authors: Bertrand Benjamin
:category: TESL :category: TESL
:tags: Probabilité, Statistiques :tags: Probabilité, Statistiques
@ -28,5 +28,19 @@ Bilan
Étape 2: Intervalles de fluctuation Étape 2: Intervalles de fluctuation
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Prolème ouvert sur le respect de la parité. Les élèves sont amenés à se poser la question de comment déterminer si oui ou non une entreprise respecte la parité. Pour cela ils vont devoir construire un critère en se basant sur les effectifs.
.. image:: ./2E_parite.pdf
:height: 200px
:alt: Problème ouvert sur le respect de la parité.
On pourra espéré que les élèves aient évoqué la notion de proportion et d'intervalle. Nous formaliserons ensuite ces notions.
Bilan
.. image:: ./2B_intervalle_fluctuation.pdf
:height: 200px
:alt: Bilan sur l'intervalle de fluctuation
Étape 3: Intervalles de confiance Étape 3: Intervalles de confiance
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