Feat: Cours et exercices sur l'intervalle de fluctuation
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Intervalles de confiance et de fluctuation (suite)}
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\tribe{Terminale TESL}
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\date{Mai 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\section{Intervalle de fluctuation}
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\subsection*{Vocabulaire}
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\begin{itemize}
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\item On étudie un \textbf{caractère} d'une \textbf{population} et on appelle en générale $p$ la proportion d'individus possédant ce caractère dans la population.
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\item On prélève un échantille de $n$ individus. On supposera que ce tirage sera équivalent à un tirage avec remise et donc que la taille de la population est très grand par rapport à la taille de l'échantillon.
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\item On notera $X_n$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'individus possédant ce caractère et $F_n$ la proportion correspondante.
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\end{itemize}
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\subsection*{Définition - Intervalle de fluctuation}
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En reprenant les notations précédente, on appelle \textbf{intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95\%} l'intervalle
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\[
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I_n = \intFF{p - 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}{p + 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}
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\]
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\subsection*{Propriété}
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Quand $n$ et $p$ correspondent au cas où la loi binomiale peut être approchée par une loi normale, c'est à dire
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\[
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n \geq 30 \qquad np \geq 5 \qquad n(1-p) \geq 5
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\]
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Alors la probabilité que $F_n$ appartienne à $I_n$ est égale à 0,95.
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\[
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P(F_n \in I_n) = 0,95
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\]
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\subsubsection*{Exemple}
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\afaire{}
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On suppose que un quart de la population française est brun. On prélève un échantillon de 100 personnes au hasard. Calculer l'intervalle de fluctuation.
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\end{document}
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@ -81,4 +81,26 @@
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\item Comment pourrait-on construire un critère pour déterminer si oui ou non une entreprise respecte la parité en se basant uniquement sur ses effectifs? \textit{Cette questions est une question ouverte. C'est à vous de déterminer le ou les critères qui vous semblent pertinents ou à minima un mécanisme de décision}.
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\item Comment pourrait-on construire un critère pour déterminer si oui ou non une entreprise respecte la parité en se basant uniquement sur ses effectifs? \textit{Cette questions est une question ouverte. C'est à vous de déterminer le ou les critères qui vous semblent pertinents ou à minima un mécanisme de décision}.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Construction de l'intervalle de fluctuation}, step={2}, topics={Statistiques}]
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On reprend le cadre de l'exercice sur la parité et l'on définit la parité de la façon suivante:
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\begin{quote}
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Chaque employé a une chance sur deux d'être une femme.
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\end{quote}
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On concidère une entreprise avec 100 salariés et on suppose qu'elle respecte la parité. Et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de femme dans cette entreprise.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$? Préciser ses paramètres.
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\item On approche $X$ par une loi normale. Expliquer pourquoi cette opération est possible et préciser les paramètres de cette loi. Dans la suite on concidèrera que $X$ suit cette loi normale.
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\item Déterminer $a$ et $b$ pour avoir
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\[
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P(a < X < b) = 0.95
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\]
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\item On définit $I = \dfrac{X}{100}$ la variable aléatoire qui modélise la proportion de femme dans cette entreprise. En vous aidant de la question précédente determiner $c$ et $d$ tel que
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\[
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P(c < I < d) = 0.95
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\]
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\item Interpréter la question précédente.
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\item On condidère une deuxième entreprise qui a elle aussi 100 employés dont 39 femmes. D'après ce qui a été fait précedement, peut-on concidéré qu'elle respecte la parité avec un niveau de confiance de 95\%?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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\collectexercisesstop{banque}
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@ -2,7 +2,7 @@ Intervalles de fluctuation et de confiance pour l'année 2019-2020 en terminale
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:date: 2020-05-28
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:date: 2020-05-28
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:modified: 2020-05-28
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:modified: 2020-05-29
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:authors: Bertrand Benjamin
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:authors: Bertrand Benjamin
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:category: TESL
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:category: TESL
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:tags: Probabilité, Statistiques
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:tags: Probabilité, Statistiques
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@ -28,5 +28,19 @@ Bilan
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Étape 2: Intervalles de fluctuation
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Étape 2: Intervalles de fluctuation
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Prolème ouvert sur le respect de la parité. Les élèves sont amenés à se poser la question de comment déterminer si oui ou non une entreprise respecte la parité. Pour cela ils vont devoir construire un critère en se basant sur les effectifs.
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.. image:: ./2E_parite.pdf
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:height: 200px
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:alt: Problème ouvert sur le respect de la parité.
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On pourra espéré que les élèves aient évoqué la notion de proportion et d'intervalle. Nous formaliserons ensuite ces notions.
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Bilan
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.. image:: ./2B_intervalle_fluctuation.pdf
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:height: 200px
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:alt: Bilan sur l'intervalle de fluctuation
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Étape 3: Intervalles de confiance
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Étape 3: Intervalles de confiance
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Reference in New Issue