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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{DS 6}
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\tribe{Terminale STI2D}
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\date{13 février 2020}
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\duree{1 heure}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\xsimsetup{
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solution/print = true
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
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\begin{exercise}[subtitle={Éolienne}, points=7]
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Dans le plan complexe muni d'une repère orthonormé direct \Ouv{}, on représente les extrémités des pales d'une éolienne par le point A de coordonnées $(0~;~3)$ et par les points B et C d'affixes respectives:\\
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$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}i$ et
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$z_{\text C} = 3\e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\item Soit $z_{\text A}$ l'affixe du point A.
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\begin{enumerate}
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\item Donner la forme algébrique de $z_{\text A}$.
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\item Donner la forme exponentielle de $z_{\text A}$.
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\end{enumerate}
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\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text B}$.
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\item On admet que lorsque l'hélice tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{2}$ radians dans le sens direct, les points A, B et C sont transformés respectivement en A$'$, B$'$ et C$'$ tels que:
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\begin{list}{\textbullet}{}
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\item A$'$ a pour affixe $z_{\text{A}'} = z_{\text A}\times \e^{i\frac{\pi}{2}}$
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\item B$'$ a pour affixe $z_{\text{B}'} = z_{\text B}\times \e^{i\frac{\pi}{2}}$
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\item C$'$ a pour affixe $z_{\text{C}'} = z_{\text C}\times \e^{i\frac{\pi}{2}}$
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\end{list}
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Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$;
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\item Les questions suivantes sont à justifier avec des résultats numériques et non un raisonnement graphique.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la nature du triangle $AOB$?
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\item Calculer l'angle $\widehat{AOB}$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{flushright}
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\includegraphics[scale=0.25]{./fig/eolienne}
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\end{flushright}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=6]
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\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte.\\
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Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
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Aucune justification n'est demandée.\\
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Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}
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\begin{enumerate}
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\item On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction$f$ définie sur $\intOO{-\infty}{~1} \cup \intOO{1}{+\infty}$.
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\begin{minipage}{.5\textwidth}
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\begin{enumerate}
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\item $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$
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\item $\ds\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x)= -\infty$
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\item $\ds\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x)= -\infty$
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\item $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)= -\infty$
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=.8]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{0.25/(x-1)}
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\tkzVLine[color=red,style=solid,line width=1.2pt]{1}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\item L'équation $\ln(x-2) = -2$ admet pour solution dans $\R$
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}
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\item $0$
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\item $2 + \e^{-2}$
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\item $2.14$
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\item $2-\e^{2}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item On considère la fonction $f$ définie sur $\intOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = \ln(x)$. La primitive $F$ de $f$ sur $\intOO{0}{+\infty}$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par:
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $F(x) = x\ln(x) - 2x + 5$
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\item $F(x) = x\ln(x) + 3$
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\item $F(x) = \frac{3}{x}$
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\item $F(x) = x\ln(x) - x + 4$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item On considère le nombre complexe $z = \frac{1}{2} \e^{-i \frac{\pi}{4}}$. Le nombre $z^2$ est
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\begin{enumerate}
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\item Un nombre réel
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\item Un nombre complexe de partie réelle nulle
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\item Un nombre complexe de module 1
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\item Une nombre complexe de partie imaginaire positive
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Logo}, points=7]
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\parbox{0.63\linewidth}{Le logo utilisé par le conservatoire pour la communication est constitué de deux feuilles symétriques l'une de l'autre, dessinées ci-contre. }\hfill
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\parbox{0.33\linewidth}{\includegraphics[scale=0.2]{./fig/logo}}
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Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0,1~;~1,25] par $f(x) = \dfrac{0,2}{x}$ et $g(x) = - x^2 + 0,2x + 1$.
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On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives de ces fonctions tracées dans le repère orthonormé ci-
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dessous.
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On admet que ces deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent en deux points.
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.25]{./fig/graph_logo}
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\end{center}
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La feuille gauche du logo correspond à la partie grisée du plan, délimitée par ces deux courbes.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Vérifier par le calcul que $0,2$ est une solution de l'équation $f(x) = g(x)$.
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\item Déterminer graphiquement la seconde solution de cette équation.\item
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\begin{enumerate}
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\item Interpréter graphiquement l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0,2}^1 g(x) \:\text{d}x$.
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\item Donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-2}$ près.
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0,1~;~1,25] par $F(x) = \dfrac{1}{5} \ln (x)$ est une primitive sur l'intervalle [0,1~;~1,25] de la fonction $f$.
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\item Calculer la valeur exacte de $J =\displaystyle\int_{0,2}^1 f(x) \:\text{d}x$.
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\end{enumerate}
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\item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche (schéma, calculs, explications...) même incomplète sera valorisée} \\
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On admet que la courbe $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle [0,2~;~1].
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L'unité choisie sur chacun des axes est de 2,5 cm.
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En déduire, au cm$^2$ près, une valeur approchée de l'aire totale du logo.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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