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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Limites des fonctions polynômes}, step={1}, topics={Limite}]
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Retrouver les limites suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} 3x^2 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} -5x^2 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} x^2 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} x^2 + 1= $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} 0.1x^2 - 100= $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 + x = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 - x + 1 = $
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Limites des fonctions de référence}, step={1}, topics={Limite}]
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Retrouver les limites suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} -2e^x = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x + 1 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} 1 - 0.1e^x = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+} \ln(x) = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+} \ln(x) + 10 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(x) + 3= $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} -2\ln(x) = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} 2\times\frac{1}{x} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0-} \frac{10}{x}= $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{-2}{x}= $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{5}{x} + 1 = $
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Limites de polynômes avec les puissances}, step={2}, topics={Limite}]
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Retrouver les limites suivantes en $+\infty$ et $-\infty$ des fonctions suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = x^2 - x + 1 $
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\item $f(x) = (x^2 - x + 1)^3 $
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\item $f(x) = (-2x + 1)^2 $
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\item $f(x) = x^3 - x $
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\item $f(x) = (x^3 - x)^3 $
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\item $f(x) = 3x - 2x^5 $
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\item $f(x) = (-4x + 2)^3 $
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\item $f(x) = (-x^2 - x + 1)^2 $
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\item $f(x) = (x^2 - x)^2 $
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Limites de fonctions avec les puissances}, step={2}, topics={Limite}]
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Retrouver les limites suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} (e^x)^2 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} (e^x)^3 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} (e^x)^2 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} (\ln(x))^2= $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0} (\ln(x))^3 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0} (\ln(x))^2 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} (\dfrac{1}{x})^3 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+} (\dfrac{1}{x})^2 = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0-} (\dfrac{1}{x})^2 = $
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Limites de fractions rationnelles}, step={3}, topics={Limite}]
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Retrouver les limites suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x + 1}{x^2 - 3} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4x^3 - 12}{2x^2 - 3} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x + 1}{5x - 3} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{0.4x+1}{0.2x^2 - 3} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^3 + 3x^2 +1}{x^5 + 2x - 3} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x+2x^2}{3x^2 - 3} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{x+1}{x^2 - 3} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 4+} \frac{x+1}{x^2 - 3} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 1-} \frac{x+1}{x - 1} = $
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction rationnelle}, step={3}, topics={Limite}]
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On souhaite étudier la fonction $f(x)$ définie sur $\intOO{-\infty}{1}\cup\intOO{1}{+\infty}$ par
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\[
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f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la valeur interdite de $f$.
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\item Calculer la dérivé de $f$.
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\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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\item Compléter le tableau de variation en y ajoutant les limites que vous justifierez.
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\item En vous aidant de la calculatrice, tracer l'allure de la courbe de $f$ et noter les asymptotes.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Composée avec une exponentielle}, step={4}, topics={Limite}]
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Retrouver les limites suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{2x + 1} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{-4x - 10} = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{2x^3 + 2x - 1}$
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{\frac{3}{x}}$
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 3} e^{5x + 2}= $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 1+} e^{\frac{1}{x-1}}= $
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Solution d'équations différentielles}, step={4}, topics={Limite}]
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\begin{enumerate}
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\item On souhaite étudier la solution de l'équation différentielle
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\[
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\begin{cases}
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y' = -2y\\
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y(0) = 10
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\end{cases}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la solution de cette équations.
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|
\item Déterminer la limite en $+\infty$ de la solution.
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\end{enumerate}
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|
\item On souhaite étudier la solution de l'équation différentielle
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\[
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\begin{cases}
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|
y' = 10y\\
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|
y(0) = 1
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\end{cases}
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|
\]
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\begin{enumerate}
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|
\item Déterminer la solution de cette équations.
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|
\item Déterminer la limite en $+\infty$ de la solution.
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\end{enumerate}
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|
\item On souhaite étudier la solution de l'équation différentielle
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|
\[
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\begin{cases}
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|
y' = -2y + 10\\
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|
y(0) = 3
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\end{cases}
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|
\]
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\begin{enumerate}
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|
\item Déterminer la solution de cette équations.
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|
\item Déterminer la limite en $+\infty$ de la solution.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Composée avec un Logarithme}, step={4}, topics={Limite}]
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Retrouver les limites suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(2x + 1) = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 1+} \ln(x-1) = $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0} x + \ln(x)= $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x + \ln(x)= $
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln\frac{2x+1}{x-1}$
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\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \ln\frac{-5x^2 + 2}{10x^2 + x + 1}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Composée avec un Logarithme}, step={4}, topics={Limite}]
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Soit $f$ la fonction définie sur $\intOO{0}{+\infty}$ pas
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\[
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f(x) = 1 + 2\frac{\ln x}{x}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
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\[
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f'(x) = \frac{2 - 2\ln x}{x^2}
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|
\]
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\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.
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|
\item Compléter le tableau de variations en y ajoutant les limites et les valeurs remarquables.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Vitesse de rotation}, step={5}, topics={Limite}]
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% Polynésie Sept 2018 Ex 4
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On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par :
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\[w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146.\]
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On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $w(0)$.
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\item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
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|
\end{enumerate}
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|
\item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle
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|
$[0~;~+ \infty[$.
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$.
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|
\item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
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|
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
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|
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 .
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\end{enumerate}
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|
\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de
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$150$~rad.s$^{-1}$.
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On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.
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Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ :
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\[\dfrac{1}{200}y' + y = 146\]
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où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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|
\item
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|
\begin{enumerate}
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\item Résoudre cette équation différentielle.
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\item Vérifier que la fonction $w$ étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0) = 150$.
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|
\end{enumerate}
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|
\item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $w$, déterminés dans la \textbf{partie A}.
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\item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée
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lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$.
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|
Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur
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exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.
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|
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Carbon 14}, step={5}, topics={Limite}]
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% Nouvelle Calédone Novembre 2018 Ex1
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\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. }
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\smallskip
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Les organismes vivants contiennent naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant des rayons cosmiques, qui est constamment renouvelé et qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.
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À leur mort, l'assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre.
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\smallskip
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On note $f(t)$ la concentration en carbone 14 présent dans un organisme à l'instant $t$ après sa mort (t exprimé en milliers d'années).
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\bigskip
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\textbf{Partie A :}
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\medskip
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On admet que $f$ est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle :
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\[ y' = - 0,124y \qquad (E).\]
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\smallskip
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\begin{enumerate}
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|
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
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\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 15,3$.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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|
\textbf{Partie B :}
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\medskip
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|
On admet que la fonction $f$ est définie par $f(t) = 15,3\text{e}^{-0,124t}$ sur
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|
$[0~;~+\infty[$.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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|
\item Déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
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|
\item Déterminer la limite de $f$ au voisinage de l'infini.
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Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
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|
\end{enumerate}
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\bigskip
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|
\textbf{Partie C :}
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\medskip
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On rappelle que la fonction $f$ donnée dans la partie B donne la concentration en carbone 14 dans un organisme après sa mort en fonction de $t$ (en milliers d'années).
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Des archéologues ont trouvé des fragments d'os présentant une concentration en carbone 14 égale à $7,27$~unités.
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|
Justifier que l'on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à \np{6000}~ans.
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|
\item Lorsque la concentration en carbone 14 d'un organisme devient inférieure à $0,3$\,\% de sa valeur initiale on ne peut pas dater raisonnablement à l'aide du carbone 14.
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|
Déterminer l'âge à partir duquel un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Octane}, step={5}, topics={Limite}]
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% Métropole Mai 2019 Ex 3
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L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
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Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane.
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|
La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
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|
du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
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|
l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
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\[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
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|
À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
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|
|
|
\begin{enumerate}
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|
\item
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
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|
\item Donner $f(0)$.
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|
\item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
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|
\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
|
|
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
|
|
\item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
|
|
\end{enumerate}
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|
\item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
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|
\item Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
|
|
|
|
Interpréter le résultat dans le contexte.
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|
|
|
\item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
\collectexercisesstop{banque}
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