\begin{exercise}[subtitle={Vitesse de rotation}, step={5}, topics={Limite}]
% Polynésie Sept 2018 Ex 4
On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par :
\[w(t)=4\text{e}^{-200t}+146.\]
On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.
\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $w(0)$.
\item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
\end{enumerate}
\item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle
$[0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$.
\item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 .
\end{enumerate}
\end{enumerate}
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\textbf{Partie B}
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On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de
$150$~rad.s$^{-1}$.
On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.
Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ :
\[\dfrac{1}{200}y' + y =146\]
où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde.
\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre cette équation différentielle.
\item Vérifier que la fonction $w$ étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0)=150$.
\end{enumerate}
\item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $w$, déterminés dans la \textbf{partie A}.
\item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée
lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$.
Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur
exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. }
\smallskip
Les organismes vivants contiennent naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant des rayons cosmiques, qui est constamment renouvelé et qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.
À leur mort, l'assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre.
\smallskip
On note $f(t)$ la concentration en carbone 14 présent dans un organisme à l'instant $t$ après sa mort (t exprimé en milliers d'années).
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\textbf{Partie A :}
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On admet que $f$ est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle :
\[ y' =-0,124y \qquad(E).\]
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\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0)=15,3$.
\end{enumerate}
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\textbf{Partie B :}
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On admet que la fonction $f$ est définie par $f(t)=15,3\text{e}^{-0,124t}$ sur
$[0~;~+\infty[$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Déterminer la limite de $f$ au voisinage de l'infini.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
\end{enumerate}
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\textbf{Partie C :}
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On rappelle que la fonction $f$ donnée dans la partie B donne la concentration en carbone 14 dans un organisme après sa mort en fonction de $t$ (en milliers d'années).
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\begin{enumerate}
\item Des archéologues ont trouvé des fragments d'os présentant une concentration en carbone 14 égale à $7,27$~unités.
Justifier que l'on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à \np{6000}~ans.
\item Lorsque la concentration en carbone 14 d'un organisme devient inférieure à $0,3$\,\% de sa valeur initiale on ne peut pas dater raisonnablement à l'aide du carbone 14.
Déterminer l'âge à partir duquel un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.
L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane.
La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
\[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
À l'instant $t =0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
\item Donner $f(0)$.
\item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t)=0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds\lim_{t\to+\infty} f(t)$.
Interpréter le résultat dans le contexte.
\item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
