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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DS 5}
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\tribe{1ST}
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\date{17 janvier 2020 \hfill 40minutes}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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%\geometry{left=10mm,right=10mm, top=5mm}
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin{exercise}[subtitle={Lave vaiselle}, points=6]
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Une étude a été menée sur les acheteurs de lave vaisselle. Cette étude montre que après un achat, 10\% des acheteurs ramènent le lave vaisselle pour se faire rembourser.
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On choisit au hasard un acheteur.
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On note $A$ l'évènement: "le propriétaire ramène le lave vaisselle pour se faire rembourser."
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On note $p$ la probabilité de l'évènement $A$.
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\begin{enumerate}
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\item Donner la valeur de $p$.
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\item Montrer que cette expérience aléatoire correspond à une épreuve e Bernoulli et donner, sous forme d'un tableau, la loi associée.
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\end{enumerate}
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On choisit à présent au hasard 3 acheteurs. On admet que ce correspond à reproduire 3 fois l'expérience précédente dans des conditions identiques et indépendantes. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de client qui ramène leur lave vaisselle.
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\begin{enumerate}[resume]
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\item Représenter cette expérience par un arbre de probabilité.
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\item Calculer la probabilité qu'aucun acheteur n'ai rapporté sa machine à laver pour se faire rembourser. On arrondira le résultat au centième.
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\item Calculer la probabilité que plus de 2 acheteurs aient rapporté leur machine pour se faire rembourser. On arrondira le résultat au centième.
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\item Calculer $P(X\leq1)$
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item D'après l'énoncé $p=10\% = 0.1$
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\item Cette expérience est une expérience de Bernoulli car il y a 2 issues possibles: l'acheteur ramène le lave vaisselle (succès) ou pas (échec).
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|}
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\hline
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Issues & Ramène (1) & Garde (0) \\
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\hline
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Probabilite & 0.1 & 0.9 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\item Chaque acheteur a 2 choix: ramener ou non donc chaque étage de notre arbre a 2 branches. Comme il y a 3 acheteurs, cela revient à reproduire 3 fois l'expérience donc l'arbre a 3 étages.
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Dans l'arbre, on note $A$ si le propriétaire ramène le lave vaisselle, et $\bar{A}$ sinon.
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
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\node {$\bullet$}
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child {node {$A$}
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child {node {$A$}
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child {node {$A$}
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edge from parent
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node[above] {0.1}
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|
}
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child[missing] {}
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child {node {$\bar{A}$}
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|
edge from parent
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|
node[above] {0.9}
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|
}
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|
edge from parent
|
|
node[above] {0.1}
|
|
}
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|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {$\bar{A}$}
|
|
child {node {$A$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.1}
|
|
}
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|
child[missing] {}
|
|
child {node {$\bar{A}$}
|
|
edge from parent
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|
node[above] {0.9}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.9}
|
|
}
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|
edge from parent
|
|
node[above] {0.1}
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|
}
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|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {$\bar{A}$}
|
|
child {node {$A$}
|
|
child {node {$A$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.1}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {$\bar{A}$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.9}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.1}
|
|
}
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|
child[missing] {}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {$\bar{A}$}
|
|
child {node {$A$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.1}
|
|
}
|
|
child[missing] {}
|
|
child {node {$\bar{A}$}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.9}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.9}
|
|
}
|
|
edge from parent
|
|
node[above] {0.9}
|
|
}
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;
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\end{tikzpicture}
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\item Probabilité qu'aucun acheteur n'ai ramené le lave vaisselle ($X=0$).
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C'est la branche la plus à droite.
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\[
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P(X=0) = 0.9\times 0.9\times 0.9 =0.729
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|
\]
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|
\item
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\[
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|
P(X\geq2) = P(X=2) + P(X=3) = 3\times 0.1\times0.1\times 0.9 + 0.1\times 0.1\times 0.1 = 0.028
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|
\]
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|
\item
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|
\[
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|
P(X\leq1) = P(X=0) + P(X+1) = 0.9^3 + 3\times0.1\times0.9^2 = 0.972
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|
\]
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|
On aurait pu aussi faire
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\[
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|
P(X\leq1) = 1 - P(X\geq2) = 1 - 0.028 = 0.972
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\]
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\end{enumerate
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Nombre de malades}, points=6]
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Une épidémie a frappé les habitants d'une ville. On s'intéresse à la progression de cette épidémie en fonction du temps. On modélise cette évolution à l'aide d'une fonction $f$ définie sur $\intFF{0}{30}$ que l'on a tracer sa représentation graphique $\mathcal{C}_f$ ci-dessous.
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Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points $A(4;400)$, et $B(27;2200)$ sont également tracées.
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\begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=0.5]
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\tkzInit[xmax=32,xstep=1,
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ymax=4500,
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ystep=200]
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\tkzAxeX[right]
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\tkzAxeY[above]
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\tkzGrid
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\tkzFct[color=red,domain=0:32, very thick]{-x**3+30*x**2}
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\tkzFct[color=black,domain=0:14, very thick]{192*(x-4)+416}
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\draw (4,2) node {$\times$} node [above left] {$A$};
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\tkzFct[color=black,domain=22:30, very thick]{-567*(x-27)+2187}
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\draw (27,11) node {$\times$} node [above right] {$B$};
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\end{tikzpicture}
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Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la valeur de $f(27)$? Que signifie cette valeur?
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\item Lire graphiquement la valeur de $f'(27)$.
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\item Calculer le taux de variation de $f$ entre 4 jours et 16 jours. Que signifie cette valeur?
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\item Au bout de combien de jours, l'épidémie a atteint son maximum? Combien y avait-il alors de malades?
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\item Déterminer le nombre de jours durant lesquels le nombre de malades est supérieur ou égal à 25\% du pic de l'épidémie.
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\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 3400$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item $f(27) = \np{2400}$. Cela signifie que au bout de 27 jours, il y avait \np{2400} malades.
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\item $f'(27) = -600$ (quand on se déplace de 1 à droite, on descend de 3 graduations pour atteindre la tangente et 3 graduations font 600).
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\item
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\[
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\frac{f(16)-f(4)}{16-4} = \frac{3600 - 400}{16-4} = 266
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\]
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Cela signifie qu'entre le 4e et le 16e jours, il y a eu en moyenne 266 nouveaux malades par jour.
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\item Le maximum a été atteint en 20jours avec \np{4000} malade.
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\item 25\% du pic correspond à 25\% de \np{4000} soit \np{1000} malade.
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On remarque que l'on atteint \np{1000} malades à 6,5jours et qu'on repasse en dessous à 28,5jours soit environ 22 jours.
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\item $f(x) = 3400$ pour $x = 15$ et $x = 24$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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