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\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[francais,bloc,completemulti]{automultiplechoice}
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\usepackage{base}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=25mm}
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\begin{document}
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\exemplaire{2}{
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%%% debut de l'en-tête des copies :
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\noindent{\bf QCM \hfill DS3 - Tsti2d}
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\begin{minipage}{.4\linewidth}
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\centering\Large\bf DS3 - Tsti2d \\ 28/11/2019
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\normalsize Durée : 55 minutes.
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{.6\linewidth}
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\champnom{%
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\fbox{
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\begin{minipage}{0.8\linewidth}
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Nom, prénom:
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\vspace*{.5cm}\dotfill
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\vspace*{1mm}
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\end{minipage}
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}
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}
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\AMCcodeGridInt[h]{etu}{2}
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\end{minipage}
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\begin{center}\em
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Aucun document n'est autorisé.
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%L'usage de la calculatrice est interdit.
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%Les questions faisant apparaître le symbole \multiSymbole{} peuvent présenter zéro, une ou plusieurs bonnes réponses.
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\end{center}
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%%% fin de l'en-tête
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\section*{QCM (répondre sur le sujet)}
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\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte.\\
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Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse fait perdre 0.25poinst. Plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
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Aucune justification n'est demandée.}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{question}{UnifBase}
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Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $\intFF{5}{30}$ Alors $P(10 < X < 15)=$
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\begin{reponseshoriz}
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\bonne{0.2}
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\mauvaise{5}
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\mauvaise{0.25}
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\mauvaise{Impossible}
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\end{reponseshoriz}
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\end{question}
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\begin{question}{UnifComp}
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Soit $a$ un nombre réel. La variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $\intFF{3}{a}$. On sait que $P(X<7) = 0.8$.
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Alors la valeur de $a$ est
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\begin{reponseshoriz}
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\bonne{8}
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\mauvaise{7,2}
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\mauvaise{9}
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\mauvaise{8.2}
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\end{reponseshoriz}
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\end{question}
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\begin{question}{PScoord}
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Dans le plan avec un repère, on considère les deux vecteurs suivants définis par leurs coordonnées:
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\[
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\vec{u} \vectCoord{2}{-1} \qquad \vec{v} \vectCoord{-3}{-1}
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\]
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Alors le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ vaut:
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\begin{multicols}{2}
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\begin{reponses}
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\bonne{le nombre 5}
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\mauvaise{le nombre 7}
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\mauvaise{le vecteur $\vectCoord{-6}{1}$ }
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|
\mauvaise{le vecteur $\vectCoord{6}{-1}$ }
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|
\end{reponses}
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|
\end{multicols}
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|
\end{question}
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\begin{question}{PSangle}
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Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que
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\[
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||\vec{u}|| = 5 \qquad ||\vec{v}|| = 8 \qquad \vec{u}.\vec{v} = -10
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\]
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Alors l'angle $(\vec{u}, \vec{v})$ vaut environ en radian
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\begin{reponseshoriz}
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\bonne{1.82}
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\mauvaise{-0.25}
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\mauvaise{1.31}
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|
\mauvaise{0.25}
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\end{reponseshoriz}
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|
\end{question}
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\begin{question}{PSlinear}
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Pour tout $x$ nombre réel,
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\[
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2\cos\left(\dfrac{2x}{3} - \dfrac{\pi}{6}\right)
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|
\]
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vaut
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\begin{reponses}
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\bonne{$\sqrt{3} \cos\left(\dfrac{2}{3}x\right) + \sin \left(\dfrac{2}{3}x\right)$}
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\mauvaise{$\sqrt{3} \cos\left(\dfrac{2}{3}x\right) - \sin \left(\dfrac{2}{3}x\right)$}
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|
\mauvaise{$\cos\left(\dfrac{2}{3}x\right) + \sqrt{3}\sin \left(\dfrac{2}{3}x\right)$}
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|
\mauvaise{$\cos\left(\dfrac{2}{3}x\right) - \sqrt{3} \sin \left(\dfrac{2}{3}x\right)$}
|
|
\end{reponses}
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|
\end{question}
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\begin{question}{lnFct}
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Soit $x$ un réel strictement positif. Alors $\ln(2x+2) - \ln(x+1)$ vaut
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\begin{multicols}{2}
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\begin{reponses}
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\bonne{$\ln(2)$}
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\mauvaise{$\ln(x+1)$}
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|
\mauvaise{$\dfrac{ln(2x+2)}{ln(x+1)}$}
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\mauvaise{$2$}
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\end{reponses}
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|
\end{multicols}
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|
\end{question}
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\begin{question}{lnEq}
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Sur $I=\intOO{0.5}{+\infty}$, l'équation
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\[
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2\ln(2x-1) - \ln(x+5) = 0
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\]
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|
a
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\begin{multicols}{2}
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\begin{reponses}
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\bonne{0 solution}
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\mauvaise{1 solution}
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\mauvaise{2 solutions}
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\mauvaise{On ne peut pas savoir}
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\end{reponses}
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\end{multicols}
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|
\end{question}
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\begin{question}{derivation}
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La dérivé de $f(x) = \dfrac{x^2+2}{x-1}$ est
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\begin{multicols}{2}
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\begin{reponses}
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\bonne{$\dfrac{x^2-2x-2}{(x-1)^2}$}
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|
\mauvaise{$\dfrac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$}
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|
\mauvaise{$\dfrac{3x^2-2x-2}{(x-1)^2}$}
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|
\mauvaise{$\dfrac{3x^2+2x-2}{(x-1)^2}$}
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|
\end{reponses}
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\end{multicols}
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\end{question}
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\end{multicols}
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\begin{question}{Derive}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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On considère une fonction $f$ dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est tracée ci-contre:
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Parmi les trois courbes ci-dessous, laquelle est la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$?
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\includegraphics[scale=0.2]{./fig/f}
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\end{minipage}
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\begin{reponseshoriz}
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\mauvaise{\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fp1}}
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\mauvaise{\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fp2}}
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\bonne{\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fp3}}
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\end{reponseshoriz}
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\end{question}
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\begin{question}{tableau}
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On considère la fonction $f$ dont le tableau de variation et le tableau de signe sont donnés ci-dessous.
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%\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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% \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$x$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$, -1, 0, 1, $+\infty$}
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% \tkzTabVar{- / , +D+//, -/, +D-//, +/ }
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%\end{tikzpicture}
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|
%\hfill
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%\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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|
% \tkzTabInit[lgt=1,espcl=1]{$x$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$, $-1$, $0$, $2$, $+\infty$}
|
|
% \tkzTabLine{,+, d, +, d, -, z, +}
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%\end{tikzpicture}
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\includegraphics[scale=0.3]{./fig/tblx}
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Quelle courbe est susceptible de représenter $f$?
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\begin{multicols}{2}
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\begin{reponseshoriz}
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\mauvaise{\includegraphics[scale=0.25]{./fig/tbl1}}
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\mauvaise{\includegraphics[scale=0.25]{./fig/tbl2}}
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\bonne{\includegraphics[scale=0.25]{./fig/tbl3}}
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\mauvaise{\includegraphics[scale=0.25]{./fig/tbl4}}
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\end{reponseshoriz}
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\end{multicols}
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\end{question}
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\clearpage
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\section*{Exercice sur feuille}
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Les abeilles assurent la reproduction de plus des trois-quarts des espèces végétales du globe terrestre grâce à la pollinisation. Depuis une dizaine d'années, on constate une diminution du nombre de colonies d'abeilles à cause de l'évolution du climat et de l'utilisation d'insecticides pour protéger certaines cultures.
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\bigskip
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\textbf{Partie A}
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\medskip
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On observe une colonie constituée de \np{40000}~abeilles. On estime que, dans cette colonie, \np{1000}~abeilles naissent chaque jour et $500$ décèdent chaque jour de manière naturelle.
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Déterminer, en justifiant, le nombre de jours nécessaires pour que la population de cette colonie atteigne les \np{50000}~individus.
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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Après ce premier temps d'observation, un insecticide est régulièrement pulvérisé dans le champ près duquel les abeilles butinent.
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On estime alors à 20\;\% la proportion d'abeilles de la colonie qui décèdent chaque jour à cause de cet insecticide. On suppose que le nombre de naissances et de décès de manière naturelle reste identique (\np{1000} naissances et $500$ décès de manière naturelle).
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Pour tout entier naturel $n$, on note un le nombre d'individus de la colonie n jours après le début des pulvérisations de l'insecticide. On a donc $u_0 = \np{50000}$.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item On modélise cette situation par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:
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\[u_{n+1} = 0,8u_n + 500.\]
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Calculer le nombre d'abeilles dans la colonie un jour après le début des pulvérisations.
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\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n = u_n - \np{2500}$.
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1} = 0,8v_n$.
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\item En déduire la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
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\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n = \np{47500} \times 0,8^n + \np{2500}$.
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\end{enumerate}
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\item Des études ont montré qu'une colonie d'abeilles n'est plus en mesure d'assurer sa survie si elle compte moins de \np{5000}~individus.
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La colonie étudiée va-t-elle survivre ? Justifier la réponse.
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\end{enumerate}
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|
\AMCaddpagesto{4}
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}
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\end{document}
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