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5.1 KiB
TeX
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Éléments remarquables du logarithme}, step={1}, topics={Logarithme}]
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\begin{enumerate}
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\item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
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\item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
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\item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
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\item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={1}, topics={Logarithme}]
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Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = x-2-\ln(x)$
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\item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
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\item $f(x) = x\ln(x)$
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\item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
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\item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
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\item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions - Bis}, step={1}, topics={Logarithme}]
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Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 2x - \ln(x) + 2$
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\item $f(x) = x^3 - 4\ln(x)$
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\item $f(x) = e^{3x} + 2 $
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\item $f(x) = (2x - 2)\ln(x)$
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\item(*) $f(x) = (\ln(x) + 1)(3x+2)$
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\item(*) $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
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On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
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\[
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f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
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\[
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f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
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\]
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\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
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\item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
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\item En déduire le tableau de signe de $f$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
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On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
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\[
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f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
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\[
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f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
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\]
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\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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\item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
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\item En déduire le tableau de signe de $f$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Recherche par dichotomie}, step={2}, topics={Logarithme}]
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On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{5}$ par
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\[
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f(x) = 3x -10 + 4\ln(x)
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\]
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
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\[
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f'(x) = \frac{3x + 4}{x}
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\]
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\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{5}$.
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\end{enumerate}
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\item On souhaite trouver un encadrement de $\alpha$ par la méthode de dichotomie.
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Pour cela, on propose l'algorithme suivant:
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\begin{center}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{algorithm}[H]
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\SetAlgoLined
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$a \leftarrow 1$ \;
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$b \leftarrow 5$ \;
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\Tq{$b-a \leq 0.01$}{
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$m \leftarrow \dfrac{b+a}{2}$ \;
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\eSi{f(m) > 0}{
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$a \leftarrow m$\;
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}{
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$b \leftarrow m$\;
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}
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}
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\Retour{$a, b$}
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\end{algorithm}
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\end{minipage}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item En vous aidant du tableau ci-dessous (vous pouvez ajouter des lignes si nécessaire) exécuter l'algorithme pour trouver un encadrement d'amplitude 0.01 de $\alpha$.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{5}{p{2cm}|}}
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\hline
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$a$ & $b$ & $(b-a) \leq 0.01$ & $m$ & $f(m) > 0$ \\
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\hline
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& & & & \\
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\hline
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& & & & \\
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\hline
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& & & & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\item Expliquer le fonctionnement de cet algorithme en quelques phrases.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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