2020-2021/TST_sti2d/02_Derivation/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Balistique}, step={1}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Physique, Tache complexe}]
    Le gouvernement est inquiet. Un état ennemie a tiré un projectile en sa direction. Sa trajectoire a été a été enregistrée et est représentée sur les 2 graphiques ci-dessous. Le premier représente la distance au sol de l'objet en fonction du temps et le deuxième sa hauteur en fonction du temps.



    %\includegraphics[scale=0.3]{./fig/balistique}
    \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south), 
        xscale=0.5, yscale=0.5]
        \tkzInit[xmin=0,xmax=14,xstep=1,
        ymin=0,ymax=4000,ystep=500]
        \tkzGrid
        \tkzDrawX[label={$t$},above=0pt]
        \tkzDrawY[label={$Distance (m)$}, right=2pt ]
        \tkzLabelX
        \tkzLabelY
        \tkzFct[domain=0:12.2,color=red,very thick,%
        ]{294*\x};
        \tkzFct[domain=12.2:14,color=red,very thick,%
        ]{294*12.2};
    \end{tikzpicture}
    \hfill
    \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south), xscale=0.5, yscale=0.4]
        \tkzInit[xmin=0,xmax=14,xstep=1,
        ymin=0,ymax=200,ystep=20]
        \tkzGrid
        \tkzDrawX[label={$t$},above=0pt]
        \tkzDrawY[label={$Hauteur (m)$}, right=2pt ]
        \tkzLabelX
        \tkzLabelY
        \tkzFct[color=red,very thick,%
        domain=0:12.3
        ]{-4.9*\x**2+60*\x};
        \tkzFct[color=red,very thick,%
        domain=12.3:14
        ]{0};
    \end{tikzpicture}


    \begin{enumerate}
        \item Combien de temps le projectile est-il resté en l'air?
        \item Quelle distance a été parcouru?
        \item À quelle hauteur le projectile est il allé au maximum?
    \end{enumerate}

    Le projectile n'a visiblement pas été tiré dans des conditions optimales. Pour évaluer les risques encourus, les généraux ont besoin de connaître la vitesse horizontale et la vitesse verticale au moment du lancement.

    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{3}
        \item Déterminer la vitesse horizontale au moment du lancement.
        \item Même question pour la vitesse verticale.
    \end{enumerate}
    À partir de ces informations, il est possible de connaître la portée maximale du projectile. Mais il vous manque encore des outils de physique! Rendez-vous à la fin de l'année!
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Réaction chimique autocatalytique}, step={1}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation}]
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
    Une réaction autocatalytique est une réaction chimique dont le catalyseur figure parmi les produits de la réaction. On concidère une telle réaction où deu élément A et B réagissent pour donner deux B. L'évolution de la concentration de B au cours de l'expérience est donnée par le graphique ci-contre.
    \medskip

    En vous inspirant de l'exercice précédent, définir la vitesse d'une réaction chimique. Puis déterminer le moment où la réaction chimique est le plus rapide ainsi que sa vitesse.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south), xscale=1.3, yscale=0.7]
        \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
        ymin=0,ymax=5,ystep=1]
        \tkzDrawX[label={$t$},above=0pt]
        \tkzDrawY[label={$Concentration (mol/L)$}, right=2pt ]
        \tkzLabelX
        \tkzLabelY
        \tkzGrid
        \tkzGrid[sub]
        \tkzFct[color=red,very thick]%
        {4/(1+2*exp(-2*(x-1.5)))};
    \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dérivation -- technique}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, technique}]
    Déterminer les dérivées des fonctions suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 2x^3 + 3x + 1$
            \item $g(x) = 0.1x^5 + 2x^4 + x$
            \item $h(x) = 5x^8 + 4x^4 + \frac{1}{x}$

            \item $i(x) = (2x + 1) + (4x^2 - 1)$
            \item $j(x) = -3x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 10$
            \item $k(x) = 5x + \frac{3x^2}{2}$

            \item $l(x) = (2x + 1)(4x^2 - 1)$
            \item $m(x) = x^2(x-1)$
            \item $n(x) = 5x(x^4 + x)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Démonstrations}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Démonstration}]
    Dans cet exercice, nous allons démontrer quelques formules de dérivations (toutes les autres formules se démontrent de la même manière, les calculs sont juste un peu plus long).
    \begin{enumerate}
        \item Formule de dérivation de $f(x) = 1$.

            On veut connaître la dérivée de $f(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $\dfrac{\Delta f}{\Delta x} = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.
                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $f'(x) = \dfrac{df}{dx}$.
            \end{enumerate}

        \item Formule de dérivation de $g(x) = 2x$.

            On veut connaître la dérivée de $g(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $\dfrac{\Delta g}{\Delta x}$.
                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $g'(x) = \dfrac{dg}{dx}$.
            \end{enumerate}

        \item De la même façon que dans les deux questions précédentes, démontrer que la dérivée de $h(x) = x^2$ est 

            $h'(x) = \dfrac{dh}{dx} = 2x$.
        \item Démonstration de formule dérivation d'un produit: $f(x) = u(x)\times v(x)$ se dérive en $f'(x) = u'(x)\times v(x) + u(x)\times v'(x)$.

            Comme précédement, on pose $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
            \begin{enumerate}
                \item Exprimer en fonction de $u$ et $v$ la quantité $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$
                \item Simplifier l'expression $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\times v(x+h) + u(x) \times \dfrac{\Delta v}{\Delta x}$.
                \item En déduire la formule de dérivation du produit.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Cercle et rayon}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, technique}]
    On travaille avec un cercle de rayon $R$. On définit les deux formules suivantes
    \[
        \mbox{Périmètre: } P(R) = 2\pi R \qquad \qquad \qquad
        \mbox{Aire: } A(R) = \pi R^2
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $\dfrac{dP}{dR}$.
        \item Calculer $\dfrac{dA}{dR}$.
        \item (*) Exprimer $A$ en fonction $P$ et en déduire $\dfrac{dA}{dP}$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de variations}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, technique}]
    Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
    \[ f(t) = 0.5t^4 + t^3 + t^2 + 3t + 1 \]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $f'(t)$ puis en déduire que $f'(t) = (t^2+1)(2t+3)$.
        \item Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire les variations de $f(t)$.
        \item La fonction $f$ a-t-elle un maximum? Un minimum? Quelle est alors sa valeur?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Puissance d'un moteur}, step={3}, origin={Calao 1ST 5p193}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Physique, Puissance}]
    Une moto accélère de 50 à 80km/h en 8s. On admet que pendant cette période, le moteur fournit une énergie décrite par la fonction $E(t) = 50t + 0,1t^2$ en $kJ$.

    La puissance moyenne développée par un moteur sur un intervalle de temps $\Delta t$ est donnée par $P_m = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la puissance moyenne développée par le moteur entre 0 et 8s. Puis entre 5 et 8s, entre 6 et 8s et entre 7 et 8s.
        \item Proposer une façon de calculer la puissance instantanée.
        \item Calculer la puissance instantanée à t = 8s.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Chute de pierre}, step={3}, origin={Delagrave 1ST 72p244}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Physique}]
    On laisse tombé une pierre verticalement au moment $t=0$. Sa hauteur est donnée par la fonction $z(t) = -4,9t^2 + 12$.
    \begin{enumerate}
        \item À quelle hauteur a-t-on lâché pierre?
        \item Combien de temps faut-il pour que la pierre touche le sol?
        \item À quelle vitesse la pierre touche-t-elle le sol?
        \item Que peut-on dire de l'accélération de la pierre?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Optimisation d'un volume}, step={3}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation}]
    On souhaite faire des cannettes cylindrique de $33cl=330cm^3$ avec le minimum de métal. On rappelle que le volume d'un cylindre est calculé par $V = \pi r^2 h$
    \begin{enumerate}
        \item Exprimer $h$ en fonction de $r$.
        \item Expliquer pourquoi la surface de métal nécessaire pour faire la canette est de $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$.
        \item En déduire que $S(r) = 2\pi r + \dfrac{660}{r}$.
        \item Démontrer que $S'(r) = \dfrac{dS}{dr} = \dfrac{4\pi r^3 - 660}{r^2}$.
        \item En utilisant la calculatrice ou le calcul déterminer le tableau de signe de $S'$ puis le tableau de variations de $S$.
        \item En déduire le rayon $r$ pour que $S$ soit minimal. Quel est la hauteur dans ce cas?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={4}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, technique}]
    Déterminer les dérivées des fonctions suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = \cos(x) + \sin(x) + 1$
            \item $g(x) = 2\cos(x) + x$
            \item $h(x) = -3\sin(x) + x^2$

            \item $x(t) = 4t^2 - 1 + \cos(t)$
            \item $y(t) = \sin(t) + 2t - 10$
            \item $z(t) = \cos(t)(4t + 1)$

            \item $i(x) = \cos(x)\sin(x)$
            \item $j(x) = \dfrac{2\sin(x)}{3}$
            \item $k(x) = \sin(x)(x^2+2)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Tableau de signes}, step={4}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, technique}]
    Tracer le tableau de signe des fonctions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(t) = \sin(t)$ sur $I = \intFF{-2\pi}{2\pi}$
            \item $g(t) = \sin(t)(2t + 1)$ sur $I = \intFF{-\pi}{\pi}$
            \item $h(t) = \sin(t)\cos(t)$ sur $I = \intFF{-\pi}{\pi}$
            \item $h(t) = \dfrac{(t-1)\sin(t)}{t^2}$ sur $I = \intFF{-\pi}{\pi}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\collectexercisesstop{banque}