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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme - Cours}
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\date{avril 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{4}
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\section{Fonction logarithme}
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\begin{definition}
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La \textbf{fonction logarithme} notée $\ln$ est définie sur $\R^{+*}=\intOO{0}{+\infty}$ par $\ln :x \mapsto ln(x)$.
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{itemize}
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\item Elle est continue et dérivable sur $\R^{+*}$
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\item Elle est négative sur $\intOO{0}{1}$
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\item Elle est positive sur $\intOO{1}{+\infty}$
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\item $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
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\end{itemize}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=5]{$x$/1,$f(x)$/2}%
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{$0$, $+\infty$}%
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\tkzTabVar{D-/$-\infty$, +/$+\infty$}%
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
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ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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\tkzFct[domain = 0.01:6, line width=1pt]{log(x)}
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\tkzText[draw,fill = brown!20](5,-2.5){$f(x)=\ln(x)$}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{definition}
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\begin{propriete}
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La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse
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\[
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\forall x \in \intOO{0}{+\infty} \qquad \ln'(x) = \frac{1}{x}
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\]
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\end{propriete}
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On en déduit, pour tout $x > 0$:
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\begin{itemize}
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\item $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x} > 0$ alors la fonction logarithme est \dotfill
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\item $\ln''(x) = \makebox[2cm]{\dotfill}$ et $\makebox[2cm]{\dotfill}$ alors la fonction logarithme est \dotfill
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\end{itemize}
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\subsection*{Exemples de calculs}
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Calcul de la dérivée de $f(x) = 2x + 1 - 4\ln(x)$
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\afaire{}
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Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)\ln(x)$
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\afaire{}
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Calcul de la dérivée de $f(x) = \dfrac{2x+1}{\ln(x)}$
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\afaire{}
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\end{document}
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