2020-2021/TST_sti2d/02_Derivation/2B_derivee.tex

88 lines
2.3 KiB
TeX
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{qrcode}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Dérivation - Cours}
\date{août 2020}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{section}{1}
\section{Dérivée}
Nous allons définir la dérivée en s'inspirant de ce qui a été fait précédement avec la vitesse.
\subsection*{Définitions}
\begin{tabular}{m{0.3\textwidth}*{2}{|m{0.3\textwidth}}}
Position $x(t)$ & Fonction $f(x)$ & Signification graphique \\
Vitesse moyenne & Taux de variation & Corde \\
$v_m(t) = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ & $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ &
\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south),
xscale=0.5, yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=-2,xmax=5,xstep=1,
ymin=0,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain=-2:5,color=red,very thick,%
]{0.08*(5-x)*exp(x)};
\end{tikzpicture}
\\
Vitesse instannée & Dérivée & Tangente\\
$v(t) = \dfrac{dx}{dt}$ & $f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dot f(t)$ &
\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south),
xscale=0.5, yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=-2,xmax=5,xstep=1,
ymin=0,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain=-2:5,color=red,very thick,%
]{0.08*(5-x)*exp(x)};
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
\subsection*{Formules de dérivations}
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{4cm}|m{4cm}|}
\hline
\rowcolor{highlightbg}
Fonction $f$ & Fonction dérivée $f'$ \\
\hline
$a$ & $0$ \\
\hline
$ax$ & $a$ \\
\hline
$ax^2$ & $2ax$ \\
\hline
$ax^3$ & $3ax^2$\\
\hline
$ax^n$ & $nax^{n-1}$\\
\hline
$\frac{1}{x}$ & $\frac{-1}{x^2}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\subsection*{Opérations}
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel alors
\begin{itemize}
\item La dérivée de $f(x) = u(x) + v(x)$ est $f'(x) = u'(x) + v'(x)$.
\item La dérivée de $f(x) = k \times u(x)$ est $f'(x) = k \times u'(x)$.
\item La dérivée de $f(x) = u(x) \times v(x)$ est $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
\end{itemize}
\subsection*{Exemple}
\afaire{Dériver la fonction $f(x) = (2x+1)\times\dfrac{1}{x}$}
\end{document}