Votre professeur.e de mathématiques vous prépare un contrôle sous forme de QCM... mais vous n’avez pas assez révisé ! Vous vous apprêtez donc à répondre au hasard et espérez gagner un maximum de points.
Un garage veut étudier ses dépannages extérieurs. Pour cela, il note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de dépannages extérieurs en une journée. La loi de cette variable aléatoire est donnée par le tableau suivant
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
\hline
$x_i$& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
$P(X=x_i)$& 0,35 & 0,25 & 0,2 & 0,12 & 0,08 \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{enumerate}
\item Vérifier que ce tableau est bien celui d'une variable aléatoire.
Pour obtenir un taux de remplissage convenable, les compagnies aériennes vendent régulièrement plus de place que n'en comporte l'avion car il arrive que des personnes ne se présentent pas au décollage. Si un passagers a réservé mais qu'il n'y a plus de place dans l'avion, il faudra par contre le dédommager. C'est pour cela qu'il faut évaluer le risque de surréservation.
On considère une ligne aérienne entre deux villes pour laquelle:
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item Tous les avions ont 50 places.
\item 53 réservations sont vendues pour chaque vol (on supposera qu'elles sont toutes vendues)
\item Chaque personne ayant réservé a 9 chance sur 10 de se présenter à l'embarquement ( donc 1 chance sur 10 de ne pas se présenter).
\item Un billet vendu rapporte 100\euro. Un billet remboursé coûte 250\euro à la compagnie.
\item Chaque personne ayant réservé une place se présente au non à l'embarquement indépendamment des autres personnes ayant réservé sur le même vol.
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{center}
\textbf{La compagnie prend elle un risque en vendant 53 places au lieu des 50 disponibles?}
\end{center}
Pour évaluer les risques liés à une surréservation, nous allons \textbf{simuler} avec le tableur plusieurs vols sur cette ligne.
\begin{enumerate}
\item On commence par simuler un vol où 53 places ont été vendues.
Pour savoir si une personne se présente ou non à l'embarquement, nous utiliserons la commande \calc{=SI(ALEA()>0.9;0;1)}. Cette commande renvoie:
\begin{itemize}
\item 0 si le passager ne s'est pas présenté
\item 1 s'il s'est présenté.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Réaliser la simulation pour le premier vol
\item Combien de personnes se sont-elles présentées à l'embarquement?
\item Quelle formule peut-on rentrer en \texttt{B56} pour calculer ce nombre?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\includegraphics[scale=0.27]{./fig/vol1}
\end{minipage}
\item
\begin{enumerate}
\item Réaliser cette simulation pour 100 vols de cette ligne.
\hspace{-2cm}
\includegraphics[scale=0.17]{./fig/vol100}
\item Quelle formule doit-on entrer en \texttt{CX56} pour calculer la moyenne du nombre de passager?
\item Pensez vous que le risque de surréservation est grand?
\end{enumerate}
\item On veut maintenant évaluer le risque de surréservation. Pour savoir si un vol est en surréservation, on utilise la commande \calc{=SI(nbr_passagers > 50;1;0)} (avec \lstinline|nbr_passagers| à remplacer le nom de la case)
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau pour connaître les vols en surréservation.
Dans chacune des situations suivantes, dessiner l'arbre de probabilité qui décrit la situation puis expliquer si oui ou non elle peut être modélisé par une loi binomiale en précisant les paramètres.
\begin{enumerate}
\item Dans mon jardin j'ai planté 3 fraisiers suffisamment éloignés pour qu'ils ne se gênent pas. D'expérience, ils donnent des fruits dans 90\% des cas. Je m'intéresse au nombre de fraisier qui donneront des fruits.
\item Bob mange à la cantine 3 fois par semaine. À chaque fois, il se demande s'il prend un dessert plutôt qu'un fromage ce qu'il fait 2 fois sur 3. On s'intéresse au nombre de fois où il a mangé du dessert en une semaine.
\item Dans un sachet, il reste 6 bonbons: 2 à la fraise et 4 au réglisse. J'en choisi 4 au hasard et je les mange. Je m'intéresse au nombre de bonbon à la fraise que j'ai mangé.
\item Je joue avec un dé à 6 faces. J'ai le droit à un maximum de 4 lancers. J'arrête de lancer dès que j'ai obtenu un 6. Je compte le nombre de lancer que je fais.
Proposer une expérience aléatoire qui pourrait être modélisée avec une loi binomiale. Vous détaillerez ensuite les paramètres et justifierez la modélisation.
Bob joue à un jeu où il estime qu'il a 70\% de chance de gagner une partie. Entre 2 parties, il prend le temps de se reposer pour que la précédente partie n'influence pas la suivante.
On note $V$ l'évènement "Bob gagne la partie".
Bob fait 2 parties et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de victoire.
\begin{enumerate}
\item Faire un arbre qui modélise la situation.
\item Déterminer la probabilité que Bob gagne une seule partie.
\item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
\item Si Bob joue tous les jours deux parties, combien en moyenne peut-il espérer en gagner quotidiennement?
Bob adore manger des légumes. Chaque jour, il choisit au hasard un fruit dans une panière quotidiennement remplie par ses parents contenant 7 bananes, 5 pommes et 2 kiwi.
Ses parents veulent essayer de prévoir la consommation en banane de Bob sur 3 jours.
On note donc $X$ le nombre bananes mangées par Bob sur 3 jours et $B$ l'évènement "Bob mange une banane".
\begin{enumerate}
\item Faire un arbre qui modélise la situation.
\item Déterminer la probabilité que Bob gagne deux bananes.
\item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
\item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
Dans une auto-école, à chaque session 75\% des candidats réussissent à avoir leur code.
\begin{enumerate}
\item On interroge au hasard 4 candidats d'une session pour savoir s'ils ont eu leur code. On note $X$ variable aléatoire qui compte le nombre de réponse positive.
\begin{enumerate}
\item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
\item Calculer les probabilités suivantes
\[
P(X = 1) \qquad\qquad
P(X = 4) \qquad\qquad
P(X \leq 1)
\]
\item Quelle est la probabilité qu'au moins un candidat ait répondu positivement.
\item En moyenne combien de réponses positives peut-on espérer avoir?
\end{enumerate}
\item Cette fois-ci, on choisit un candidat et on note $Y$ le nombre de sessions qu'il a du passer avant d'avoir code.
\begin{enumerate}
\item Faire un arbre pour représenter la situtation.
\item Peut-on modéliser $Y$ avec une loi binomiale? Si oui, préciser les paramètres.
\begin{exercise}[subtitle={Construction d'une formule}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
\begin{enumerate}
\item Pour chacune des situations suivantes, construire l'arbre de probabilités et le tableau résumant la loi de probabilité.
\textit{Ce travail doit être fait sans calculatrice, vous écrirez les calculs que vous auriez tapé à la place des résultats dans le tableau. Si vous y arrivez, vous pouvez vous passer de faire l'arbre.}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item$X \sim\mathcal{B}(2, 0.1)$
\item$X \sim\mathcal{B}(3, 0.4)$
\item$X \sim\mathcal{B}(3, 0.05)$
\item$X \sim\mathcal{B}(4, 0.98)$
\item$X \sim\mathcal{B}(4, 0.60)$
\item$X \sim\mathcal{B}(5, 0.4)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Au regard des tableaux obtenus à la question précédente, commencer à construire une formule qui permet de calculer les probabilités d'une loi binomiale. Quelle partie reste difficile à calculer?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Triangle de pascal}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{enumerate}
\item En vous aidant de ce qui a été fait à l'exercice précédent, compléter le tableau ci-dessous avec les coefficients binomiaux.
\item Quelles sont les cases qui seront toujours vide?
\item Quelles sont les cases qu'il est "facile" de remplir?
\item Conjecturer une façon de calculer les autres.
\item Faire ce tableau sur le tableur pour $n$ et $k$ allant de 1 à 20.
\begin{exercise}[subtitle={Vaccination des chiots}, step={4}, origin={Indice Math Complémentaire 84p178}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
Dans un chenil, on vaccine 8 chiots de façon indépendante. Lors des vaccinations précédente, on avait constaté que le chiot avait une chance sur cinq d'avoir une réaction forte au vaccin.
On note $X$ le nombre de chiots qui auront une réaction forte au vaccin.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
\item Calculer $P(X=1)$. Interpréter le résultat.
\item Quelle est la probabilité qu'au moins 5 chiots aient une réaction forte??
\item Tracer le tableau résumant la loi de probabilité de $X$.
\item Tracer un diagramme illustrant cette loi de probabilité.
\item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Temps de trajet}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
Pour aller au travail, je croise 10 feux. En interrogeant les employés municipaux en charge de la voirie, j'ai appris que ces feux étaient indépendants les uns des autres et qu'ils étaient rouges 70\% du temps.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de feux rouges que je rencontre en allant travailler.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
\item Calculer $P(X=10)$. Interpréter le résultat.
\item Quelle est la probabilité que je rencontre plus de 4 feux rouges?
\item Combien de feux rouge vais-je avoir en moyenne quand je vais au travail?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Overbooking}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
On rappelle les paramètres de la situation d'overbooking simulé avec le tableur.
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item Tous les avions ont 50 places.
\item 53 réservations sont vendues pour chaque vol (on supposera qu'elles sont toutes vendues)
\item Chaque personne ayant réservé a 9 chance sur 10 de se présenter à l'embarquement ( donc 1 chance sur 10 de ne pas se présenter).
\item Un billet vendu rapporte 100\euro. Un billet remboursé coûte 250\euro à la compagnie.
\item Chaque personne ayant réservé une place se présente au non à l'embarquement indépendamment des autres personnes ayant réservé sur le même vol.
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Proposer un modèle pour calculer les risques qu'une avion soit trop rempli.
\item On note $Y$ les gains de la compagnie pour un vol.
\begin{enumerate}
\item Tracer le tableau résumant la loi de probabilité de $Y$.
\item Combien peut elle espérer gagner en moyenne? Est-ce plus intéressant que de ne pas faire d'overbooking?
\end{enumerate}
\item Combien de place faut-il vendre pour avoir en moyenne les plus gros bénéfices?
\begin{exercise}[subtitle={Prise de décision}, step={5}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
Dans cette exercice, nous allons nous nous demander si une sous population appartient ou non à une population particulière puis nous simulerons cette situation.
\begin{enumerate}
\item\textbf{Échantillonnage théorique:} On considère une population infinie dont les individus sont partagés en 2 groupes les $\triangle$ et les $\square$. 60\% de la population est $\triangle$. On sélectionne 50 individus et on compte les $\triangle$. On note $X$ la variable aléatoire qui modélise la situation.
\begin{enumerate}
\item Quelle loi suit $X$? Préciser les paramètres.
\item Déterminer $a$ tel que $P(X < a) < 0.025$. % a = 12
\item Déterminer $b$ tel que $P(X > b) < 0.025$. % b = 24
\item En déduire un intervalle $I$ tel que $P(X\in I) > 0.95$. On nomme $I$\textit{l'intervalle de fluctuation au niveau 95\%}.
\item Interpréter le sens de $I$ dans le contexte de la population.
\end{enumerate}
\item\textbf{Appartenance à la population:} On considère quatre groupes de 30 individus
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item Groupe 1: $17\triangle$ et $13\square$
\item Groupe 2: $14\triangle$ et $16\square$
\item Groupe 3: $11\triangle$ et $19\square$
\item Groupe 4: $25\triangle$ et $5\square$
\end{itemize}
\end{multicols}
Quels sont les groupes que l'on peut considéré comme issus de la population étudiée à la question 1 avec un niveau de confiance de 95\%?
\item\textbf{Simulation de l'échantillonnage:} Cette partie se fait avec le tableur. Vous êtes en charge de l'organisation de votre feuille de calcul.
\begin{enumerate}
\item Simuler la sélection de 30 individus puis calculer le nombre de $\triangle$ dans ce groupe.
\item Reproduire cette sélection 100 fois.
\item Tracer le nuage de points des effectifs de $\triangle$ pour les 100 simulations.
\item Sur le graphique placer l'intervalle de fluctuation trouvé dans la partie 1.
\item Compter le nombre de simulations dont les effectifs sont en dehors de cet intervalle puis leur fréquence. Que peut-on en conclure?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Parité d'une entreprise}, step={5}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
Dans le tableau ci-dessous ont été reporté les effectifs de différentes entreprises.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{5}{p{1.4cm}|}}
\hline
Entreprise& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
Femmes & 400 & 450 & 1080 & 900 & 70 \\
\hline
Hommes & 600 & 550 & 920 & 1100 & 50 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On souhaiterait déterminer quels sont les entreprises qui respectent la parité.
\begin{enumerate}
\item Définir succinctement la notion de parité.
\item Construire un modèle mathématique qui permettrait de donner un cadre pour déterminer si une entreprise respecte la parité.
