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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Fonction inverse - Cours}
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\date{Mai 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Cadre}
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On a étudier en TP, la fonction suivante qui permettait de calculer les coûts totaux d'une entreprise
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\[
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C(x) = 0.3x^3 + 1.25x^2 + 7.5x + 900
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\]
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Cette fonction est un \hfill.
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L'entreprise qui souhaite contrôler ses coûts de production peut être amené à s'intéresser au coût d'une pièce en fonction du nombre total de pièces produite. C'est le coût moyen.
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\[
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C_m(x) = \frac{C(x)}{x} = ... = 0.3x^2 + 1.25x + 7.5 + 900\times \frac{1}{x}
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\]
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\afaire{détailler les calculs}
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Pour le moment, on sait étudier la première partie de la fonction coût moyen mais la dernière partie, $900\times \frac{1}{x}$, pose problème. Dans ce chapitre, nous allons étudier ce type de fonction: \textbf{la fonction inverse}.
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\section{La fonction inverse}
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\begin{definition}
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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La fonction \textbf{inverse} est la fonction définie sur $\intOO{-\infty}{0}\cup\intOO{0}{+\infty}$ par
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\[
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f(x) = \frac{1}{x}
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\]
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.6, yscale=0.6]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=-5:-0.1,color=red,very thick]%
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{1/ \x};
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\tkzFct[domain=0.1:5,color=red,very thick]%
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{1/ \x};
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{definition}
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\paragraph{Remarque:} Comme on ne peut pas calculer $\frac{1}{0}$, on dit que 0 est une \textbf{valeur interdite}.
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\begin{propriete}
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\begin{multicols}{2}
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Tableau de signe
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ x $/1,$ \frac{1}{x} $/2}{$-\infty$, 0, $+\infty$ }
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\tkzTabLine{, , }
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\end{tikzpicture}
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\columnbreak
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Tableau de variations
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]{$ x $/1, $ \frac{1}{x} $/2}{$-\infty$, 0, $+\infty$}
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\tkzTabVar{ }
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\end{tikzpicture}
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\end{multicols}
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\bigskip
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\end{propriete}
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\afaire{Compléter les tableaux à partir du graphique}
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\end{document}
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