2020-2021/TST/06_Prolongement_geometrique.../1B_prologement.tex

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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Prolongement géométrique vers exponentiel - Cours}
\date{décembre 2020}
\tribe{TST}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{Fonctions puissances / exponentielles}
On peut prolonger une suite géométrique de sorte à ce que l'on puisse calculer sa valeur pour des valeurs de $n$ négative ou à virgule. On a ainsi transformé une suite en une fonction.
\begin{definition}
Soit $a$ un nombre réel positif.
La fonction \textit{puissance} ou \textit{exponentielle} de base $a$ est la fonction
\[
x \mapsto a^x
\]
Cette fonction est définie sur $\R$.
\end{definition}
\paragraph{Exemples}%
\begin{itemize}
\item Soit $f(x) = 2^x$ la fonction puissance de base 2.
\[
f(3) = ... \qquad \qquad f(-1) = ... \qquad \qquad f(0,5) = ...
\]
\item Soit $g(x) = 10^x$ la fonction puissance de base 10.
\[
g(1) = ... \qquad \qquad g(0) = ... \qquad \qquad g(-5) = ... \qquad \qquad g(2,2) = ...
\]
\item Soit $h(x) = ...$ la fonction puissance de base 1,5.
\item Soit $i(x) = 0.5^x$ la fonction puissance de base 0.5.
\end{itemize}
\afaire{compléter les exemples}
\begin{propriete}
Soit $a$ un nombre réel positif et $f(x) = a^x$ la fonction puissance de base $a$. Alors
\[
f(0) = a^0 = 1 \qquad \qquad f(1) = a^1 = a
\]
Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels
\[
a^x \times a^y = a^{x+y} \qquad \qquad
a^{-x} = \frac{1}{a^{x}} \qquad \qquad
\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \qquad \qquad
(a^x)^y = a^{x\timesy}
\]
\end{propriete}
\paragraph{Exemples}%
\begin{itemize}
\item Simplification des expressions
\[
\frac{10^2\times 10^3}{10^10} = \qquad \qquad \qquad (2^3\times2^5)^3 =
\]
\item Réduction d'expressions
\[
(1+2^x)(1-2^x) =
\]
\item Factorisation
\[
3\times 10^x + (2x-1)10^x =
\]
\end{itemize}
\afaire{compléter les exemples}
\end{document}