2020-2021/Complementaire/DM/2105_DM1/tpl_optimisation.tex

\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
    %- set Vl = Integer.random("{a}", min_value=2, max_value=10)
    %- set l = Integer.random("{a}", min_value=2, max_value=5)
    %- set V = Vl*l
    %- set Snum = Expression.from_str(str(l*2)+"*x^2 +" + str(Vl*2) + "*x +" + str(V*2))
    %- set dSnum = Snum.differentiate()*"x" - Snum
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $\Var{V}m^3$. La longueur est aussi fixée à $\Var{l}m$ par le cahier des charges. 

        On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \begin{tikzpicture}
            \pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
            \pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
            \pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$\Var{l}m$} -- cycle;
            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

    \begin{enumerate}
        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{\Var{Vl}}{x}$.
        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
            \[
                S(x) = \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}
            \]
        \item Démontrer que
            \[
                S(x) = \frac{\Var{Snum}}{x}
            \]
        \item Démontrer que 
            \[
                S'(x) = \frac{\Var{dSnum}}{x^2}
            \]
        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
            \begin{itemize}
                \item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=\Var{V}$, $h$ doit être égale à $\Var{Vl/2}$
                \item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=\Var{V}$, $h$ doit être égale à $\Var{Vl/3}$
            \end{itemize}
        \item Pour calculer le volume, on a
            \begin{eqnarray*}
                V &=& h\times x \times \Var{l} \\
                \Var{V} &=& h\times x \times \Var{l} \\
                x &=& \frac{\Var{V}}{h\times \Var{l}} = \frac{\Var{Vl}}{h}
            \end{eqnarray*}
        \item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
            \begin{eqnarray*}
                S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times\Var{l}\times2 + h\times \Var{l}\times 2\\
                S(x) &=& x\times \frac{\Var{Vl}}{x} \times 2 + x\times\Var{l}\times2 + \frac{\Var{Vl}}{x}\times \Var{l}\times 2\\
                S(x) &=& \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}
            \end{eqnarray*}
        \item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
            \begin{eqnarray*}
                S(x) &=& \Var{2*l}x + \Var{2*Vl} + \frac{\Var{2*V}}{x}\\
                S(x) &=& \frac{\Var{2*l}x\times x}{x} + \frac{\Var{2*Vl}\times x}{x} + \frac{\Var{2*V}}{x}\\
                S(x) &=& \frac{\Var{Snum}}{x}
            \end{eqnarray*}
        \item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
            \[
                u(x) = \Var{Snum} \Rightarrow u'(x) = \Var{Snum.differentiate()}
            \]
            \[
                v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
            \]
            Donc au numérateur on obtient
            \begin{eqnarray*}
                u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (\Var{Snum.differentiate()})\times x - (\Var{Snum})\times 1\\
                                                    &=& \Var{dSnum}
            \end{eqnarray*}
            Donc
            \[
                S'(x) = \frac{\Var{dSnum}}{x^2}
            \]
        \item Tableau de variations de $S$

            \begin{itemize}
                \item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
                \item Signe de $\Var{dSnum}$: c'est un polynôme du 2e degré
                    \[
                        \Delta = \Var{dSnum.delta} > 0
                    \]
                    Il y a donc 2 racines
                    \[
                        x_1 = \Var{dSnum.roots[0]} \qquad
                        x_2 = \Var{dSnum.roots[1]}
                    \]
                    Et on sait que $\Var{dSnum}$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
                \item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
                \item Tableau de variations

                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                        \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$\Var{dSnum}$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $\Var{dSnum.roots[0]}$, $10$}
                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
                        \tkzTabLine{d,+, , +, }
                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
                        \tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
                    \end{tikzpicture}

            \end{itemize}
        \item On a donc une surface minimal pour $x=\Var{dSnum.roots[1]}$ et $h = \Var{Vl*dSnum.roots[1]}$.
    \end{enumerate}
\end{solution}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: