2020-2021/Complementaire/03_Logarithme/exercises.tex

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\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Manipulations techniques}, step={1}, origin={Créations}, topics={Logarithme}, tags={exponentielle, logarithme}]
\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme $a\times e^b$
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $A=e^2\times e^{-3}\times e^5$
\item $B=e^3 + 5e^3$
\item $C=(e^2)^5 \times e^{-3}$
\item $D= e^4 - (3e^2)^2$
\item $E=\dfrac{e^3}{e^6}$
\item $F=e^{10} + 3(e^2)^5$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Réduire les expressions
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $A=e^{2x}\times e^{2-x}$
\item $B=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{2x}}$
\item $C=\dfrac{e^{3x}\times e^{x-1}}{e^{2+x}}$
\item $D=(1+e^x)(e^x-1)$
\item $E=e^{-x}(e^x-1)$
\item $F=(e^x+1)^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Factoriser
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $A = x^2e^x + 2e^x$
\item $B = e^{-0.1x} + (x+2)e^{-0.1x}$
\item $C = (x-1)e^{0.2x} - (x+3)e^{0.2x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Résoudre les équations et inéquations
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $e^{2x+1} = e^{x}$
\item $e^{3-2x} \leq e^{3x}$
\item $e^{2x+1} = e$
\item $e^{-x} - 1\geq 0$
\item $e^x(e^x-1) = 0$
\item $(x^2+x-2)(e^x-1) = 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
\item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
\item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$
On fixe $\tau = 2$.
\begin{enumerate}
\item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
\item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
\item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
\item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={1}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$$t$ décrit le temps en heure.
\begin{enumerate}
\item Calculer et interpréter $c(0)$.
\item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
\item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
\item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
\item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Table de log}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction Logarithme}, tags={Analyse, logarithme}]
\usepackage{fp}
\usepackage{ifthen}
\setlength\parindent{0pt}
% the counter for the loop
\newcounter{mycount}
% the command that stores logarithms
\newcommand\natlogoft
\begin{document}
\whiledo{\value{mycount}<1000}
{\stepcounter{mycount}\makebox[4em]{\themycount}% steps the counter and typesets the value of t
\FPln{\natlogoft}{\themycount}\natlogoft\\}% calculates Ln(t) and typsets it
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}