2020-11-10 08:34:58 +00:00
\documentclass [a4paper,12pt] { article}
\usepackage { myXsim}
% Title Page
\title { DS 3}
\tribe { Terminale STI2D}
\date { 12 novembre 2020}
\duree { 1h}
\setlength { \columnseprule } { 0}
\begin { document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
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\begin { exercise} [subtitle={ Automatismes} , points=5]
Dans cet exercice les questions sont indépendantes.
\begin { enumerate}
\item Dériver, en détaillant les étapes, la fonction $ f ( x ) = \cos ( x ) ( - 3 x + 10 ) $
\item Soit $ g ( x ) = x ^ 2 + 1 $ . Calculer le taux de variation $ \dfrac { \Delta g } { \Delta x } $ entre $ x _ 1 = 1 $ et $ x _ 2 = 4 $ .
\item Tracer puis donner l'équation de la tangente au point $ x = 1 $ dans la courbe suivante
\begin { tikzpicture} [baseline=(a.north), xscale=2.5, yscale=1.5]
\tkzInit [xmin=0,xmax=4,xstep=1,
ymin=0,ymax=2.2,ystep=1]
\tkzGrid [sub, ligne width=1.5]
\tkzAxeXY [up space=0.2,right space=0.2]
\tkzFct [domain = 0:5,color=red,very thick] %
{ 2*exp(0.5)*x*exp(-0.5*x**2)} ;
\end { tikzpicture}
\item La loi des gaz parfait s'écrit $ PV = nRT $ exprimer $ T $ en fonction des autres paramètres.
\item Quelle est la valeur exacte de $ \cos ( \dfrac { - 2 \pi } { 3 } ) $ ? Justifier votre réponse.
\end { enumerate}
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\end { exercise}
\begin { exercise} [subtitle={ Complexes} , points=6]
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $ \dfrac { \pi } { 2 } $ qui vérifie $ i ^ 2 = - 1 $ .
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On note $ z _ A $ , $ z _ B $ et $ z _ C $ les nombres complexes suivants
\[
z_ A = -2 - 2i \qquad \qquad z_ B = 2i + 4 \qquad \qquad z_ C = -1 + \sqrt { 3} i
\]
\begin { enumerate}
\item Calculer le conjugué de $ z _ A $
\item Calculer les quantités suivantes
\[
z_ D = z_ A + z_ B \qquad z_ E = z_ B \times z_ A \qquad z_ F = \frac { z_ A} { z_ B}
\]
\item Calculer le module et l'argument de $ z _ C $ .
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\item Soit $ Z $ le nombre complexe de module $ r = 3 $ et d'argument $ \theta = \dfrac { 2 \pi } { 3 } $ . Donner la forme algébrique de $ Z $ .
\item Placer les points $ z _ A $ , $ z _ B $ , $ z _ C $ et $ Z $ sur le plan complexe ci-dessous.
\begin { center}
\begin { tikzpicture} [baseline=(a.north), xscale=1, yscale=1]
\tkzInit [xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\draw (1, 0) node [below right] { 1} ;
\draw (0, 1) node [above left] { $ i $ } ;
\draw [->, very thick] (-5, 0) -- (5, 0);
\draw [->, very thick] (0, -5) -- (0, 5);
%\tkzAxeXY
\foreach \x in { 0,1,...,5} {
% dots at each point
\draw [black] (0, 0) circle(\x );
}
\end { tikzpicture}
\end { center}
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\end { enumerate}
\end { exercise}
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\begin { exercise} [subtitle={ Citerne} , points=7]
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\begin { minipage} { 0.6\textwidth }
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $ 12 m ^ 3 $ . La longueur est aussi fixée à $ 3 m $ par le cahier des charges.
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $ x $ ) et la hauteur (notée $ h $ ) de la cuve.
\end { minipage}
\hfill
\begin { minipage} { 0.3\textwidth }
\includegraphics [scale=0.8] { ./fig/citerne}
\end { minipage}
\begin { enumerate}
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $ x $ change, la hauteur $ h $ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
\item Démontrer que l'on doit avoir $ h = \dfrac { 4 } { x } $ .
\item On note $ S ( x ) $ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
\[
S(x) = 6x + 8 + \frac { 24} { x}
\]
\item Démontrer que
\[
S'(x) = \frac { 6x^ 2-24} { x^ 2}
\]
\item Démontrer que
\[
S'(x) = \frac { 6(x-2)(x+2)} { x^ 2}
\]
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\item En déduire que le tableau de variation de $ S ( x ) $ sur $ \intOF { 0 } { 10 } $ est .
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\begin { tikzpicture} [baseline=(a.north)]
\tkzTabInit [lgt=3,espcl=3] { $ x $ /1, $ S ( x ) $ /2} { $ 0 $ , $ 2 $ , $ 10 $ }
\tkzTabVar { D+/ , -/ , +/ }
\end { tikzpicture}
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\item Déterminer les valeurs de $ x $ et $ h $ correspondant à une utilisation minimal de tôle. Quel sera alors la surface de tôle utilisé?
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\end { enumerate}
\end { exercise}
\end { document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: