2020-2021/Complementaire/01_Binomiale_et_echantillonnage/1B_variables_aleatoires.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Binomiale et echantillonnage - Cours}
\date{octobre 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Variable aléatoire}

En mathématique, l'outil pour modéliser les situations aléatoires qui ont pour résultats un nombre (un score, un bénéfice, une quantité...) est la \textbf{variable aléatoire}.
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
    Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.

    On définit une \textbf{variable aléatoire} sur E quand on associe à chaque issue de E un nombre réel $x_i$.

    Les \textbf{événements} de l’expérience aléatoire sont alors notés $\left\{ X = x_i \right\}$ et la \textbf{loi de probabilité de $X$} est la donnée de toutes les probabilités $P(X = x_i ) = p_i$.

    En générale, on résume la loi de probabilité par le tableau suivant
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|*{4}{p{2cm}|}}
            \hline
            Valeurs possibles ($x_i$) &  $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
            \hline
            Probabilité ($p_i$) & $p_1$ & $p_2$ & ... & $p_n$ \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
\end{bclogo}

\subsubsection*{Exemples}
\begin{itemize}
    \item On lance un dé à 6 faces. La variable aléatoire $X$ décrit le score obtenu.
        \afaire{Faire le tableau résumant la loi de probabilité}
    \item On tire au hasard une boule dans une urne contenant 5 boules bleu, 2 jaune et 4 noir. Une boule bleu rapport 1point, une jaune 5 et une noir en fait perdre 2. La variable aléatoire $X$ décrit le score obtenu.
        \afaire{Faire le tableau résumant la loi de probabilité}
\end{itemize}

\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
    L'espérance d'une variable aléatoire $X$ est le nombre réel définit par
    \[
        E[X] = x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + ... + x_n\times p_n
    \]
    L'espérance représente intuitivement la valeur que l'on peut espérer obtenir en moyenne si l'on répète de nombreuses fois l'expérience.
\end{bclogo}

\subsubsection*{Exemples}
On reprend les exemples précédents.
\begin{itemize}
    \item 
        \afaire{calculer l'espérance}
    \item 
        \afaire{calculer l'espérance}
\end{itemize}


\end{document}