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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme - Cours}
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\date{avril 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\section{Règles de calculs et équations avec les logarithmes}
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\begin{propriete}[ Règles de calculs ]
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Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
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\begin{eqnarray*}
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ln(1) &=& 0\\
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ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
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ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
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ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
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\end{eqnarray*}
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\end{propriete}
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\paragraph{Démonstration}%
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\label{par:Démonstration}
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\begin{itemize}
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\item $\ln(1) = 0$
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\vspace{2cm}
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\item $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$
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\vspace{2cm}
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\end{itemize}
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\paragraph{Exemples d'utilisation}%
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\afaire{Écrire sous la forme d'une seul logarithme $A = 3\ln(8) - \ln(2) + 4\ln(5)$}
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\afaire{Démontrer l'égalité $\ln(6x) + \ln(\frac{x}{2}) +\ln(\frac{x}{3}) = 3\ln(x)$}
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Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.
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\subsection*{Propriétés}
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Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
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\begin{itemize}
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\item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
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\item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
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\item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
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\end{itemize}
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\subsubsection*{Exemple}
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\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
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\afaire{Résoudre l'équation $\ln(2x+1) = 10$}
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\end{document}
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