Feat: bilan pour l'étape 2 et 4
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme - Cours}
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\date{avril 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{1}
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\section{Logarithmes}
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Avant l'invention de la calculatrice, les multiplications avec des grands nombres étaient compliquées à réaliser. Au seizième siècle, John Napier, mathématicien écossais, créa des tables de conversions qui permettaient de transformer ces multiplications en additions. Ce sont les tables de logarithmes. Elles correspondent à des fonctions qui transforment les multiplications en additions.
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\begin{propriete}[Relation fonctionnelle des logarithmes]
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Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation
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\[
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\forall a, b \in \R^{+*} \qquad f(a\times b) = f(a) + f(b)
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\]
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||||
Cette famille de fonctions s'appelle les fonctions logarithmes.
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\end{propriete}
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\begin{definition}[Logarithme népérien]
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On appelle \textbf{logarithme népérien} le membre des fonctions logarithmes qui vérifie
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\[
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f(e) = 1
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\]
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||||
On note cette fonction $\ln$. Cette fonction est définie pour tout $x$ réel strictement positif.
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On a en particulier
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\[
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\ln(e) = 1
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\]
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\end{definition}
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\paragraph{Autres logarithmes remarquables}%
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Logarithme décimale}, noté $\log$. C'est le logarithme qui vérifie $\log(10) = 1$.
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\item \textbf{Logarithme de base 2}, noté $\log_2$. C'est le logarithme qui vérifie $\log_2(2) = 1$.
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\end{itemize}
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\end{document}
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme - Cours}
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\date{avril 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{1}
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\section{Logarithme népérien}
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Avant l'invention de la calculatrice, les multiplications avec des grands nombres étaient compliquées à réaliser. Au seizième siècle, John Napier, mathématicien écossais, créa des tables de conversions qui permettaient de transformer ces multiplications en additions. Ce sont les tables de logarithmes. Elles correspondent à des fonctions qui transforment les multiplications en additions.
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\begin{propriete}[Relation fonctionnelle des logarithmes]
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||||
Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation
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\[
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\forall a, b \in \R^{+*} \qquad f(a\times b) = f(a) + f(b)
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\]
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Cette famille de fonctions s'appelle les fonctions logarithmes.
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\end{propriete}
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\begin{definition}[Logarithme népérien]
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||||
On appelle \textbf{logarithme népérien} le membre des fonctions logarithmes qui vérifie
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\[
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f(e) = 1
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\]
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||||
On note cette fonction $\ln$. Cette fonction est définie pour tout $x$ réel strictement positif.
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On a en particulier
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\[
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\ln(e) = 1
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\]
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\end{definition}
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\paragraph{Autres logarithmes remarquables}%
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\begin{itemize}
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||||
\item \textbf{Logarithme décimale}, noté $\log$. C'est le logarithme qui vérifie $\log(10) = 1$.
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||||
\item \textbf{Logarithme de base 2}, noté $\log_2$. C'est le logarithme qui vérifie $\log_2(2) = 1$.
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\end{itemize}
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\begin{propriete}[ Règles de calculs ]
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||||
Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
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\begin{eqnarray*}
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ln(1) &=& 0\\
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||||
ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
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||||
ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
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||||
ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
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||||
\end{eqnarray*}
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\end{propriete}
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||||
\paragraph{Démonstration}%
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\label{par:Démonstration}
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\afaire{Démontrer la première égalité en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ avec $a=b=1$ }
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\afaire{Calculer $\ln(a^2)$, $\ln(a^3)$ et $\ln(a^4)$ en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ pour vérifier la 2e égalité}
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\paragraph{Exemples d'utilisation}%
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\begin{definition}[Logarithme népérien]
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Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $e^b = a$.
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||||
$b$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$ et est noté $\ln(a)$. On peut alors noter
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\[
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e^b = a \qquad \equiv \ln(a) = b
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\]
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||||
La fonction \textbf{logarithme népérien}, notée $\ln$, est la fonction qui à tout $x > 0$ associe $\ln(x)$
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\end{definition}
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\subsection*{Valeurs particulières du logarithme}
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\afaire{Calculer les valeurs de $\ln(1)$ et $\ln(e)$}
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\subsection*{Propriétés}
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\begin{itemize}
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\item Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$
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||||
\item Pour tout $x \in \R$, $\ln(e^x) = x$
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\end{itemize}
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\section{Utilisation pour résoudre des équations}
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||||
Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.
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\subsection*{Propriétés}
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||||
Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
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\begin{itemize}
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||||
\item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
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||||
\item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
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||||
\item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
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\end{itemize}
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||||
\subsubsection*{Exemple}
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||||
\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
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\end{document}
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@ -0,0 +1,57 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Logarithme - Cours}
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\date{avril 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\section{Règles de calculs et équations avec les logarithmes}
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\begin{propriete}[ Règles de calculs ]
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||||
Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
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\begin{eqnarray*}
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||||
ln(1) &=& 0\\
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||||
ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
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||||
ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
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||||
ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
\end{propriete}
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||||
\paragraph{Démonstration}%
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\label{par:Démonstration}
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\begin{itemize}
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\item $\ln(1) = 0$
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\vspace{2cm}
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\item $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$
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\vspace{2cm}
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\end{itemize}
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\paragraph{Exemples d'utilisation}%
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\afaire{Écrire sous la forme d'une seul logarithme $A = 3\ln(8) - \ln(2) + 4\ln(5)$}
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\afaire{Démontrer l'égalité $\ln(6x) + \ln(\frac{x}{2}) +\ln(\frac{x}{3}) = 3\ln(x)$}
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||||
Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.
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\subsection*{Propriétés}
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||||
Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
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||||
\item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
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||||
\item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
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\end{itemize}
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\subsubsection*{Exemple}
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\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
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\afaire{Résoudre l'équation $\ln(2x+1) = 10$}
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\end{document}
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@ -2,7 +2,7 @@ Logarithme
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:date: 2021-04-25
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:modified: 2021-04-27
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:modified: 2021-04-28
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:authors: Benjamin Bertrand
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:tags: Exponentielle, Logarithme
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:category: Complementaire
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@ -26,6 +26,8 @@ Exercices: Exercices techniques sur la manipulation d'expressions avec l'exponen
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Étape 2: Approche historique du log
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Cours discuté sur la réalisation de multiplications avec des additions.
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.. image:: ./2P_sans_calculatrice.pdf
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:height: 200px
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||||
:alt: Faire des multiplications sans calculatrices
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@ -33,3 +35,35 @@ Exercices: Exercices techniques sur la manipulation d'expressions avec l'exponen
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.. image:: ./2E_table_log.pdf
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:height: 200px
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||||
:alt: Table de log
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Bilan: définition des logs
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.. image:: ./2B_def_ln.pdf
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:height: 200px
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:alt: Définition des logarithmes
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||||
Étape 3: Un monde multiplicatif
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Mises en situation des phénomènes multiplicatifs autour de nous et de la nécessité d'utiliser les logs
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Thèmes:
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- Ordre de grandeur
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- Suivi épidémique
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- pH
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- Intensité électrique, sonore, sismique
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- quantité d'information
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Bilan: échelle logarithmique
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Étape 4: Relations fonctionnelles et équations
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Bilan: Autres relations fonctionnelles et résolutions d'(in)équations
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.. image:: ./4B_rel_fonctionnelles.pdf
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:height: 200px
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:alt: Manipulations du log et équations
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Étape 5: Étude de la fonction ln
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Reference in New Issue