Feat: bilan pour l'étape 2 et 4

Complementaire/03_Logarithme/2B_def_ln.tex

@@ -0,0 +1,47 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Logarithmes}
+
+Avant l'invention de la calculatrice, les multiplications avec des grands nombres étaient compliquées à réaliser. Au seizième siècle, John Napier, mathématicien écossais, créa des tables de conversions qui permettaient de transformer ces multiplications en additions. Ce sont les tables de logarithmes. Elles correspondent à des fonctions qui transforment les multiplications en additions.
+
+\begin{propriete}[Relation fonctionnelle des logarithmes]
+    Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation
+    \[
+        \forall a, b \in \R^{+*} \qquad f(a\times b)  = f(a) + f(b)
+    \]
+    Cette famille de fonctions s'appelle les fonctions logarithmes.
+\end{propriete}
+
+\begin{definition}[Logarithme népérien]
+    On appelle \textbf{logarithme népérien} le membre des fonctions logarithmes qui vérifie
+    \[
+        f(e) = 1
+    \]
+    On note cette fonction $\ln$. Cette fonction est définie pour tout $x$ réel strictement positif.
+
+    On a en particulier 
+    \[
+        \ln(e) = 1
+    \]
+\end{definition}
+
+\paragraph{Autres logarithmes remarquables}%
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Logarithme décimale}, noté $\log$. C'est le logarithme qui vérifie $\log(10) = 1$.
+    \item \textbf{Logarithme de base 2}, noté $\log_2$. C'est le logarithme qui vérifie $\log_2(2) = 1$.
+\end{itemize}
+
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/3B_echelles_log.tex

@@ -0,0 +1,104 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Logarithme népérien}
+
+Avant l'invention de la calculatrice, les multiplications avec des grands nombres étaient compliquées à réaliser. Au seizième siècle, John Napier, mathématicien écossais, créa des tables de conversions qui permettaient de transformer ces multiplications en additions. Ce sont les tables de logarithmes. Elles correspondent à des fonctions qui transforment les multiplications en additions.
+
+\begin{propriete}[Relation fonctionnelle des logarithmes]
+    Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation
+    \[
+        \forall a, b \in \R^{+*} \qquad f(a\times b)  = f(a) + f(b)
+    \]
+    Cette famille de fonctions s'appelle les fonctions logarithmes.
+\end{propriete}
+
+\begin{definition}[Logarithme népérien]
+    On appelle \textbf{logarithme népérien} le membre des fonctions logarithmes qui vérifie
+    \[
+        f(e) = 1
+    \]
+    On note cette fonction $\ln$. Cette fonction est définie pour tout $x$ réel strictement positif.
+
+    On a en particulier 
+    \[
+        \ln(e) = 1
+    \]
+\end{definition}
+
+\paragraph{Autres logarithmes remarquables}%
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Logarithme décimale}, noté $\log$. C'est le logarithme qui vérifie $\log(10) = 1$.
+    \item \textbf{Logarithme de base 2}, noté $\log_2$. C'est le logarithme qui vérifie $\log_2(2) = 1$.
+\end{itemize}
+
+\begin{propriete}[ Règles de calculs ]
+        Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
+        \begin{eqnarray*}
+            ln(1) &=& 0\\
+            ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
+            ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
+            ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
+        \end{eqnarray*}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Démonstration}%
+\label{par:Démonstration}
+\afaire{Démontrer la première égalité en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ avec $a=b=1$ }
+\afaire{Calculer $\ln(a^2)$, $\ln(a^3)$ et $\ln(a^4)$ en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ pour vérifier la 2e égalité}
+
+\paragraph{Exemples d'utilisation}%
+
+
+
+\begin{definition}[Logarithme népérien]
+Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $e^b = a$.
+
+$b$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$ et est noté $\ln(a)$. On peut alors noter
+\[
+    e^b = a \qquad \equiv \ln(a) = b
+\]
+
+La fonction \textbf{logarithme népérien}, notée $\ln$, est la fonction qui à tout $x > 0$ associe $\ln(x)$
+    
+\end{definition}
+
+
+\subsection*{Valeurs particulières du logarithme}
+
+\afaire{Calculer les valeurs de $\ln(1)$ et $\ln(e)$}
+
+\subsection*{Propriétés}
+
+\begin{itemize}
+    \item Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$
+    \item Pour tout $x \in \R$, $\ln(e^x) = x$
+\end{itemize}
+
+\section{Utilisation pour résoudre des équations}
+
+Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.
+
+\subsection*{Propriétés}
+Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
+\begin{itemize}
+    \item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
+    \item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
+    \item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Exemple}
+\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/4B_rel_fonctionnelles.tex

@@ -0,0 +1,57 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{2}
+
+\section{Règles de calculs et équations avec les logarithmes}
+
+\begin{propriete}[ Règles de calculs ]
+    Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
+    \begin{eqnarray*}
+        ln(1) &=& 0\\
+        ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
+        ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
+        ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
+    \end{eqnarray*}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Démonstration}%
+\label{par:Démonstration}
+\begin{itemize}
+    \item $\ln(1)  = 0$
+        \vspace{2cm}
+    \item $\ln(\frac{1}{a})  = -\ln(a)$
+        \vspace{2cm}
+\end{itemize}
+
+
+\paragraph{Exemples d'utilisation}%
+\afaire{Écrire sous la forme d'une seul logarithme $A = 3\ln(8) - \ln(2) + 4\ln(5)$}
+\afaire{Démontrer l'égalité $\ln(6x) + \ln(\frac{x}{2}) +\ln(\frac{x}{3}) = 3\ln(x)$}
+
+
+Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.
+
+\subsection*{Propriétés}
+Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
+\begin{itemize}
+    \item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
+    \item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
+    \item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Exemple}
+\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}
+\afaire{Résoudre l'équation $\ln(2x+1) = 10$}
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Logarithme
 ##########
 
 :date: 2021-04-25
-:modified: 2021-04-27
+:modified: 2021-04-28
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Exponentielle, Logarithme
 :category: Complementaire
@@ -26,6 +26,8 @@ Exercices: Exercices techniques sur la manipulation d'expressions avec l'exponen
 Étape 2: Approche historique du log
 ===================================
 
+Cours discuté sur la réalisation de multiplications avec des additions.
+
 .. image:: ./2P_sans_calculatrice.pdf
     :height: 200px
     :alt: Faire des multiplications sans calculatrices
@@ -33,3 +35,35 @@ Exercices: Exercices techniques sur la manipulation d'expressions avec l'exponen
 .. image:: ./2E_table_log.pdf
     :height: 200px
     :alt: Table de log
+
+Bilan: définition des logs
+
+.. image:: ./2B_def_ln.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Définition des logarithmes
+
+Étape 3: Un monde multiplicatif
+===============================
+
+Mises en situation des phénomènes multiplicatifs autour de nous et de la nécessité d'utiliser les logs
+
+Thèmes:
+- Ordre de grandeur
+- Suivi épidémique
+- pH
+- Intensité électrique, sonore, sismique
+- quantité d'information
+
+Bilan: échelle logarithmique
+
+Étape 4: Relations fonctionnelles et équations
+==============================================
+
+Bilan: Autres relations fonctionnelles et résolutions d'(in)équations
+
+.. image:: ./4B_rel_fonctionnelles.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Manipulations du log et équations
+
+Étape 5: Étude de la fonction ln
+================================