2020-2021/TST/04_Formalisation_des_suites/1B_formalisation.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Formalisation des suites - Cours}
\date{août 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle


\begin{multicols}{2}
    \begin{center}
        \large{\textbf{Suite Arithmétique}}
    \end{center}
    \columnbreak
    \begin{center}
        \large{\textbf{Suite Géométrique}}
    \end{center}
\end{multicols}
\subsection*{Définitions}
\begin{multicols}{2}
    Une suite arithmétique modélise les situations où l'on répète une \textbf{addition}.
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[
            roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
            ]
            %Nodes
            \node[roundnode]        (premier)        {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
            \node[roundnode]        (deuxieme)      [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
            \node[roundnode]        (troisieme)      [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
            \node[roundnode]        (ad)      [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
            \node[roundnode]        (der)      [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}};

            %Lines
            \path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above]  {$+r$} (deuxieme.west);
            \path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above]  {$+r$} (troisieme.west);
            \path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west);
            \path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above]  {$+r$} (der.west);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    La quantité ajoutée $r$ est appelée la \textbf{raison}.

    \columnbreak
    Une suite géométrique modélise les situations où l'on répète une \textbf{multiplication}.
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[
            roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
            ]
            %Nodes
            \node[roundnode]        (premier)        {\makebox[0.5cm]{$u_0$}};
            \node[roundnode]        (deuxieme)      [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}};
            \node[roundnode]        (troisieme)      [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}};
            \node[roundnode]        (ad)      [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}};
            \node[roundnode]        (der)      [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}};

            %Lines
            \path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above]  {$\times q$} (deuxieme.west);
            \path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above]  {$\times q$} (troisieme.west);
            \path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west);
            \path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above]  {$\times q$} (der.west);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}
    La quantité par laquelle on multiplie $q$ est appelée la \textbf{raison}.
\end{multicols}

\subsection*{Formules de récurrence}
\begin{multicols}{2}
    \[
        u_{n+1} = u_{n} + r
    \]
    \columnbreak
    \[
        u_{n+1} = u_{n} \times q
    \]
\end{multicols}

\subsection*{Formules explicite}
\begin{multicols}{2}
    \[
        u_{n} = u_{0} + r\times n
    \]
    \columnbreak
    \[
        u_{n} = u_{0} \times q^n
    \]
\end{multicols}
\subsection*{Déterminer la nature d'une suite}
\begin{multicols}{2}
    On calcule la \textbf{différence} entre deux termes consécutifs. Le résultat doit être toujours le même et ne pas dépendre de $n$.
    \[
        u_1 - u_0 = ...
    \]
    \[
        u_2 - u_3 = ...
    \]
    Ou plus généralement,
    \[
        u_{n+1} - u_n = ...
    \]


    \columnbreak

    On calcule la \textbf{quotient} entre deux termes consécutifs. Le résultat doit être toujours le même et ne pas dépendre de $n$.
    \[
        \frac{u_1}{u_0} = ...
    \]
    \[
        \frac{u_2}{u_3} = ...
    \]
    Ou plus généralement,
    \[
        \frac{u_{n+1}}{u_n} = ...
    \]
\end{multicols}

\end{document}