Un test bayésien permet d'affiner la vraisemblablité d'hypothèses. La vraisemblablité sont modélisées par des probabilités.
On part d'un \textbf{a priori} (notre évaluation de la vraisemblablité des hypothèses avant le test). Puis nous faisons le test ce qui permet d'ajuster la vraisemblablité des hypothèses. Nous obtenons un \textbf{a posteriori}.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{./fig/test_baysien}
\end{center}
\subsection*{Test médical}
Étudions l'intérêt d'un test médical. Pour faire simple, on considèrera que l'on est soit \textbf{malade} soit pas malade et que le test donne deux résultats possibles \textbf{positif} ou négatif. On notera alors
\[
A = \left\{\mbox{Malade}\right\}\qquad\qquad B = \left\{\mbox{Test positif}\right\}
\]
\paragraph{Paramètres du test:}
\begin{itemize}
\item\textbf{Sensibilité}: la probabilité que le test soit positif sachant que l'on est malade
\[
P_A(B) = 0.9
\]
\item\textbf{Spécificité}: la probabilité que le test soit négatif sachant que l'on est pas malade
\[
P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0.99
\]
\end{itemize}
\paragraph{A priori:} on estime que 1\% de la population est malade. On appelle cela la \textbf{la prévalence} d'un maladie. On peut noter
\[
P(A) = 1\% = 0.01
\]
J'ai donc une chance sur 100 d'avoir cette maladie.
\paragraph{Mise en situation:} On fait un test qui est positif. Comment réévaluer la probabilité d'être malade? C'est à dire connaître
\[
P_B(A) = ?
\]
Imaginons une population de 1000 individus. En respectant les proportions, on peut construire le tableau des effectifs:
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{p{3cm}|}}
\hline
& Test positif ($B$) & Test négatif ($\overline{B}$) & Total \\
\hline
Malade ($A$) &&&\\
\hline
Pas malade ($\overline{A}$) &&&\\
\hline
Total &&& 1000 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\afaire{Compléter le tableau et calculer la probabilité cherchée}
