2020-2021/TST_sti2d/04_Integrale_et_Primitives/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Intégration}, step={1}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les quantités suivantes
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds \int^3_1 2 \; dx$
                    \item $\ds \int^{10}_2 5x \; dx$

                    \item $\ds \int^3_1 7 \; dx$
                    \item $\ds \int^{10}_5  3x \; dx$

                    \item $\ds \int^{0.4}_{0.1} 50t \; dt$
                    \item $\ds \int^3_1 2t \; dt$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item Pour les calculs suivants mettre sous la forme $\ds \int^a_b f(x) \;dx = F(b) - F(a)$ et identifier $f(x)$ et $F(x)$.
        \item Trouver une lien en $f(x)$ et $F(x)$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Intégration}, step={1}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
    \begin{enumerate}
        \item On veut calculer la quantité $\ds \int_2^3 3x^2 - 12x +14 \; dx$.
            \begin{enumerate}
                \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 3x^2 - 12x +14$?
                    \[
                        F(x) = 6x^3 + 4x^2 - 5x + 10 \qquad
                        F(x) = -3x^3 + 4x^2 - 5x + 1 \qquad
                        F(x) = x^3 - 6x^2 + 14x + 1 \qquad
                    \]
                \item Calculer $\ds \int_2^3 3x^2 - 12x +14 \; dx$
            \end{enumerate}
        \item On veut calculer la quantité
            \begin{enumerate}
                \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 6x^2 + 4x -5$?
                    \[
                        F(x) = x^6 + x^2 - 5x + 1 \qquad
                        F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 5x + 10 \qquad
                        F(x) = 6x^3 + 4x^2 - 5x \qquad
                    \]
                \item Calculer $\ds \int_1^{10} 6x^2 + 4x - 5 \; dx$
            \end{enumerate}
        \item On veut calculer la quantité $\ds \int_1^{10} 12x^3 - \dfrac{1}{x^2} - 1 \; dx$
            \begin{enumerate}
                \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 12x^3 - \dfrac{1}{x^2} - 1$?
                    \[
                        F(x) = 3x^4 - \dfrac{1}{x} - x  \qquad
                        F(x) = x^4 - \dfrac{1}{x^2} - x + 2  \qquad
                        F(x) = \dfrac{12}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 - x  \qquad
                    \]
                \item Calculer $\ds \int_1^{10} 12x^3 - \dfrac{1}{x^2} - 1 \; dx$
            \end{enumerate}
        \item On veut calculer la quantité $\ds \int_{-1}^{1} \cos(x) + \sin{x} \; dx$
            \begin{enumerate}
                \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = \cos(x) + \sin{x}$?
                    \[
                        F(x) = \sin(x) + \cos(x) + 1 \qquad
                        F(x) = \sin(x) - \cos(x) + 10 \qquad
                        F(x) = -\sin(x) + \cos(x) \qquad
                        F(x) = \sin(x) - \cos(x) + 5 \qquad
                    \]
                \item Calculer $\ds \int_{-1}^{1} \cos(x) + \sin{x}\; dx$
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Retrouver les primitives}, step={1}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
    Retrouver les primitives des fonctions suivantes
    \[
        f(x) = x \qquad g(x) = 2 \qquad h(x) = x^2 \qquad i(x) = x^3 \qquad j(x) = x^n \qquad k(x) = \dfrac{1}{x^2} \qquad l(x) = \cos(x)
    \]
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs de primitives }, step={2}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les primitives de fonctions suivantes
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $f(x) = 2x + 1$
                    \item $g(t) = t^2-2t +2$

                    \item $h(x) = 2x(4x+1)$
                    \item $i(x) = x + 1 + \frac{1}{x^2}$

                    \item $j(x) = 3x - \cos(x)$
                    \item $k(x) = x^{10} + \sin(x)$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item  Calculer les primitives de fonctions suivantes en respectant les contraintes
            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item $f(x) = 2x + 1$ et $F(0) = 5$
                    \item $g(t) = t^2-2t +2$ et $G(10) = 0$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs d'intégrales}, step={2}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
    Calculer les valeurs suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $\ds A = \int_1^2 9x^2 - 2x + 2\; dx$
            \item $\ds B = \int_3^4 5x^3 + 2x^2 + 1\; dx$
            \item $\ds C = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(x) \; dx$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

% \begin{exercise}[subtitle={Relation de Chasles}, step={2}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
%     On souhaite calculer plusieurs intégrales de la fonction $f(x) =3x^2 + 4x - 1$
%     \begin{enumerate}
%         \item Calculer un primitive de $f$.
%         \item Représenter graphiquement les quantités suivantes puis les calcules.
%             \[
%                 \int_{1}^2 f(x) \;dx \qquad
%                 \int_{2}^3 f(x) \;dx \qquad
%             \]
%         \item Représenter graphiquement la quantité $\ds \int_{1}^3 f(x) \;dx$ et déduire sa valeur à partir de la questions précédente
%         \item (*) Quelle formule peut-on conjecturer des deux questions précédentes? (si vous êtes pas trompé, cette formule s'appelle la relation de Chasles).
%     \end{enumerate}
% \end{exercise}


\begin{exercise}[subtitle={Propriétés de l'intégrales}, step={2}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
    Dans cet exercice, le calcul de plusieurs intégrales devrait vous permettre d'intuiter les propriétés de l'intégrale (du même type de la relation de Chasles dans le premier exercice).

    \noindent
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        Pour cela, on va s'intéresser aux deux fonctions suivantes (représentée ci-contre)

        \[
            f(x) = 2x - 4 \qquad \qquad g(x) = x^2 - 6x + 11
        \]
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.3, xscale=1.2, domain=-1:6]
            \tkzInit[xmin=-1,xmax=6,xstep=1, ymin=-4,ymax=7,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
            \tkzFct{2*x-4}
            \tkzFct{(x-3)*(x-3)+2}
            %\draw plot[id=g] function {(x-3)*(x-3)+2} node[right] {$g(x)$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{enumerate}
        \item Influence du signe de la fonction
            \begin{enumerate}
                \item Calculer les quantités suivantes
                    \[
                        \int_{1}^2 f(x) \;dx \qquad \qquad \int_3^4 g(x) \;dx
                    \]
                \item Quel est le signe de $f(x)$ sur $\intFF{1}{2}$ puis sur $\intFF{3}{4}$?
                \item Que peut-on conjecturer sur le lien entre le signe de la fonction et le signe de l'intégrale?
            \end{enumerate}
        \item Croissance de l'intégrale Pour les questions qui suivent on définira
            \[
                h(x) = f(x) - g(x)
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que $h(x) = -(x-3)(x-5)$ puis étudier le signe de $h(x)$.
                \item Calculer les quantités suivantes
                    \[
                        \int_3^5 h(x) \;dx
                    \]
                \item En déduire, la comparaison des quantités suivantes
                    \[
                        \int_3^5 f(x) \;dx \qquad \qquad  \int_3^5 g(x) \;dx
                    \]
                \item Que peut-on conjecturer de la questions (a) et (c)?
            \end{enumerate}
        \item Aire entre deux courbes.
            \begin{enumerate}
                \item Représenter sur le graphique la quantité
                    \[
                        \int_3^5 f(x) \;dx - \int_3^5 g(x) \;dx
                    \]
                \item En déduire, une méthode pour calculer l'aire contenue entre 2 courbes.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

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