2020-2021/TST/DS/DS_20_10_30/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, points=5, step=1, type={Auto}]
    \begin{enumerate}
        \item Un smartphone coûte 200€. Calculer sont prix après une réduction de 30\%.
            \vfill
        \item Sur l'emballage d'un plat préparé de 450g, il est écrit 2\% de sel. Calculer la quantité de sel.
            \vfill
        \item Dans une entreprise de 250 personnes, 20 sont des cadres. Donner la proportion de cadre dans cette entreprise.
            \vfill
        \item Développer puis réduire l'expression: $5x^2 + x(x-2)$
            \vfill
        \item Soit $f(x) = x^2 + 6x$. Calculer $f(-4)$.
            \vfill
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Résultats d'une entreprise}, points=8, step=1, type={Exercise}]
    Soit $f$ la fonction définie sur $\intFF{0}{60}$ par $f(x) = -0,1x^2 + 6x - 50$. Cette fonction représente le résultat (en milion d'euros) que réalise une entrpirse pour la fabrication de $x$ milions de jouets. La représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ représentée ci dessous.

    \noindent
    \begin{minipage}{0.55\textwidth}
        \begin{enumerate}
            \item Recherche graphique
                \begin{enumerate}
                    \item Déterminer graphiquement le bénéfice maximal et le nombre de jouets fabriqués pour lequel ce maximum est atteint.
                    \item Résoudre graphiquement $f(x) > 35$. Interpréter votre réponse.
                \end{enumerate}
            \item Recherche par le calcul
                \begin{enumerate}
                    \item Calculer $f'$ la dérivée de $f$.
                    \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
                    \item En déduire la valeur du maximum de $f$ ainsi que la valeur de $x$ pour laquel il est atteind.
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[xscale=0.6, yscale=0.7]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=55,xstep=5,
            ymin=-5,ymax=45,ystep=5]
            \tkzGrid
            \tkzGrid[sub, subxstep=1, subystep=1]
            \tkzDrawX[label={Production}, below=-20pt]
            \tkzLabelX
            \tkzDrawY[label={Recettes}, left=-50pt]
            \tkzLabelY
            \tkzFct[domain=0:55,color=red,very thick]%
            { -0.1*\x**2+6*\x-50 };
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{2}
        \item (*) Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-0,1x^2+7,5x+90$ qui représente les coûts de production en fonction de $x$.
            \begin{enumerate}
                \item Simplifier l'expression des bénéfices $b(x) = f(x) - g(x)$.
                \item Déterminer pour quelle valeur de $x$ les bénéfices sont positifs.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}

\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Suites}, points=7, step=1, type={Exercise}]

    \noindent
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        \begin{enumerate}
            \item  On s'intéresse à une ruche qui n'est soumise ni au bruit ni à la pollution. Le graphique ci-contre représente l'évolution de la population en fonction des années.

        On note $n$ le numéro de l'année et $u_n$ le nombre d'abeilles à l'année $n$.
        \bigskip

                \begin{enumerate}
                    \item Pourquoi peut-on estimer que la suite $(u_n)$ est arithmétique? Quelle est sa raison et son premier terme?
                    \item Quelle sera la population de cette ruche l'année 6? L'année 10?
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.7, yscale=0.7]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1,
            ymin=6500,ymax=9000,ystep=500]
            \tkzGrid
            \tkzGrid[sub, subystep=100, subxstep=1]
            \tkzDrawX[label={année}, below=-20pt]
            \tkzLabelX
            \tkzDrawY[label={Nombre}, left=-30pt]
            \tkzLabelY
            \global\edef\tkzFctLast{7100+x*350}
            \foreach \va in {0, 1, ...,5}{%
                \tkzDefPointByFct[draw](\va)%
            }
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{1}
        \item On s'intéresse à une riche perturbée par la pollution et le bruit. Elle est composée initialement de \np{50000} abeilles dont la reine mais sa population diminue de 8\% par an.
            \begin{enumerate}
                \item Quelle est la population de cette ruche après un an de perturbation?
                \item Expliquer pourquoi la population de cette ruche est multipliée par 0.92 chaque année.
            \end{enumerate}
            On modélise la population de cette ruche par la suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0 = \np{50000}$ et de raison $q = 0.92$
            \begin{enumerate}
                \setcounter{enumii}{2}
                \item Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
                \item Écrire une programme python qui permettrait de calculer $v_{10}$.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}

\end{exercise}


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