Feat: template pour DS8 TST
All checks were successful
continuous-integration/drone/push Build is passing
All checks were successful
continuous-integration/drone/push Build is passing
This commit is contained in:
parent
50dc6e7581
commit
2991c6abe1
285
TST/DS/DS_21_04_07/tpl_210407_DS8.tex
Normal file
285
TST/DS/DS_21_04_07/tpl_210407_DS8.tex
Normal file
@ -0,0 +1,285 @@
|
|||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DS8 \hfill \Var{Nom}}
|
||||||
|
\tribe{TST}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 7 avril}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}]
|
||||||
|
\textit{Toutes les questions de cette exercice sont indépendantes et peuvent être répondus séparément}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
%- set t = randint(10, 30)
|
||||||
|
\item De janvier à septembre, une quantité a augmenté de $\Var{t}\,\%$. Faire un schéma pour représenter la situation puis calculer le taux d'évolution moyen mensuel.
|
||||||
|
%- set valeur = randint(110, 150)
|
||||||
|
\item Une quantité augmente de $\Var{t}\,\%$ par ans. En 2020, elle est de \Var{valeur}\euro. Quelle était sa valeur en 2019? Faire un schéma pour représenter la situation.
|
||||||
|
\item Déterminer l'équation de la droite
|
||||||
|
%- set b = randint(-4, -1)
|
||||||
|
%- set denom = randint(2, 4)
|
||||||
|
%- set a = -2*b/denom
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=-5:5,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{\Var{a}*\x \Var{b}};
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
%- set a4 = randint(2, 50)
|
||||||
|
%- set b4 = round(random(), 2)
|
||||||
|
%- set c4 = randint(2, 10)
|
||||||
|
\item Résoudre l'équation $\Var{c4} \times \Var{b4}^x = \Var{a4}$
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item On veut partager cette évolution en 8 évolutions.
|
||||||
|
%- set cm = round( (1+t/100)**(1/8), 4)
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\left(1 + \frac{\Var{t}}{100}\right)^{\frac{1}{8}} = \Var{cm}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc le taux d'évolution moyen est
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
t_m = \Var{cm} - 1 = \Var{cm - 1}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Coefficient multiplicateur pour revenir en arrière
|
||||||
|
%- set cm = round( (1+t/100)**(-1), 4)
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
CM = (1 + \frac{\Var{t}}{100})^{-1} = \Var{cm}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On en déduit la quantité en 2019
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Var{valeur} * \Var{cm} = \Var{valeur*cm}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item L'équation de la droite est
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
y = \Var{a} x \Var{b}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Il faut penser à faire la division à par $\Var{c4}$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\[x = \frac{\log(\Var{round(a4/c4, 2)})}{\log(\Var{b4})}\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Restaurant}]
|
||||||
|
%- set p_M = round(random(), 2)
|
||||||
|
%- set p_S = round(1-p_M, 2)
|
||||||
|
%- set p_M_B = 0.25
|
||||||
|
%- set p_M_W = 0.75
|
||||||
|
%- set p_S_W = round(random(), 2)
|
||||||
|
%- set p_S_B = round(1-p_S_W, 2)
|
||||||
|
%- set p_B = round(p_S*p_S_B + p_M*p_M_B, 4)
|
||||||
|
Un \emph{food truck}, ouvert le midi et le soir, propose deux types de formules :
|
||||||
|
|
||||||
|
\setlength\parindent{10mm}
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item la formule \emph{Burger} ;
|
||||||
|
\item la formule \emph{Wok}.
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\setlength\parindent{0mm}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Le gérant a remarqué que \Var{int(p_M*100)}\,\% de ses ventes ont lieu le midi. Le quart des ventes du midi correspondent à la formule \emph{Burger}, alors que \Var{int(p_S_W*100)}\,\% des ventes du soir correspondent à la formule \emph{Wok}.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le gérant se constitue un fichier en notant, pour chaque vente, la formule choisie et le moment de cette vente (midi ou soir).
|
||||||
|
|
||||||
|
On prélève une fiche de façon équiprobable. On définit les quatre évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item $M$ : \og la fiche correspond à une vente du midi\fg{} ;
|
||||||
|
\item $S$ : \og la fiche correspond à une vente du soir\fg {};
|
||||||
|
\item $W$ : \og la fiche correspond à une formule \emph{Wok} \fg{} ;
|
||||||
|
\item $B$ : \og la fiche correspond à une formule \emph{Burger} \fg.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\setlength\parindent{0mm}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Recopier puis compléter l'arbre pondéré
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$M$}
|
||||||
|
child {node {$W$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$B$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$S$}
|
||||||
|
child {node {$W$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$B$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité de l'évènement $M \cap W$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
|
||||||
|
\item Montrer que la probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule \emph{Burger} est égale à $\Var{p_B}$.
|
||||||
|
\item On a prélevé une fiche correspondant à la formule \emph{Burger}. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que la vente ait eu lieu le soir?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$M$}
|
||||||
|
child {node {$W$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {$\Var{p_M_W}$}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$B$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {$\Var{p_M_B}$}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {$\Var{p_M}$}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$S$}
|
||||||
|
child {node {$W$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {$\Var{p_S_W}$}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$B$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {$\Var{p_S_B}$}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {$\Var{p_S}$}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item On calcule la probabilité que la vente soit un wok et ait eu lieu à midi
|
||||||
|
\[ P(M\cap W) = P(M) \times P_M(W) = \Var{p_M} \times \Var{p_M_W} = \Var{round(p_M * p_M_W, 4)} \]
|
||||||
|
\item Probabilité que la vente soit un burger.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = P(M\cap B) + P(S\cap B) = \Var{p_M} \times \Var{p_M_W} + \Var{p_S} \times \Var{p_S_W} = \Var{p_B}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item On cherche à calculer la quantité $P_B(S)$. Pour cela on utilise la formule de Bayes
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_B(S) = \frac{P(B\cap S)}{P(B)} = \frac{P_S(B) \times P(S)}{P(B)} = \frac{\Var{p_S_B}\times \Var{p_S}}{\Var{p_B}} = \Var{p_S_B*p_S/p_B} \approx \Var{round(p_S_B*p_S/p_B, 3)}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Continent plastique}]
|
||||||
|
\textit{Les quantités évoqués dans cette exercices sont générés au hasard et sont donc complètement farfelus.}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
%- set u0 = randint(2, 20)
|
||||||
|
%- set t = round(0.1 + 0.2*random(), 2)
|
||||||
|
%- set q = 1 + t
|
||||||
|
Le \og continent de plastique\fg{} est la plus grande des plaques de déchets plastiques évoluant sur les océans. Elle occupe actuellement dans l'océan Pacifique une surface dont l'aire est évaluée à plus de $1,6$ million de km$^2$, entre Hawaï et la Californie.
|
||||||
|
|
||||||
|
En 2017, des scientifiques ont estimé qu'il y avait $\Var{u0}$ millions de tonnes de déchets plastiques qui était déversé chaque année dans les océans et que cette quantité augmentait de $\Var{int(t*100)}\n\%$ par chaque année.
|
||||||
|
|
||||||
|
On modélise l'évolution de la masse de ces déchets plastiques déversée chaque année, si rien n'est fait pour la réduire, par une suite géométrique $\left(u_n\right)$. L'arrondi au centième du terme $u_n$ représente la masse de ces déchets déversée chaque année, exprimée en million de tonnes, pour l'année $(2017 + n)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi la suite $u_n$ est géométrique?
|
||||||
|
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
|
||||||
|
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
|
||||||
|
\item Au début de l'année 2017, il y avait $300$ millions de tonnes de déchets plastique. Calculer la quantité totale de déchets plastiques en 2030.
|
||||||
|
\item On souhaite déterminer en quelle année la masse totale de ces déchets plastiques aura pour la première fois augmenté de $50$\,\% par rapport à sa valeur de 2017.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour que la variable $N$ contienne la réponse au problème posé.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
|
||||||
|
$N \gets 2017$\\
|
||||||
|
$U \gets \Var{u0}$ \\
|
||||||
|
$S \gets 300 + U$ \\
|
||||||
|
Tant que $S < 450$ \\
|
||||||
|
\hspace{1cm} $N \gets \ldots$\\
|
||||||
|
\hspace{1cm} $U \gets \ldots$\\
|
||||||
|
\hspace{1cm} $S \gets \ldots$\\
|
||||||
|
Fin Tant que\\\hline
|
||||||
|
\end{tabularx}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item Que contiennent les variables $S$, $U$ et $N$ après exécution de cet algorithme ?
|
||||||
|
|
||||||
|
Interpréter les résultats dans le contexte de l'exercice.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Une augmentation de $\Var{int(t*100)}\,\%$ revient à multiplier la quantité par $\Var{q}$. La suite est donc bien géométrique. Son premier terme est $u_0 = \Var{u0}$ et sa raison est $q = \Var{q}$
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u_1 = u_0 * \Var{q} = \Var{u0*q}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u_2 = u_0 * \Var{q}^2 = \Var{round(u0*q**2, 4)}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u_n = u_0 \times q^n = \Var{u0} \times \Var{q}^n
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item On calcule la quantité totale déversée entre 2017 et 2030.
|
||||||
|
%- set somme = round(u0 * (1-q**13)/(1-q), 2)
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\sum_{n = 0}^{13} u_n = u_0 \times \frac{1-q^{13}}{1-q} = \Var{u0} \times \frac{1 - \Var{q}^{13}}{1 - \Var{q}} = \Var{somme}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On en déduit la quantité totale de déchets en 2030
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
300 + \Var{somme} = \Var{300 + somme}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item ~
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
|
||||||
|
$N \gets 2017$\\
|
||||||
|
$U \gets \Var{u0}$ \\
|
||||||
|
$S \gets 300 + U$ \\
|
||||||
|
Tant que $S < 450$ \\
|
||||||
|
\hspace{1cm} $N \gets N + 1$\\
|
||||||
|
\hspace{1cm} $U \gets U * \Var{q}$\\
|
||||||
|
\hspace{1cm} $S \gets S + u$\\
|
||||||
|
Fin Tant que\\\hline
|
||||||
|
\end{tabularx}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item \textit{Pas de correction automatisé}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user