Feat: fin du chapitre sur la loi binomiale pour les TST

TST/08_Loi_binomiale/2B_esperance.tex

@@ -11,27 +11,7 @@
 
 \maketitle
 
-\setcounter{2}
+\setcounter{section}{2}
-\subsection*{Formule pour calculer des probabilité}
-
-\begin{propriete}
-    Soit $X \sim \mathcal{B} (n; p)$ une variable aléatoire, alors on peut calculer la probabilité avec la formule suivante
-    \\[2cm]
-\end{propriete}
-
-\paragraph{Exemples}
-
-Soit $X \sim \mathcal{B}(3; 0.9)$ la variable aléatoire utiliser pour modéliser l'exemple précédent.
-
-\[
-    P(X = 0) = 
-\]
-\[
-    P(X = 2) = 
-\]
-\afaire{}
-
-
 \subsection*{Espérance de la loi binomiale}
 
 \begin{propriete}
@@ -47,6 +27,6 @@ Soit $X \sim \mathcal{B}(3; 0.9)$. L'espérance de $X$ est alors
 \[
     E[X] = 
 \]
-\afaire{}
+\afaire{Faire le calcul et interpréter le résultat dans le cadre du contexte expliqué dans l'exemple précédent.}
 
 \end{document}

TST/08_Loi_binomiale/3B_coef_bino.tex

@@ -0,0 +1,61 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Loi binomiale - Cours}
+\date{Février 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{2}
+\subsection*{Formule pour calculer des probabilité}
+
+\begin{propriete}
+    Soit $X \sim \mathcal{B} (n; p)$ une variable aléatoire, alors on peut calculer la probabilité avec la formule suivante
+    \\[2cm]
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}
+
+Soit $X \sim \mathcal{B}(3; 0.9)$ la variable aléatoire utiliser pour modéliser l'exemple précédent.
+
+\[
+    P(X = 0) = 
+\]
+\[
+    P(X = 2) = 
+\]
+\afaire{}
+
+
+\section{Coefficient binomial}
+
+Le nombre qu'il est compliquer de connaître dans la formule précédente est appelé \textbf{coefficient binomial}.
+
+\begin{definition}[ Coefficient binomial ]
+    Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$. $n$ représente le nombre de répétitions et $k$ le nombre de succès.
+
+    \textbf{Le coefficient binomial} $\coefBino{n}{k}$, se lit "$k$ parmi $n$", est le nombre de façon d'obtenir $k$ succès quand on fait $n$ répétitions ou encore le nombre de chemin avec $k$ succès dans un arbre avec $n$ étages.
+
+    Par convention, $\coefBino{0}{0} = 1$.
+\end{definition}
+
+\paragraph{Exemples}%
+Quelques valeurs de coefficient binomial
+
+\[
+    \coefBino{3}{0} = \qquad \qquad
+    \coefBino{3}{1} = \qquad \qquad
+    \coefBino{3}{2} = \qquad \qquad
+    \coefBino{3}{3} = 
+\]
+\afaire{Tracer un arbre à trois étage et compléter les valeurs}
+
+\afaire{Réécrire le formule pour calculer une probabilité avec une loi binomiale en utilisant les coefficients binomiaux.}
+
+
+\end{document}

TST/08_Loi_binomiale/4B_triangle_pascal.tex

@@ -0,0 +1,58 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Loi binomiale - Cours}
+\date{Février 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{3}
+
+\begin{propriete}[ Triangle de Pascal ]
+    Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$.
+    \[
+        \coefBino{n}{0} = \coefBino{n}{n} = 1 \qquad \qquad \coefBino{n-1}{k-1} + \coefBino{n-1}{k} = \coefBino{n}{k}
+    \]
+    Il est possible de calculer ces coefficients binomiaux grâce au triangle de Pascale.
+    
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|*{8}{p{0.8cm}|}}
+            \hline
+            n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 
+            \hline
+            0 & 1 & & & & & &\\
+            \hline
+            1 & & & & & & &\\
+            \hline
+            2 & & & & & & &\\
+            \hline
+            3 & & & & & & &\\
+            \hline
+            4 & & & & & & &\\
+            \hline
+            5 & & & & & & &\\
+            \hline
+            6 & & & & & & &\\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+    \afaire{Compléter le tableau en utilisant les règles de calculs.}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+\begin{itemize}
+    \item Nombre de façon de d'avoir 4 succès en 5 répétitions $\coefBino{...}{...} = ...$
+\afaire{à compléter}
+    \item Soit $X\sim \mathcal{B}(5, 0.3)$. 
+        \[
+            P(X = 4) = 
+        \]
+\afaire{à compléter en utilisant les coefficients binomiaux.}
+\end{itemize}
+
+\end{document}

TST/08_Loi_binomiale/4E_triangle_pascal.tex

@@ -0,0 +1,30 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Loi binomiale - Cours}
+\date{janvier 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=4,
+}
+
+\setcounter{exercise}{4}
+
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

TST/08_Loi_binomiale/5E_application.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Loi binomiale - Cours}
+\date{Février 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=5,
+}
+
+\setcounter{exercise}{5}
+
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

TST/08_Loi_binomiale/exercises.tex

@@ -93,4 +93,62 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Triangle de Pascal}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+        Dans cet exercice, $n$ représente le nombre de répétitions et $k$ le nombre de succès.
+        \begin{enumerate}
+            \item En vous aidant de ce qui a été fait à l'exercice précédent, compléter le tableau ci-dessous avec les coefficients binomiaux.
+            \item Quelles sont les cases qui seront toujours vide?
+            \item Quelles sont les cases qu'il est "facile" de remplir?
+            \item Conjecturer une façon de calculer les autres. 
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{tabular}{|*{8}{p{0.8cm}|}}
+            \hline
+            n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 
+            \hline
+            0 & 1 & & & & & &\\
+            \hline
+            1 & & & & & & &\\
+            \hline
+            2 & & & & & & &\\
+            \hline
+            3 & & & & & & &\\
+            \hline
+            4 & & & & & & &\\
+            \hline
+            5 & & & & & & &\\
+            \hline
+            6 & & & & & & &\\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Vaccination des chiots}, step={5}, origin={Indice Math Complémentaire 84p178}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Dans un chenil, on vaccine 5 chiots de façon indépendante. Lors des vaccinations précédente, on avait constaté que le chiot avait une chance sur cinq d'avoir une réaction forte au vaccin.
+
+    On note $X$ le nombre de chiots qui auront une réaction forte au vaccin.
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
+        \item Calculer $P(X=1)$. Interpréter le résultat.
+        \item Quelle est la probabilité que 5 chiots aient une réaction forte??
+        \item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Temps de trajet}, step={5}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Pour aller au travail, je croise 6 feux. En interrogeant les employés municipaux en charge de la voirie, j'ai appris que ces feux étaient indépendants les uns des autres et qu'ils étaient rouges 70\% du temps.
+
+    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de feux rouges que je rencontre en allant travailler.
+    \begin{enumerate}
+        \item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
+        \item Calculer $P(X=2)$. Interpréter le résultat.
+        \item Quelle est la probabilité que je rencontre 5 feux rouges ou plus?
+        \item Combien de feux rouge vais-je avoir en moyenne quand je vais au travail?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
 \collectexercisesstop{banque}

TST/08_Loi_binomiale/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Loi binomiale
 #############
 
 :date: 2021-01-20
-:modified: 2021-01-25
+:modified: 2021-02-07
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Probabilité, Binomiale, Tableur
 :category: TST
@@ -37,11 +37,46 @@ Lors de la lecture du bilan, on donnera la méthode pour calculer des probabilit
     :height: 200px
     :alt: Exercices où l'on utilise les arbres pour calculer des probabilités avec la loi binomiale
 
-Cours/Bilan: formule pour calculer des probabilités et l'espérance d'une loi binomiale
+Cours/Bilan: L'espérance d'une loi binomiale. 
 
 .. image:: ./2B_esperance.pdf
     :height: 200px
     :alt: formule pour calculer des probabilités et l'espérance d'une loi binomiale
 
-Étape 3: Simulation avec python
+Étape 3: Étude des nombres de chemins
-===============================
+=====================================
+
+On commence par un travail technique où il est demandé construire le tableau de la loi de probabilités à partir des paramètres de la loi binomiale. On demande aux élèves de rentrer les calculatrices et d'écrire le calcul qu'ils demanderaient à la calculatrice. On précise aussi que dès que c'est possible, ils doivent essayer de ne pas faire l'arbre de probabilités pour construire leur tableau.
+
+.. image:: ./3E_coef_bino.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Tracer des arbres de probabilités et découverte de la formule pour calculer des probabilités.
+
+
+Bilan du premier exercice: La formule des probabilités est donnée sans évoquer les coefficients binomiaux. Puis on explique que le "nombre de chemins" est appelé coefficient binomial et l'on réécrit la formule de probabilités.
+
+.. image:: ./3B_coef_bino.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: formule de probabilité et introduction des coefficients binomiaux.
+
+Étape 4: Triangle de Pascal
+===========================
+
+Rangement des coefficients binomiaux dans un tableau et réflexion sur comment calculer les suivants
+
+.. image:: ./4E_triangle_pascal.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Triangle de Pascal
+
+Bilan: formules de calculs, triangle de Pascal et calcul de probabilité.
+
+.. image:: ./4B_triangle_pascal.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Bilan sur le triangle de Pascal.
+
+Étape 5: Exercices d'applications
+=================================
+
+.. image:: ./5E_application.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Application de la loi binomiale.