Feat: Derniers exercices sur la fonction inverse

TST/12_Fonction_inverse/3E_type.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Fonction inverse - exercices }
+\date{Mai 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=3,
+}
+
+\setlength\columnsep{10pt}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST/12_Fonction_inverse/exercises.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \collectexercises{banque}
-\begin{exercise}[subtitle={"factorisation"}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonctions inverse}]
+\begin{exercise}[subtitle={"factorisation"}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
     Démontrer les égalités suivantes
     \begin{multicols}{3}
         \begin{enumerate}
@@ -15,7 +15,7 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonctions inverse}]
+\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
     \begin{enumerate}
         \item Dériver les fonctions suivantes
         \begin{multicols}{4}
@@ -38,4 +38,80 @@
         \item Pour chacune des fonctions, étudier le signe de leur dérivée puis en déduire leurs variations.
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Histoire de coûts}, step={3}, origin={Sigma 140p122}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
+    \begin{definition}
+        Le \textbf{coût moyen unitaire} quand on fabrique $q$ unité est $C_m(q) = \frac{C(q)}{q}$ où $C(q)$ est le coût total pour produire $q$ unités.
+    \end{definition}
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        Une entreprise fabrique chaque jour entre $0$ et $30m^3$ de produit chimique.
+        \begin{enumerate}
+            \item Soit $C$ la fonction qui modélise ses coûts de fabrication. Elle est définie sur l'intervalle $\intFF{0}{30}$ par $C(x) = x^2 + 50x + 100$ et exprimée en euros.
+                \begin{enumerate}
+                    \item Calculer le coût de production total pour $10m^3$.
+                    \item Calculer le coût moyen unitaire pour $10m^3$.
+                \end{enumerate}
+            \item On définit la fonction $f$ qui modélise le coût moyen unitaire en fonction de la quantité $x$ par la fonction $f(x) = \frac{C(x)}{x}$ sur l'intervalle $\intFF{1}{30}$. On a représenté cette fonction ci-contre.
+
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer graphiquement une valeur approchée de $f(5)$ puis de $f(25)$.
+                \item Déterminer graphiquement quelles quantité doivent être produite pour avoir un coût unitaire moyen inférieur à 80.
+            \end{enumerate}
+        \end{enumerate}    
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.4]
+            \tkzInit[xmin=0,xmax=30,xstep=5,
+            ymin=0,ymax=150,ystep=10]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY
+            \tkzFct[domain=1:30,color=red,very thick]%
+            {\x+50+100/\x};
+        \end{tikzpicture}
+        
+    \end{minipage}
+
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{2}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Démontrer que $f(x) = x + 50 + \frac{100}{x}$..
+                \item Dériver la fonction $f$ puis démontrer que l'on a
+                    \[
+                        f'(x) = \frac{(x-10)(x+10)}{x^2}
+                    \]
+                \item Étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
+                \item Déterminer la quantité à produire pour que le coût moyen de production soit minimal.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière première}, step={3}, origin={???}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+    On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $12m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges. 
+
+    On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
+        \includegraphics[scale=0.8]{./fig/citerne}
+    \end{minipage}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
+        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$.
+        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
+            \[
+                S(x) = 6x + 8 + \frac{24}{x}
+            \]
+        \item Démontrer que 
+            \[
+                S'(x) = \frac{6(x-2)(x+2)}{x^2}
+            \]
+        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
+        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}

TST/12_Fonction_inverse/fig/citerne.svg

@@ -0,0 +1,132 @@
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+  </g>
+</svg>

TST/12_Fonction_inverse/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Fonction inverse
 ################
 
 :date: 2021-05-06
-:modified: 2021-05-18
+:modified: 2021-05-21
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Fonctions inverse
 :category: TST
@@ -43,3 +43,8 @@ Bilan: Dérivée de la fonction inverse
 Étape 3: Bastonage sur des exercices types.
 ===========================================
 
+Exercices classiques sur l'utilisation de l'inverse
+
+.. image:: ./3E_type.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices classiques sur l'utilisation de l'inverse