Feat: Derniers exercices sur la fonction inverse
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Fonction inverse - exercices }
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\date{Mai 2021}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step=3,
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}
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\setlength\columnsep{10pt}
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\begin{document}
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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@ -1,5 +1,5 @@
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={"factorisation"}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonctions inverse}]
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\begin{exercise}[subtitle={"factorisation"}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
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Démontrer les égalités suivantes
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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@ -15,7 +15,7 @@
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonctions inverse}]
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\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
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\begin{enumerate}
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\item Dériver les fonctions suivantes
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\begin{multicols}{4}
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@ -38,4 +38,80 @@
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\item Pour chacune des fonctions, étudier le signe de leur dérivée puis en déduire leurs variations.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Histoire de coûts}, step={3}, origin={Sigma 140p122}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
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\begin{definition}
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||||
Le \textbf{coût moyen unitaire} quand on fabrique $q$ unité est $C_m(q) = \frac{C(q)}{q}$ où $C(q)$ est le coût total pour produire $q$ unités.
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||||
\end{definition}
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\noindent
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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||||
Une entreprise fabrique chaque jour entre $0$ et $30m^3$ de produit chimique.
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\begin{enumerate}
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\item Soit $C$ la fonction qui modélise ses coûts de fabrication. Elle est définie sur l'intervalle $\intFF{0}{30}$ par $C(x) = x^2 + 50x + 100$ et exprimée en euros.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le coût de production total pour $10m^3$.
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\item Calculer le coût moyen unitaire pour $10m^3$.
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\end{enumerate}
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\item On définit la fonction $f$ qui modélise le coût moyen unitaire en fonction de la quantité $x$ par la fonction $f(x) = \frac{C(x)}{x}$ sur l'intervalle $\intFF{1}{30}$. On a représenté cette fonction ci-contre.
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer graphiquement une valeur approchée de $f(5)$ puis de $f(25)$.
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\item Déterminer graphiquement quelles quantité doivent être produite pour avoir un coût unitaire moyen inférieur à 80.
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\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{minipage}
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||||
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.4]
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||||
\tkzInit[xmin=0,xmax=30,xstep=5,
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ymin=0,ymax=150,ystep=10]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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||||
\tkzFct[domain=1:30,color=red,very thick]%
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||||
{\x+50+100/\x};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{minipage}
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||||
\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $f(x) = x + 50 + \frac{100}{x}$..
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\item Dériver la fonction $f$ puis démontrer que l'on a
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\[
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f'(x) = \frac{(x-10)(x+10)}{x^2}
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\]
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\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
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||||
\item Déterminer la quantité à produire pour que le coût moyen de production soit minimal.
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\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière première}, step={3}, origin={???}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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||||
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $12m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
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On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\includegraphics[scale=0.8]{./fig/citerne}
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\end{minipage}
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\begin{enumerate}
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||||
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
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\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$.
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\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
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\[
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S(x) = 6x + 8 + \frac{24}{x}
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\]
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||||
\item Démontrer que
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\[
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S'(x) = \frac{6(x-2)(x+2)}{x^2}
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\]
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||||
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
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||||
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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<text
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After Width: | Height: | Size: 5.6 KiB |
@ -2,7 +2,7 @@ Fonction inverse
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################
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||||
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||||
:date: 2021-05-06
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||||
:modified: 2021-05-18
|
||||
:modified: 2021-05-21
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
|
||||
:tags: Fonctions inverse
|
||||
:category: TST
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||||
@ -43,3 +43,8 @@ Bilan: Dérivée de la fonction inverse
|
||||
Étape 3: Bastonage sur des exercices types.
|
||||
===========================================
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||||
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||||
Exercices classiques sur l'utilisation de l'inverse
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.. image:: ./3E_type.pdf
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:height: 200px
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||||
:alt: Exercices classiques sur l'utilisation de l'inverse
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||||
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