Merge branch 'master' of ssh://git_opytex:/lafrite/2020-2021
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615ddbc735
285
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285
TST/DS/DS_21_04_07/tpl_210407_DS8.tex
Normal file
@ -0,0 +1,285 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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% Title Page
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\title{DS8 \hfill \Var{Nom}}
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\tribe{TST}
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\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 7 avril}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}]
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\textit{Toutes les questions de cette exercice sont indépendantes et peuvent être répondus séparément}
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\begin{enumerate}
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%- set t = randint(10, 30)
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\item De janvier à septembre, une quantité a augmenté de $\Var{t}\,\%$. Faire un schéma pour représenter la situation puis calculer le taux d'évolution moyen mensuel.
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%- set valeur = randint(110, 150)
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\item Une quantité augmente de $\Var{t}\,\%$ par ans. En 2020, elle est de \Var{valeur}\euro. Quelle était sa valeur en 2019? Faire un schéma pour représenter la situation.
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\item Déterminer l'équation de la droite
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%- set b = randint(-4, -1)
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%- set denom = randint(2, 4)
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%- set a = -2*b/denom
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\begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=-5:5,color=red,very thick]%
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{\Var{a}*\x \Var{b}};
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\end{tikzpicture}
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%- set a4 = randint(2, 50)
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%- set b4 = round(random(), 2)
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%- set c4 = randint(2, 10)
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\item Résoudre l'équation $\Var{c4} \times \Var{b4}^x = \Var{a4}$
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On veut partager cette évolution en 8 évolutions.
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%- set cm = round( (1+t/100)**(1/8), 4)
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\[
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\left(1 + \frac{\Var{t}}{100}\right)^{\frac{1}{8}} = \Var{cm}
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\]
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Donc le taux d'évolution moyen est
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\[
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t_m = \Var{cm} - 1 = \Var{cm - 1}
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\]
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\item Coefficient multiplicateur pour revenir en arrière
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%- set cm = round( (1+t/100)**(-1), 4)
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\[
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CM = (1 + \frac{\Var{t}}{100})^{-1} = \Var{cm}
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\]
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||||
On en déduit la quantité en 2019
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\[
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\Var{valeur} * \Var{cm} = \Var{valeur*cm}
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\]
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\item L'équation de la droite est
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\[
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y = \Var{a} x \Var{b}
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\]
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||||
\item Il faut penser à faire la division à par $\Var{c4}$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.
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\[x = \frac{\log(\Var{round(a4/c4, 2)})}{\log(\Var{b4})}\]
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Restaurant}]
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%- set p_M = round(random(), 2)
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%- set p_S = round(1-p_M, 2)
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%- set p_M_B = 0.25
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||||
%- set p_M_W = 0.75
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||||
%- set p_S_W = round(random(), 2)
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||||
%- set p_S_B = round(1-p_S_W, 2)
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||||
%- set p_B = round(p_S*p_S_B + p_M*p_M_B, 4)
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Un \emph{food truck}, ouvert le midi et le soir, propose deux types de formules :
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\setlength\parindent{10mm}
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\begin{itemize}
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||||
\item la formule \emph{Burger} ;
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||||
\item la formule \emph{Wok}.
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\end{itemize}
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\setlength\parindent{0mm}
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\medskip
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Le gérant a remarqué que \Var{int(p_M*100)}\,\% de ses ventes ont lieu le midi. Le quart des ventes du midi correspondent à la formule \emph{Burger}, alors que \Var{int(p_S_W*100)}\,\% des ventes du soir correspondent à la formule \emph{Wok}.
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Le gérant se constitue un fichier en notant, pour chaque vente, la formule choisie et le moment de cette vente (midi ou soir).
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On prélève une fiche de façon équiprobable. On définit les quatre évènements suivants:
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\begin{enumerate}
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\item $M$ : \og la fiche correspond à une vente du midi\fg{} ;
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\item $S$ : \og la fiche correspond à une vente du soir\fg {};
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\item $W$ : \og la fiche correspond à une formule \emph{Wok} \fg{} ;
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||||
\item $B$ : \og la fiche correspond à une formule \emph{Burger} \fg.
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\end{enumerate}
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\setlength\parindent{0mm}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Recopier puis compléter l'arbre pondéré
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$M$}
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||||
child {node {$W$}
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||||
edge from parent
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||||
node[above] {...}
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}
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||||
child {node {$B$}
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||||
edge from parent
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||||
node[above] {...}
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||||
}
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||||
edge from parent
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||||
node[above] {...}
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||||
}
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||||
child[missing] {}
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||||
child { node {$S$}
|
||||
child {node {$W$}
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||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
}
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||||
child {node {$B$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
|
||||
}
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||||
edge from parent
|
||||
node[above] {...}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\item Calculer la probabilité de l'évènement $M \cap W$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
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\item Montrer que la probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule \emph{Burger} est égale à $\Var{p_B}$.
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\item On a prélevé une fiche correspondant à la formule \emph{Burger}. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que la vente ait eu lieu le soir?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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||||
\item
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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||||
\node {.}
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child {node {$M$}
|
||||
child {node {$W$}
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||||
edge from parent
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||||
node[above] {$\Var{p_M_W}$}
|
||||
}
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||||
child {node {$B$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$\Var{p_M_B}$}
|
||||
}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$\Var{p_M}$}
|
||||
}
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||||
child[missing] {}
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||||
child { node {$S$}
|
||||
child {node {$W$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$\Var{p_S_W}$}
|
||||
}
|
||||
child {node {$B$}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$\Var{p_S_B}$}
|
||||
}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[above] {$\Var{p_S}$}
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||||
} ;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\item On calcule la probabilité que la vente soit un wok et ait eu lieu à midi
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\[ P(M\cap W) = P(M) \times P_M(W) = \Var{p_M} \times \Var{p_M_W} = \Var{round(p_M * p_M_W, 4)} \]
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||||
\item Probabilité que la vente soit un burger.
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\[
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P(B) = P(M\cap B) + P(S\cap B) = \Var{p_M} \times \Var{p_M_W} + \Var{p_S} \times \Var{p_S_W} = \Var{p_B}
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||||
\]
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||||
\item On cherche à calculer la quantité $P_B(S)$. Pour cela on utilise la formule de Bayes
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\[
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||||
P_B(S) = \frac{P(B\cap S)}{P(B)} = \frac{P_S(B) \times P(S)}{P(B)} = \frac{\Var{p_S_B}\times \Var{p_S}}{\Var{p_B}} = \Var{p_S_B*p_S/p_B} \approx \Var{round(p_S_B*p_S/p_B, 3)}
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\]
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||||
\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Continent plastique}]
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\textit{Les quantités évoqués dans cette exercices sont générés au hasard et sont donc complètement farfelus.}
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\medskip
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%- set u0 = randint(2, 20)
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%- set t = round(0.1 + 0.2*random(), 2)
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%- set q = 1 + t
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Le \og continent de plastique\fg{} est la plus grande des plaques de déchets plastiques évoluant sur les océans. Elle occupe actuellement dans l'océan Pacifique une surface dont l'aire est évaluée à plus de $1,6$ million de km$^2$, entre Hawaï et la Californie.
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||||
En 2017, des scientifiques ont estimé qu'il y avait $\Var{u0}$ millions de tonnes de déchets plastiques qui était déversé chaque année dans les océans et que cette quantité augmentait de $\Var{int(t*100)}\n\%$ par chaque année.
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||||
On modélise l'évolution de la masse de ces déchets plastiques déversée chaque année, si rien n'est fait pour la réduire, par une suite géométrique $\left(u_n\right)$. L'arrondi au centième du terme $u_n$ représente la masse de ces déchets déversée chaque année, exprimée en million de tonnes, pour l'année $(2017 + n)$.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer pourquoi la suite $u_n$ est géométrique?
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\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
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\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
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\item Au début de l'année 2017, il y avait $300$ millions de tonnes de déchets plastique. Calculer la quantité totale de déchets plastiques en 2030.
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\item On souhaite déterminer en quelle année la masse totale de ces déchets plastiques aura pour la première fois augmenté de $50$\,\% par rapport à sa valeur de 2017.
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\begin{enumerate}
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\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour que la variable $N$ contienne la réponse au problème posé.
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
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$N \gets 2017$\\
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$U \gets \Var{u0}$ \\
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$S \gets 300 + U$ \\
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Tant que $S < 450$ \\
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\hspace{1cm} $N \gets \ldots$\\
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\hspace{1cm} $U \gets \ldots$\\
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||||
\hspace{1cm} $S \gets \ldots$\\
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Fin Tant que\\\hline
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\end{tabularx}
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\end{center}
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\item Que contiennent les variables $S$, $U$ et $N$ après exécution de cet algorithme ?
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Interpréter les résultats dans le contexte de l'exercice.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Une augmentation de $\Var{int(t*100)}\,\%$ revient à multiplier la quantité par $\Var{q}$. La suite est donc bien géométrique. Son premier terme est $u_0 = \Var{u0}$ et sa raison est $q = \Var{q}$
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\item
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\[
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u_1 = u_0 * \Var{q} = \Var{u0*q}
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\]
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\[
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||||
u_2 = u_0 * \Var{q}^2 = \Var{round(u0*q**2, 4)}
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\]
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||||
\item
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||||
\[
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||||
u_n = u_0 \times q^n = \Var{u0} \times \Var{q}^n
|
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\]
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||||
\item On calcule la quantité totale déversée entre 2017 et 2030.
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%- set somme = round(u0 * (1-q**13)/(1-q), 2)
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\[
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\sum_{n = 0}^{13} u_n = u_0 \times \frac{1-q^{13}}{1-q} = \Var{u0} \times \frac{1 - \Var{q}^{13}}{1 - \Var{q}} = \Var{somme}
|
||||
\]
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||||
On en déduit la quantité totale de déchets en 2030
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\[
|
||||
300 + \Var{somme} = \Var{300 + somme}
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||||
\]
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||||
\item
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item ~
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\begin{center}
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\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
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||||
$N \gets 2017$\\
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||||
$U \gets \Var{u0}$ \\
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||||
$S \gets 300 + U$ \\
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||||
Tant que $S < 450$ \\
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||||
\hspace{1cm} $N \gets N + 1$\\
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||||
\hspace{1cm} $U \gets U * \Var{q}$\\
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||||
\hspace{1cm} $S \gets S + u$\\
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||||
Fin Tant que\\\hline
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||||
\end{tabularx}
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||||
\end{center}
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||||
\item \textit{Pas de correction automatisé}
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\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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